7. 如图，$AD=BC$，$AD// BC$，$AC$交$BD$于点$P$，$E$，$F$分别是$AD$，$DC$的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

1. 由$AD// BC$且$AD=BC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形$ABCD$是平行四边形，这是第1个平行四边形。
2. 由平行四边形对角线互相平分，得$P$是$AC$中点。已知$E,F$分别是$AD,DC$的中点，根据三角形中位线性质：
$EF// AC$且$EF=\frac{1}{2}AC$，$EP// DC$且$EP=\frac{1}{2}DC$，$FP// AD$且$FP=\frac{1}{2}AD$。
3. 据此判定剩余平行四边形：
四边形$AEPF$：$AE// FP$，$EF// AP$，两组对边分别平行，是平行四边形；
四边形$DEPF$：$DE// FP$，$EP// DF$，两组对边分别平行，是平行四边形；
四边形$EPCF$：$EP// CF$，$EF// PC$，两组对边分别平行，是平行四边形。
综上，共能画出4个平行四边形。

1. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,M为AB边的中点.若OM=4,则BC的长为.

$\boldsymbol{8}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ O是AC的中点。
又∵ M为AB边的中点，
∴ OM是△ABC的中位线，
∴ $OM=\frac{1}{2}BC$。
∵ OM=4，
∴ BC=2OM=8。

2. 如图，在平面直角坐标系中，$□ ABCO$ 的顶点 C 在 x 轴上，反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 A，反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 B，延长 BA 交 y 轴于点 D，则四边形 OCBD 的面积为 。

$\boldsymbol{5}$

解：
∵ 四边形ABCO是平行四边形，
∴ AB//OC，AB=OC。
∵ 顶点C在x轴上，延长BA交y轴于点D，
∴ BD⊥y轴，设D(0, m)，则A、B两点的纵坐标均为m。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
将y=m代入得$x=\frac{2}{m}$，即$A(\frac{2}{m}, m)$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将y=m代入得$x=\frac{6}{m}$，即$B(\frac{6}{m}, m)$。
∴ $AB = \frac{6}{m} - \frac{2}{m} = \frac{4}{m}$，
∴ $OC = AB = \frac{4}{m}$。
∵ 四边形OCBD为直角梯形，上底$BD=\frac{6}{m}$，下底$OC=\frac{4}{m}$，高$OD=m$，
∴ $S_{OCBD} = \frac{1}{2}(BD + OC) · OD = \frac{1}{2} × (\frac{6}{m} + \frac{4}{m}) × m = 5$。
最终

3. 如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.若DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边形CFAE是平行四边形;④四边形ABCD是平行四边形.正确的是.(填序号)

$\boldsymbol{①②③④}$

解：
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠ CFD = ∠ AEB = 90°$，
∵ $DE = BF$，
∴ $DE - EF = BF - EF$，即 $DF = BE$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ ABE$中，
$\begin{cases} CD=AB \\ DF=BE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDF ≌ \mathrm{Rt}△ ABE(\mathrm{HL})$，
∴ $CF = AE$，故①正确；
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $AE // CF$，
又∵ $CF = AE$，
∴ 四边形$CFAE$是平行四边形，故③正确；
∵ 平行四边形对角线互相平分，
∴ $OE = OF$，故②正确；
∵ $\mathrm{Rt}△ CDF ≌ \mathrm{Rt}△ ABE$，
∴ $∠ CDF = ∠ ABE$，
∴ $CD // AB$，
又∵ $CD = AB$，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形，故④正确。

4. 如图，$△ ABC$的周长为$a$,以它的三边中点为顶点组成一个新三角形(记为第1个),以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形,以此类推,则第2 026个三角形的周长是.

$\boldsymbol{\dfrac{a}{2^{2026}}}$

解：
根据三角形中位线的性质，三角形的中位线等于对应边长的$\frac{1}{2}$。
第1个新三角形的各边均为$△ ABC$对应各边的中位线，因此它的周长为$\frac{1}{2}a$；
第2个三角形的各边均为第1个三角形对应各边的中位线，因此它的周长为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}a = (\frac{1}{2})^2 a$；
以此类推，第$n$个三角形的周长为$(\frac{1}{2})^n a$。
当$n=2026$时，第2026个三角形的周长是$(\frac{1}{2})^{2026}a = \frac{a}{2^{2026}}$。
最终