二、用坐标描述简单几何图形

解：
1. 定位几何图形的所有顶点，在平面直角坐标系中写出各顶点的对应坐标。
示例：描述直角边长为3的等腰直角三角形，直角顶点在坐标原点，两条直角边分别落在x轴正半轴、y轴正半轴上，可得三个顶点坐标为A(0,0)，B(3,0)，C(0,3)。
2. 按图形的相邻连接规则，将各顶点顺次首尾相连，得到目标几何图形。
最终可通过全部顶点的坐标完整描述该几何图形：该图形是由点A(0,0)、B(3,0)、C(0,3)首尾顺次连接围成的等腰直角三角形。

【分析】
要想用坐标描述简单几何图形，首先要明确：简单平面几何图形（比如三角形、四边形等多边形）的形状和位置由它的所有顶点完全决定，因此我们可以按两步思考解题：第一步，先根据给定的坐标系条件或自行建立合适的平面直角坐标系，找到图形所有顶点的位置，写出每个顶点对应的坐标；第二步，明确各顶点的相邻连接顺序，只要把所有顶点的坐标和连接规则说明清楚，就能完整准确地描述这个几何图形，我们可以结合具体示例来验证这个方法的可行性。
【解析】
1. 首先定位几何图形的所有顶点，在平面直角坐标系中写出各顶点的对应坐标。
示例：描述直角边长为3的等腰直角三角形，已知直角顶点在坐标原点，两条直角边分别落在x轴正半轴、y轴正半轴上，可先确定三个顶点的坐标：A(0,0)，B(3,0)，C(0,3)。
2. 再按照图形的相邻连接规则，将各顶点顺次首尾相连，即可得到目标几何图形。
最终可通过全部顶点的坐标和连接规则完整描述该几何图形：该图形是由点A(0,0)、B(3,0)、C(0,3)首尾顺次连接围成的等腰直角三角形。
【答案】
1. 定位几何图形的所有顶点，在平面直角坐标系中写出各顶点的对应坐标。
示例：描述直角边长为3的等腰直角三角形，直角顶点在坐标原点，两条直角边分别落在x轴正半轴、y轴正半轴上，可得三个顶点坐标为A(0,0)，B(3,0)，C(0,3)。
2. 按图形的相邻连接规则，将各顶点顺次首尾相连，得到目标几何图形。
最终可通过全部顶点的坐标完整描述该几何图形：该图形是由点A(0,0)、B(3,0)、C(0,3)首尾顺次连接围成的等腰直角三角形。
【知识点】
1. 点的坐标表示
2. 坐标描述平面图形
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，核心是利用顶点坐标确定图形的位置与形状，是后续学习图形的坐标变换、函数图像等内容的重要基础，掌握该方法可以直观、准确地表示平面内的简单几何图形。
【难度系数】
0.8

1. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图9-2所示,它的边长是4,则点A的坐标是 ()

图9-2

A.$(-4,4)$
B.$(4,-4)$
C.$(4,4)$
D.$(-4,-4)$

1.A

【分析】
解题时先明确正方形各边与坐标轴的位置关系，结合正方形边长为4的条件，先确定和A点横坐标相同的D点坐标，再根据AD垂直于x轴的特点确定A点的纵坐标，同时注意坐标符号规则：x轴负方向的点横坐标为负，y轴正方向的点纵坐标为正，即可推出A点坐标。
【解析】
解：已知正方形ABCD边长为4，点C与原点O重合，CD边在x轴负半轴上，因此D点横坐标为-4，纵坐标为0，即$D(-4,0)$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AD⊥ CD$，即AD与y轴平行，AD长度为4且方向沿y轴正方向，因此A点横坐标和D点相同为-4，纵坐标为$0+4=4$，可得A点坐标为$(-4,4)$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系；正方形的性质；点的坐标确定
【点评】
本题属于基础题，将几何图形性质和平面直角坐标系知识结合，只要掌握各象限内点的坐标符号特征，结合正方形的边长即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图9-3,将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中.若顶点M,N的坐标分别为$(3,9),(12,9)$,则顶点A的坐标为
()

图9-3

A.$(5,1)$
B.$(12,3)$
C.$(3,15)$
D.$(15,3)$

2.D

【分析】
已知M、N两点纵坐标相同，说明线段MN是平行于x轴的水平线段，先通过两点横坐标差求出MN的长度，结合MN对应3个正方形的边长和，算出单个正方形的边长，再结合图形中正方形的排布规律，分别推算点A的横坐标和纵坐标即可。
【解析】
解：
∵顶点M、N的坐标分别为$(3,9)$、$(12,9)$，两点纵坐标相等
∴线段MN平行于x轴，长度为$12-3=9$
由图可知MN为3个正方形的边长之和，因此单个正方形的边长为$9÷3=3$
推算点A的坐标：
1. 纵坐标：第一行正方形的上边y值为9，向下经过2个正方形边长得到A点的纵坐标，即$9-3×2=3$
2. 横坐标：第一行最右侧正方形的右边x值为12，向右延伸1个正方形边长得到A点的横坐标，即$12+3=15$
因此点A的坐标为$(15,3)$
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，坐标与图形性质
【点评】
解题核心是先根据已知点的坐标求出正方形的边长，再结合图形的位置分布推导所求点的坐标，需要具备一定的读图分析能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图9-4,正方形ABCD由25个边长相等的小正方形组成,将此网格放到平面直角坐标系中,若点E,F的坐标分别是$(-1,0),(2,2)$,则点H的坐标是.

3.$(3,-1)$

【分析】
解题时首先要根据已知的两个点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置、x轴和y轴的方向：首先点E的纵坐标为0，说明E在x轴上，由此可确定x轴是过E的水平直线，向右为x轴正方向，那么原点就在E右侧1个单位的位置；再用F的坐标验证坐标系的正确性，最后根据H在坐标系中的位置，数出横、纵坐标对应的数值即可得到H的坐标。
【解析】
1. 确定坐标轴和原点：已知点E坐标为$(-1,0)$，纵坐标为0，因此E位于x轴上，x轴为过E的水平直线，向右为x轴正方向，原点$(0,0)$的位置为E右侧1个单位长度处。
2. 验证坐标系：点F坐标为$(2,2)$，从原点向右数2个单位、向上数2个单位恰好对应点F的位置，说明坐标轴方向、原点位置均正确。
3. 确定H的坐标：观察点H的位置，从原点向右数3个单位长度，因此横坐标为3；在x轴下方1个单位长度，因此纵坐标为$-1$，故点H的坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标表示，坐标系定位
【点评】
本题考查利用已知点坐标确定坐标系，再求解未知点坐标的能力，解题核心是找准原点和坐标轴方向，掌握坐标的含义就能轻松解决。
【难度系数】
0.8

4. 如图9-5,在以点O为原点的平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(a,0),(a,b)$,点C在y轴上,且$BC// x$轴,$a,b$满足$|a-3|+\sqrt{b-4}=0$.点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着$O-A-B-C-O$的路线运动(回到点O为止).
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)当点P运动3 s时,连接PC,PO,求出点P的坐标,并直接写出$∠CPO,∠BCP,∠AOP$之间满足的数量关系.
(3)点P运动$t\ \mathrm{s}$后$(t≠0)$,是否存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

4. (1)$\because\ \ |a-3|+\sqrt{b-4}=0$ 且$|a-3|≥0$,$\sqrt{b-4}≥0$,
$\therefore\ \ |a-3|=0,\sqrt{b-4}=0$.
$\therefore\ \ a=3,b=4$.
$\therefore\ \ A(3,0),B(3,4),C(0,4)$.
(2)如图,当点P运动3 s时,点P运动了6个单位长度.
$\because\ \ AO=3$,
$\therefore\ \ $点P运动3 s时,点P在线段AB上,且$AP=3$.
$\therefore\ \ $点P的坐标是$(3,3)$.
如图,过点P作$PE// AO$交y轴于点E.

$\because\ \ CB// AO,PE// AO$,
$\therefore\ \ CB// PE$.
$\therefore\ \ ∠ BCP=∠ EPC,∠ AOP=∠ EPO$.
$\therefore\ \ ∠ CPO=∠ BCP+∠ AOP$.
(3)存在.$\because\ \ t≠0$,
$\therefore\ \ $点P可能运动到AB或BC或OC上.
①当点P运动到AB上时,$3≤2t≤7$,即$\frac{3}{2}≤ t≤\frac{7}{2}$,$PA=2t-OA=2t-3$,
$\therefore\ \ 2t-3=\frac{1}{2}t$. 解得$t=2$.
$\therefore\ \ PA=2×2-3=1$.
$\therefore\ \ $点P的坐标为$(3,1)$.
②当点P运动到BC(不含端点B)上时,$7＜2t≤10$,即$\frac{7}{2}＜t≤5$.
$\because\ \ $点P到x轴的距离为4,
$\therefore\ \ \frac{1}{2}t=4$. 解得$t=8$.
$\because\ \ \frac{7}{2}＜t≤5$,
$\therefore\ \ $此种情况不符合题意.
③当点P运动到OC(不含端点C)上时,$10＜2t≤14$,即$5＜t≤7$.
$\because\ \ PO=OA+AB+BC+OC-2t=14-2t$,
$\therefore\ \ 14-2t=\frac{1}{2}t$. 解得$t=\frac{28}{5}$.
$\therefore\ \ PO=14-2×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$.
$\therefore\ \ $点P的坐标为$(0,\frac{14}{5})$.
综上所述,点P运动t s后$(t≠0)$,存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况,此时点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$.

【分析】
(1) 解题依据是“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，先由$|a-3|+\sqrt{b-4}=0$求出a、b的值，再结合$BC// x$轴、矩形OABC的坐标特征，即可确定A、B、C三点的坐标。
(2) 先根据“路程=速度×时间”计算点P运动3s的路程，结合OA、AB的长度判断点P的位置，得到P的坐标；要推导三个角的数量关系，过点P作$PE// AO$，利用平行线的传递性得$CB// PE// AO$，再根据平行线内错角相等的性质即可推出角的关系。
(3) 本题需分类讨论：点P分别在AB、BC、OC三段上运动时，到x轴的距离的表达式不同，分别对三种情况列方程求解，求出t后验证是否符合对应线段的t的取值范围，符合的情况再计算点P的坐标即可。
【解析】
(1) $\because\ \ |a-3|+\sqrt{b-4}=0$，且$|a-3|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，
$\therefore\ \ |a-3|=0$，$\sqrt{b-4}=0$，
解得$a=3$，$b=4$。
结合坐标系中矩形的位置可得：$A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$。
(2) 点P的运动速度为每秒2个单位长度，运动3s的路程为$2×3=6$个单位长度。
$\because OA=3$，$AB=4$，$OA＜6＜OA+AB=7$，
$\therefore$ 点P在线段AB上，$AP=6-OA=6-3=3$，
$\therefore$ 点P的坐标为$(3,3)$。
如图，过点P作$PE// AO$交y轴于点E。

$\because\ \ CB// AO$，$PE// AO$，
$\therefore\ \ CB// PE$，
$\therefore\ \ ∠BCP=∠EPC$，$∠AOP=∠EPO$，
$\therefore\ \ ∠CPO=∠EPC+∠EPO=∠BCP+∠AOP$，即$∠CPO=∠BCP+∠AOP$。
(3) 存在，理由如下：
矩形OABC的周长为$2×(3+4)=14$，点P全程运动时间为$14÷2=7\ \mathrm{s}$，结合$t≠0$，分三种情况讨论：
①当点P运动到AB上时，$3≤2t≤7$，即$\frac{3}{2}≤ t≤\frac{7}{2}$，此时点P到x轴的距离为$PA=2t-OA=2t-3$，
由题意得$2t-3=\frac{1}{2}t$，解得$t=2$，符合$\frac{3}{2}≤ t≤\frac{7}{2}$。
此时$PA=2×2-3=1$，$\therefore$ 点P的坐标为$(3,1)$。
②当点P运动到BC（不含端点B）上时，$7＜2t≤10$，即$\frac{7}{2}＜t≤5$，此时点P到x轴的距离恒为4，
由题意得$\frac{1}{2}t=4$，解得$t=8$，不符合$\frac{7}{2}＜t≤5$，舍去。
③当点P运动到OC（不含端点C）上时，$10＜2t≤14$，即$5＜t≤7$，此时点P到x轴的距离为$PO=14-2t$，
由题意得$14-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合$5＜t≤7$。
此时$PO=14-2×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$，$\therefore$ 点P的坐标为$(0,\frac{14}{5})$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$；
(2) $P(3,3)$，$∠CPO=∠BCP+∠AOP$；
(3) 存在，点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标与图形性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题综合性较强，既考查了基础的非负数性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，也考查了平行线的性质和动点问题的分类讨论思想，解题时需注意对动点位置的分段讨论，求出结果后要验证是否符合对应区间的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6