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8. 规定$[x]$为不小于$x$的最小整数，例如$[3.8]=4$，$[-3.5]=-3$。若$[2x+1]=5$，$[2-3x]=-3$，则$x$的取值范围为（
A.$\dfrac{3}{2}≤ x＜2$
B.$\dfrac{3}{2}≤ x≤ \dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}≤ x＜\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}≤ x＜2$
D
）A.$\dfrac{3}{2}≤ x＜2$
B.$\dfrac{3}{2}≤ x≤ \dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}≤ x＜\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}≤ x＜2$
答案
8.D
解析
【分析】
首先明确题目给出的新定义：$[x]$是不小于$x$的最小整数，即$[x]$是大于等于$x$的最小整数。若已知$[a]=n$（$n$为整数），则可转化为不等式$n-1 ＜ a ≤ n$，这是解题的核心转化规则。接下来我们分别对两个给定的等式按规则列不等式，解出各自的解集后取公共部分，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据新定义规则：若$[a]=n$（$n$为整数），则$n-1 ＜ a ≤ n$。
1. 求解$[2x+1]=5$对应的不等式：
将$a=2x+1$，$n=5$代入规则得：
$5-1 ＜ 2x+1 ≤ 5$
化简得：$4 ＜ 2x+1 ≤ 5$
各项同时减1：$3 ＜ 2x ≤ 4$
各项同时除以2：$\dfrac{3}{2} ＜ x ≤ 2$ ①
2. 求解$[2-3x]=-3$对应的不等式：
将$a=2-3x$，$n=-3$代入规则得：
$-3-1 ＜ 2-3x ≤ -3$
化简得：$-4 ＜ 2-3x ≤ -3$
各项同时减2：$-6 ＜ -3x ≤ -5$
各项同时除以$-3$（不等号方向改变）：$2 ＞ x ≥ \dfrac{5}{3}$，即$\dfrac{5}{3} ≤ x ＜ 2$ ②
3. 取①和②的公共解集，可得$\dfrac{5}{3} ≤ x ＜ 2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为熟悉的一元一次不等式求解问题。易错点为解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及求两个解集交集时出错。
【难度系数】
0.6
首先明确题目给出的新定义：$[x]$是不小于$x$的最小整数，即$[x]$是大于等于$x$的最小整数。若已知$[a]=n$（$n$为整数），则可转化为不等式$n-1 ＜ a ≤ n$，这是解题的核心转化规则。接下来我们分别对两个给定的等式按规则列不等式，解出各自的解集后取公共部分，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据新定义规则：若$[a]=n$（$n$为整数），则$n-1 ＜ a ≤ n$。
1. 求解$[2x+1]=5$对应的不等式：
将$a=2x+1$，$n=5$代入规则得：
$5-1 ＜ 2x+1 ≤ 5$
化简得：$4 ＜ 2x+1 ≤ 5$
各项同时减1：$3 ＜ 2x ≤ 4$
各项同时除以2：$\dfrac{3}{2} ＜ x ≤ 2$ ①
2. 求解$[2-3x]=-3$对应的不等式：
将$a=2-3x$，$n=-3$代入规则得：
$-3-1 ＜ 2-3x ≤ -3$
化简得：$-4 ＜ 2-3x ≤ -3$
各项同时减2：$-6 ＜ -3x ≤ -5$
各项同时除以$-3$（不等号方向改变）：$2 ＞ x ≥ \dfrac{5}{3}$，即$\dfrac{5}{3} ≤ x ＜ 2$ ②
3. 取①和②的公共解集，可得$\dfrac{5}{3} ≤ x ＜ 2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解新定义的规则，将陌生问题转化为熟悉的一元一次不等式求解问题。易错点为解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及求两个解集交集时出错。
【难度系数】
0.6
9. 关于$ x $的不等式组$\begin{cases} 3x - 2 ＜ 2x - 1, \\ x ＜ a \end{cases}$的解集是$ x ＜ 1 $，那么$ a $的取值范围是________。
答案
9.$a≥1$
解析
【分析】
解题时先求出第一个一元一次不等式的解集，再结合已知的不等式组解集，根据一元一次不等式组“同小取小”的解集确定规则，分析a和1的大小关系，最后验证边界值a=1是否符合题意，避免漏解。
【解析】
1. 求解第一个不等式$3x - 2 ＜ 2x - 1$：
移项得$3x - 2x ＜ -1 + 2$，
合并同类项得$x ＜ 1$。
2. 结合第二个不等式$x ＜ a$，已知不等式组的解集为$x ＜ 1$，根据“同小取小”的解集规律分析：
若$a＜1$，则不等式组的解集为$x＜a$，不符合题意；
若$a=1$，两个不等式解集均为$x＜1$，不等式组解集仍为$x＜1$，符合题意；
若$a＞1$，两个解集的公共部分为$x＜1$，符合题意。
综上可得$a$的取值范围是$a≥1$。
【答案】
$a≥1$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的判断，核心是掌握不等式组解集的确定口诀，易错点是容易忽略边界值$a=1$的情况，解题时要注意对边界取值单独验证。
【难度系数】
0.7
解题时先求出第一个一元一次不等式的解集，再结合已知的不等式组解集，根据一元一次不等式组“同小取小”的解集确定规则，分析a和1的大小关系，最后验证边界值a=1是否符合题意，避免漏解。
【解析】
1. 求解第一个不等式$3x - 2 ＜ 2x - 1$：
移项得$3x - 2x ＜ -1 + 2$，
合并同类项得$x ＜ 1$。
2. 结合第二个不等式$x ＜ a$，已知不等式组的解集为$x ＜ 1$，根据“同小取小”的解集规律分析：
若$a＜1$，则不等式组的解集为$x＜a$，不符合题意；
若$a=1$，两个不等式解集均为$x＜1$，不等式组解集仍为$x＜1$，符合题意；
若$a＞1$，两个解集的公共部分为$x＜1$，符合题意。
综上可得$a$的取值范围是$a≥1$。
【答案】
$a≥1$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的判断，核心是掌握不等式组解集的确定口诀，易错点是容易忽略边界值$a=1$的情况，解题时要注意对边界取值单独验证。
【难度系数】
0.7
10. 如图,用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙长16 m)的长方形ABCD菜园,设AB的长为x m,则x的取值范围为
$12≤x＜20$
.答案
10.$12≤x＜20$
解析
【分析】
要确定x的取值范围，首先需要明确长方形各边与篱笆长度的关系：长方形一边靠墙，所以篱笆仅需围3条边，其中AB、CD为垂直于墙的边，长度均为x m，平行于墙的边BC的长度可通过篱笆总长表示。接下来结合两个实际限制条件列不等式：①平行于墙的边长度不能超过墙长16 m，否则无法利用墙围菜园；②平行于墙的边长度必须大于0，否则无法构成长方形。最后解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
解：由题意得，平行于墙的边BC的长度为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，
根据实际限制可列不等式组：
$\begin{cases}40-2x ≤ 16 \\40-2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$40-16 ≤ 2x$
$24 ≤ 2x$
$x ≥ 12$
解第二个不等式：
$2x ＜ 40$
$x ＜ 20$
综上，x的取值范围为$12≤ x ＜ 20$。
【答案】
$12≤ x ＜ 20$
【知识点】
一元一次不等式组的应用；列代数式；不等式的解法
【点评】
本题属于生活实际类的不等式应用问题，解题关键是准确挖掘题目中的显性和隐性不等关系，避免遗漏边长为正的隐含条件导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
要确定x的取值范围，首先需要明确长方形各边与篱笆长度的关系：长方形一边靠墙，所以篱笆仅需围3条边，其中AB、CD为垂直于墙的边，长度均为x m，平行于墙的边BC的长度可通过篱笆总长表示。接下来结合两个实际限制条件列不等式：①平行于墙的边长度不能超过墙长16 m，否则无法利用墙围菜园；②平行于墙的边长度必须大于0，否则无法构成长方形。最后解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
解：由题意得，平行于墙的边BC的长度为$(40-2x)\ \mathrm{m}$，
根据实际限制可列不等式组：
$\begin{cases}40-2x ≤ 16 \\40-2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：
$40-16 ≤ 2x$
$24 ≤ 2x$
$x ≥ 12$
解第二个不等式：
$2x ＜ 40$
$x ＜ 20$
综上，x的取值范围为$12≤ x ＜ 20$。
【答案】
$12≤ x ＜ 20$
【知识点】
一元一次不等式组的应用；列代数式；不等式的解法
【点评】
本题属于生活实际类的不等式应用问题，解题关键是准确挖掘题目中的显性和隐性不等关系，避免遗漏边长为正的隐含条件导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
11. 阅读下列解题过程，解答下列问题：
已知 $ x＞y $，试比较 $ -7x+2 $ 与 $ -7y+2 $ 的大小.
解：∵ $ x＞y $，①
∴ $ -7x＞-7y $，②
∴ $ -7x+2＞-7y+2 $. ③
(1)上述解题过程中，从第
(2)请写出正确的解题过程.
已知 $ x＞y $，试比较 $ -7x+2 $ 与 $ -7y+2 $ 的大小.
解：∵ $ x＞y $，①
∴ $ -7x＞-7y $，②
∴ $ -7x+2＞-7y+2 $. ③
(1)上述解题过程中，从第
②
步开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请写出正确的解题过程.
答案
11.解:(1)② 错误的原因是不等式两边都乘同一个负数,不等号的方向没有改变.
(2)正确的解题过程如下：
$\because x＞y,\therefore -7x＜-7y.\therefore -7x+2＜-7y+2.$
(2)正确的解题过程如下：
$\because x＞y,\therefore -7x＜-7y.\therefore -7x+2＜-7y+2.$
解析
【分析】
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆不等式的核心性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；乘（或除以）正数、加（或减）同一个数时，不等号方向不变。先逐行排查给出的解题过程，找到不符合性质的步骤；再按照正确的不等式性质重新推导两个代数式的大小关系即可。
【解析】
(1) 观察解题步骤：原过程第①步给出$x＞y$是已知条件，第②步给不等式两边同时乘$-7$，属于乘同一个负数，根据不等式性质，不等号方向应当改变，但原步骤仍保留$＞$号，因此从第②步开始出错，错误原因为不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变。
(2) 正确解题过程：
$\because x＞y$，根据不等式性质，两边同时乘负数$-7$，不等号方向改变，
$\therefore -7x＜-7y$，
再根据不等式性质，两边同时加同一个数$2$，不等号方向不变，
$\therefore -7x+2＜-7y+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$，错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变；
(2) 正确解题过程：$\because x＞y,\therefore -7x＜-7y.\therefore -7x+2＜-7y+2$。
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质应用的基础题型，重点考查对不等式性质3的掌握情况，不等式两边乘（或除以）负数时要变号是此类题的核心易错点，熟练掌握三条不等式性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这道题考查不等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆不等式的核心性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；乘（或除以）正数、加（或减）同一个数时，不等号方向不变。先逐行排查给出的解题过程，找到不符合性质的步骤；再按照正确的不等式性质重新推导两个代数式的大小关系即可。
【解析】
(1) 观察解题步骤：原过程第①步给出$x＞y$是已知条件，第②步给不等式两边同时乘$-7$，属于乘同一个负数，根据不等式性质，不等号方向应当改变，但原步骤仍保留$＞$号，因此从第②步开始出错，错误原因为不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变。
(2) 正确解题过程：
$\because x＞y$，根据不等式性质，两边同时乘负数$-7$，不等号方向改变，
$\therefore -7x＜-7y$，
再根据不等式性质，两边同时加同一个数$2$，不等号方向不变，
$\therefore -7x+2＜-7y+2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$，错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变；
(2) 正确解题过程：$\because x＞y,\therefore -7x＜-7y.\therefore -7x+2＜-7y+2$。
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代数式大小比较
【点评】
本题是不等式性质应用的基础题型，重点考查对不等式性质3的掌握情况，不等式两边乘（或除以）负数时要变号是此类题的核心易错点，熟练掌握三条不等式性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. (1)解不等式组$\begin{cases}2x+1≤ 4-x,\\x-1＜\dfrac{3x}{2},\end{cases}$并求出其所有整数解的和；
(2)解不等式组:$\begin{cases}1-2(x-3)≤ 3,①\\\dfrac{3x-2}{2}＜x+2,②\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来.
(2)解不等式组:$\begin{cases}1-2(x-3)≤ 3,①\\\dfrac{3x-2}{2}＜x+2,②\end{cases}$并把解集在数轴上表示出来.
答案
12.解:(1)$\begin{cases} 2x+1≤4-x,① \\ x-1＜\dfrac{3x}{2},② \end{cases}$
解不等式①,得$x≤1$,解不等式②,得$x＞-2$,
$\therefore$原不等式组的解集为$-2＜x≤1$.
$\therefore$原不等式组的所有整数解为$-1,0,1$.
$\therefore$不等式组的所有整数解的和为$-1+0+1=0$.
(2)解不等式①,得$x≥2$,解不等式②,得$x＜6$,
$\therefore$原不等式组的解集为$2≤x＜6$.
在数轴上表示解集如图所示.
解析
【分析】
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，第二步取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集。
对于(1)：按移项、合并同类项、系数化为1的步骤分别解两个不等式，注意不等号方向的变化规则；得到两个解集后找公共范围，从中筛选出所有整数后求和即可。
对于(2)：先分别求解两个不等式得到公共解集，再按照数轴表示规则绘图：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸。
【解析】
(1) 解不等式组$\begin{cases} 2x+1≤4-x,① \\ x-1＜\dfrac{3x}{2},② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x+x ≤ 4-1$，合并同类项得$3x ≤ 3$，系数化为1得$x ≤ 1$。
解不等式②：两边同乘2消去分母得$2x-2 ＜ 3x$，移项合并同类项得$x ＞ -2$。
取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 1$。
该范围内的整数解为$-1、0、1$，因此所有整数解的和为$-1+0+1=0$。
(2) 解不等式组$\begin{cases}1-2(x-3)≤ 3,①\\\dfrac{3x-2}{2}＜x+2,②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$1-2x+6 ≤ 3$，合并同类项得$7-2x ≤3$，移项得$-2x ≤ -4$，系数化为1（不等号方向改变）得$x ≥2$。
解不等式②：两边同乘2消去分母得$3x-2 ＜ 2x+4$，移项合并同类项得$x ＜6$。
取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为$2 ≤x ＜6$。
数轴表示时：在刻度2处画实心圆点，刻度6处画空心圆圈，连接两点之间的线段即可。
【答案】
(1) 不等式组的解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ 1}$，所有整数解的和为$\boldsymbol{0}$；
(2) 不等式组的解集为$\boldsymbol{2 ≤x ＜6}$，在数轴上表示解集如图所示：
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题型，重点考查解一元一次不等式的基本步骤，需要注意系数为负时不等号方向要改变，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，第二步取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集。
对于(1)：按移项、合并同类项、系数化为1的步骤分别解两个不等式，注意不等号方向的变化规则；得到两个解集后找公共范围，从中筛选出所有整数后求和即可。
对于(2)：先分别求解两个不等式得到公共解集，再按照数轴表示规则绘图：包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸、小于向左延伸。
【解析】
(1) 解不等式组$\begin{cases} 2x+1≤4-x,① \\ x-1＜\dfrac{3x}{2},② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x+x ≤ 4-1$，合并同类项得$3x ≤ 3$，系数化为1得$x ≤ 1$。
解不等式②：两边同乘2消去分母得$2x-2 ＜ 3x$，移项合并同类项得$x ＞ -2$。
取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 1$。
该范围内的整数解为$-1、0、1$，因此所有整数解的和为$-1+0+1=0$。
(2) 解不等式组$\begin{cases}1-2(x-3)≤ 3,①\\\dfrac{3x-2}{2}＜x+2,②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$1-2x+6 ≤ 3$，合并同类项得$7-2x ≤3$，移项得$-2x ≤ -4$，系数化为1（不等号方向改变）得$x ≥2$。
解不等式②：两边同乘2消去分母得$3x-2 ＜ 2x+4$，移项合并同类项得$x ＜6$。
取两个解集的公共部分，得原不等式组的解集为$2 ≤x ＜6$。
数轴表示时：在刻度2处画实心圆点，刻度6处画空心圆圈，连接两点之间的线段即可。
【答案】
(1) 不等式组的解集为$\boldsymbol{-2 ＜ x ≤ 1}$，所有整数解的和为$\boldsymbol{0}$；
(2) 不等式组的解集为$\boldsymbol{2 ≤x ＜6}$，在数轴上表示解集如图所示：
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解，解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题型，重点考查解一元一次不等式的基本步骤，需要注意系数为负时不等号方向要改变，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的使用场景。
【难度系数】
0.8
