11. 如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=20°,求∠PFE的度数.

11. 解:$\because$ 点 $P$ 是 $BD$ 的中点,点 $E$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore PE$ 是 $△ ABD$ 的中位线.
$\therefore PE=\dfrac{1}{2}AD$. 同理,$PF=\dfrac{1}{2}BC$.
$\because AD=BC,\therefore PE=PF$.
$\therefore∠ PFE=∠ PEF=20°$.

【分析】
看到题目中出现多个边的中点条件，优先考虑三角形中位线定理。首先，在△ABD中，P是BD中点、E是AB中点，因此PE是△ABD的中位线，可得PE长度为AD的一半；同理在△BCD中，P是BD中点、F是CD中点，PF是△BCD的中位线，可得PF长度为BC的一半。结合已知AD=BC，可推出PE=PF，即△PEF为等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等的性质，即可由已知的∠PEF的度数求出∠PFE的度数。
【解析】
∵ 点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴ PE是△ABD的中位线，
∴ $PE=\dfrac{1}{2}AD$。
同理，点P是BD的中点，点F是CD的中点，PF是△BCD的中位线，
∴ $PF=\dfrac{1}{2}BC$。
∵ $AD=BC$，
∴ $PE=PF$，△PEF为等腰三角形，
∴ $∠PFE=∠PEF=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是利用多个中点的条件构造三角形中位线，得到线段相等关系，再结合等腰三角形的性质求解角度，整体思路直观，容易掌握。
【难度系数】
0.8

12. 如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD.
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形.

12. 证明:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD// BC,AB=CD$.
$\therefore∠ DAE=∠ AEB$.
$\because AE$ 平分 $∠ BAD$,
$\therefore∠ BAE=∠ DAE$.
$\therefore∠ BAE=∠ AEB$.
$\therefore BE=AB$. $\therefore BE=CD$.
(2)由(1)得 $BE=AB$,又$\because BF$ 平分$∠ ABE,\therefore AF=EF$.
在$△ ADF$ 和 $△ ECF$ 中,
$\begin{cases}∠ DAE=∠ AEB,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DF=CF$. 又$\because AF=EF$,
$\therefore$ 四边形 $ACED$ 是平行四边形.

【分析】
(1) 要证明BE=CD，首先结合平行四边形对边相等的性质，可知AB=CD，因此只需推导得出BE=AB即可。先根据平行四边形对边平行得到内错角∠DAE=∠AEB，再结合角平分线的定义推出∠BAE=∠AEB，利用等角对等边得到BE=AB，等量代换即可得证。
(2) 要证明四边形ACED是平行四边形，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先由(1)的结论可知△ABE是等腰三角形，结合BF平分∠ABE，根据等腰三角形三线合一可得AF=EF；再通过ASA证明△ADF和△ECF全等，得到DF=CF，即可推出四边形ACED的对角线互相平分，完成判定。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AB=CD$，
∴ $∠DAE=∠AEB$。
∵ AE平分$∠BAD$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，
∴ $∠BAE=∠AEB$，
∴ $BE=AB$，
又
∵ $AB=CD$，
∴ $BE=CD$。
(2) 证明：由(1)得$BE=AB$，
∵ BF平分$∠ABE$，
∴ $AF=EF$（等腰三角形三线合一）。
在$△ ADF$和$△ ECF$中，
$\begin{cases}∠DAE=∠AEB,\\AF=EF,\\∠AFD=∠EFC,\end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$，
∴ $DF=CF$。
又
∵ $AF=EF$，
∴ 四边形ACED是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) $BE=CD$得证；
(2) 四边形ACED是平行四边形得证。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形、全等三角形的知识点结合考查，解题时可从待证结论反向推导所需条件，结合已知图形性质逐步正向验证即可，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7

巧算薪资
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：A.工资以年薪计，第一年为40 000元，以后每年增加8 000元；B.工资以半年薪计，第一个半年为20 000元，以后每半年增加2 000元。你选择哪一种方案？为什么？（答案：第二种方案要比第一种方案好得多。）

解：
分别计算两种方案每年的收入：
方案A（年薪）：
第1年：40000元
第2年：40000 + 8000 = 48000元
第3年：48000 + 8000 = 56000元
……
方案B（半年薪）：
第1年的收入：第一个半年20000元，第二个半年20000 + 2000 = 22000元，合计20000 + 22000 = 42000元
第2年的收入：第三个半年22000 + 2000 = 24000元，第四个半年24000 + 2000 = 26000元，合计24000 + 26000 = 50000元
第3年的收入：第五个半年26000 + 2000 = 28000元，第六个半年28000 + 2000 = 30000元，合计28000 + 30000 = 58000元
……
比较每年的收入：
第1年：42000 ＞ 40000，B方案多2000元；
第2年：50000 ＞ 48000，B方案多2000元；
第3年：58000 ＞ 56000，B方案多2000元；
……
由此可知，每一年B方案的收入都比A方案多2000元，所以选择B方案。
答：选择B方案，因为每一年B方案的收入都比A方案多2000元。

【分析】
要选择更划算的薪资方案，核心是对比两种方案每年的实际收入。首先明确两种方案的加薪规则：A方案按年度加薪，每年增加8000元；B方案按半年度加薪，每半年增加2000元，两者加薪周期不同，不能直接对比加薪额，需要统一换算为年度收入后逐年比较，就能判断哪种方案收入更高。
【解析】
我们分别计算两种方案每年的年收入再对比：
1. 计算方案A的年收入：
第1年：40000元
第2年：40000 + 8000 = 48000元
第3年：48000 + 8000 = 56000元
……
2. 计算方案B的年收入（每年包含2个半年薪资）：
第1年：第一个半年20000元，第二个半年20000 + 2000 = 22000元，合计20000 + 22000 = 42000元
第2年：第三个半年22000 + 2000 = 24000元，第四个半年24000 + 2000 = 26000元，合计24000 + 26000 = 50000元
第3年：第五个半年26000 + 2000 = 28000元，第六个半年28000 + 2000 = 30000元，合计28000 + 30000 = 58000元
……
3. 逐年对比年收入：
第1年：42000 ＞ 40000，B方案多2000元；
第2年：50000 ＞ 48000，B方案多2000元；
第3年：58000 ＞ 56000，B方案多2000元；
……
可得出规律：每一年B方案的收入都比A方案多2000元，因此选择B方案。
【答案】
选择B方案，因为每一年B方案的收入都比A方案多2000元。
【知识点】
方案决策，整数运算，规律归纳
【点评】
本题属于生活中的数学应用问题，解题的关键是不要被表面的加薪数值误导，要注意两种方案的加薪周期不同，统一换算为同周期（年度）的收入后再进行对比，就能轻松得出正确结论，能很好地锻炼严谨分析问题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7