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16. 若一个正整数$x$能表示成$a^{2}-b^{2}$（$a$、$b$是正整数，且$a ＞ b$）的形式，则称这个数为“优美数”，$a$与$b$是$x$的一个平方差分解.
例如：$\because5 = 3^{2}-2^{2}$，$\therefore5$是“优美数”，$3$与$2$是$5$的平方差分解.
又如：$M = x^{2}+2xy$也是“优美数”，$\because M = x^{2}+2xy = x^{2}+2xy + y^{2}-y^{2}=(x + y)^{2}-y^{2}$（其中$x$、$y$是正整数），$\therefore M$也是“优美数”，$(x + y)$与$y$是$M$的平方差分解.
(1)判断$48$是否是“优美数”？如果是，写出$48$的所有平方差分解；如果不是，请说明理由.
(2)已知$N = x^{2}-y^{2}+6x - 10y + k$（$x$、$y$是正整数，$k$是常数，且$x ＞ y + 2$），要使$N$是“优美数”，试求出符合条件的一个$k$值，并说明理由.
例如：$\because5 = 3^{2}-2^{2}$，$\therefore5$是“优美数”，$3$与$2$是$5$的平方差分解.
又如：$M = x^{2}+2xy$也是“优美数”，$\because M = x^{2}+2xy = x^{2}+2xy + y^{2}-y^{2}=(x + y)^{2}-y^{2}$（其中$x$、$y$是正整数），$\therefore M$也是“优美数”，$(x + y)$与$y$是$M$的平方差分解.
(1)判断$48$是否是“优美数”？如果是，写出$48$的所有平方差分解；如果不是，请说明理由.
(2)已知$N = x^{2}-y^{2}+6x - 10y + k$（$x$、$y$是正整数，$k$是常数，且$x ＞ y + 2$），要使$N$是“优美数”，试求出符合条件的一个$k$值，并说明理由.
答案
16. (1)48 是“优美数”. $\because 13^2 - 11^2 = (13 + 11)(13 - 11) = 24×2 = 48$，$8^2 - 4^2 = (8 + 4)(8 - 4) = 12×4 = 48$，$7^2 - 1^2 = (7 + 1)(7 - 1) = 8×6 = 48$，$\therefore 48$是“优美数”，13 与 11，8 与 4，7 与 1 都是 48 的平方差分解. (2)$\because N = (x^2 + 6x + 9) - (y^2 + 10y + 25) + k + 16 = (x + 3)^2 - (y + 5)^2 + k + 16$，$\therefore$当$k + 16 = 0$时，$N = (x + 3)^2 - (y + 5)^2$为“优美数”，此时$k = -16$，故当$k = -16$时，$N$为“优美数”.
解析
(1)48是“优美数”.
$\because 13^{2}-11^{2}=(13+11)(13-11)=24×2=48$，
$8^{2}-4^{2}=(8+4)(8-4)=12×4=48$，
$7^{2}-1^{2}=(7+1)(7-1)=8×6=48$，
$\therefore$48的平方差分解为13与11，8与4，7与1.
(2)$N=(x^{2}+6x+9)-(y^{2}+10y+25)+k+16=(x+3)^{2}-(y+5)^{2}+k+16$，
当$k+16=0$，即$k=-16$时，$N=(x+3)^{2}-(y+5)^{2}$，
$\because x＞y+2$，$x$、$y$是正整数，$\therefore x+3＞y+5$，
$\therefore N$是“优美数”，符合条件的$k=-16$.
$\because 13^{2}-11^{2}=(13+11)(13-11)=24×2=48$，
$8^{2}-4^{2}=(8+4)(8-4)=12×4=48$，
$7^{2}-1^{2}=(7+1)(7-1)=8×6=48$，
$\therefore$48的平方差分解为13与11，8与4，7与1.
(2)$N=(x^{2}+6x+9)-(y^{2}+10y+25)+k+16=(x+3)^{2}-(y+5)^{2}+k+16$，
当$k+16=0$，即$k=-16$时，$N=(x+3)^{2}-(y+5)^{2}$，
$\because x＞y+2$，$x$、$y$是正整数，$\therefore x+3＞y+5$，
$\therefore N$是“优美数”，符合条件的$k=-16$.
