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1 如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，搭n个这样的三角形需要火柴的根数为 （
A.$n+2$
B.$n+3$
C.$2n+1$
D.$2n-1$
C
）A.$n+2$
B.$n+3$
C.$2n+1$
D.$2n-1$
答案
1. C
解析
【分析】
我们可以先从已知的特殊情况入手，先整理搭1个、2个、3个三角形对应的火柴根数，再对比数量变化找规律：观察可知每多搭1个三角形，火柴根数就增加2根，结合第一个三角形的火柴根数，就能推导出搭n个三角形的火柴根数表达式，最后验证表达式是否符合所有已知情况即可。
【解析】
解：根据题意整理对应数量：
①搭1个三角形，火柴根数为3，即$3=2×1+1$；
②搭2个三角形，火柴根数为5，即$5=2×2+1$；
③搭3个三角形，火柴根数为7，即$7=2×3+1$；
以此类推，每增加1个三角形，火柴根数增加2，因此搭n个这样的三角形时，需要火柴的根数为$2n+1$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形的变化特征，找到数量随个数增加的变化规律，再结合初始值推导通用的代数式即可。
【难度系数】
0.8
我们可以先从已知的特殊情况入手，先整理搭1个、2个、3个三角形对应的火柴根数，再对比数量变化找规律：观察可知每多搭1个三角形，火柴根数就增加2根，结合第一个三角形的火柴根数，就能推导出搭n个三角形的火柴根数表达式，最后验证表达式是否符合所有已知情况即可。
【解析】
解：根据题意整理对应数量：
①搭1个三角形，火柴根数为3，即$3=2×1+1$；
②搭2个三角形，火柴根数为5，即$5=2×2+1$；
③搭3个三角形，火柴根数为7，即$7=2×3+1$；
以此类推，每增加1个三角形，火柴根数增加2，因此搭n个这样的三角形时，需要火柴的根数为$2n+1$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形的变化特征，找到数量随个数增加的变化规律，再结合初始值推导通用的代数式即可。
【难度系数】
0.8
2 如图所示的三幅图中的正方形边长相等，则关于三幅图中涂色部分面积的说法正确的是 （
A.面积相等
B.图①中的面积最大
C.图②中的面积最大
D.图③中的面积最大
A
）A.面积相等
B.图①中的面积最大
C.图②中的面积最大
D.图③中的面积最大
答案
2. A
解析
【分析】
要比较三幅图涂色部分的面积，首先明确涂色面积=正方形面积-空白圆形的总面积。已知三个正方形边长相等，因此只需分别计算三幅图中空白圆形的总面积，再比较即可。我们可以设正方形边长为参数a，分别计算各图空白圆的总面积，再推导涂色面积的大小关系。
【解析】
设三个正方形的边长均为a，则每个正方形的面积均为$a^2$。
1. 计算图①的涂色面积：
图①中圆的直径等于正方形边长a，半径$r=\frac{a}{2}$，空白圆面积为$π r^2=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_1=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
2. 计算图②的涂色面积：
图②中共有4个大小相同的圆，2个圆的直径和等于正方形边长a，因此每个圆的直径为$\frac{a}{2}$，半径$r=\frac{a}{4}$，
4个圆的总面积为$4×π×(\frac{a}{4})^2=4×\frac{π a^2}{16}=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_2=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
3. 计算图③的涂色面积：
图③中共有9个大小相同的圆，3个圆的直径和等于正方形边长a，因此每个圆的直径为$\frac{a}{3}$，半径$r=\frac{a}{6}$，
9个圆的总面积为$9×π×(\frac{a}{6})^2=9×\frac{π a^2}{36}=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_3=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
综上可得$S_1=S_2=S_3$，三幅图涂色部分面积相等。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，阴影面积求解
【点评】
本题通过设参数的方式将抽象的面积比较转化为具体的公式计算，解题核心是发现三幅图中空白圆的总面积相等，只要熟练掌握正方形和圆的面积公式，就能快速推出结论。
【难度系数】
0.7
要比较三幅图涂色部分的面积，首先明确涂色面积=正方形面积-空白圆形的总面积。已知三个正方形边长相等，因此只需分别计算三幅图中空白圆形的总面积，再比较即可。我们可以设正方形边长为参数a，分别计算各图空白圆的总面积，再推导涂色面积的大小关系。
【解析】
设三个正方形的边长均为a，则每个正方形的面积均为$a^2$。
1. 计算图①的涂色面积：
图①中圆的直径等于正方形边长a，半径$r=\frac{a}{2}$，空白圆面积为$π r^2=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_1=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
2. 计算图②的涂色面积：
图②中共有4个大小相同的圆，2个圆的直径和等于正方形边长a，因此每个圆的直径为$\frac{a}{2}$，半径$r=\frac{a}{4}$，
4个圆的总面积为$4×π×(\frac{a}{4})^2=4×\frac{π a^2}{16}=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_2=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
3. 计算图③的涂色面积：
图③中共有9个大小相同的圆，3个圆的直径和等于正方形边长a，因此每个圆的直径为$\frac{a}{3}$，半径$r=\frac{a}{6}$，
9个圆的总面积为$9×π×(\frac{a}{6})^2=9×\frac{π a^2}{36}=\frac{π a^2}{4}$，
因此涂色面积$S_3=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
综上可得$S_1=S_2=S_3$，三幅图涂色部分面积相等。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算，圆的面积计算，阴影面积求解
【点评】
本题通过设参数的方式将抽象的面积比较转化为具体的公式计算，解题核心是发现三幅图中空白圆的总面积相等，只要熟练掌握正方形和圆的面积公式，就能快速推出结论。
【难度系数】
0.7
3 如图所示为某种细胞分裂示意图,这种细胞每过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个.根据此规律,完成下列各题.
（1）这样的一个细胞经过第四个 30 min 后可分裂成
（2）这样的一个细胞经过 3 h 后可分裂成
（3）这样的一个细胞经过$n$($n$为正整数)h 后可分裂成
（1）这样的一个细胞经过第四个 30 min 后可分裂成
16
个细胞；（2）这样的一个细胞经过 3 h 后可分裂成
64
个细胞；（3）这样的一个细胞经过$n$($n$为正整数)h 后可分裂成
$2^{2n}$
个细胞.答案
3.（1）16 （2）64 （3）$2^{2n}$
解析
【分析】
解决本题的核心是先理清细胞分裂的规律：每经过1个30分钟，细胞数量就变为原来的2倍，即经过m个30分钟后，1个细胞分裂后的数量为$2^m$个（m为正整数）。解题时先根据问题计算对应的分裂次数（即30分钟的个数），再代入规律计算即可：（1）直接确定分裂次数为4，代入计算；（2）先将3小时换算为以30分钟为单位的数量，得到分裂次数后代入计算；（3）先将n小时换算为以30分钟为单位的数量，推导得到通用表达式。
【解析】
由题意可知，1个细胞每经过1个30分钟，数量变为原来的2倍，因此经过m个30分钟后，细胞的数量为$2^m$个。
（1）经过第四个30分钟时，分裂次数m=4，
则分裂后的细胞数量为：$2^4=16$；
（2）先换算单位：$3\mathrm{h}=3×60\mathrm{min}=180\mathrm{min}$，
分裂次数$m=180÷30=6$，
则分裂后的细胞数量为：$2^6=64$；
（3）n小时对应的分钟数为$60n \mathrm{min}$，
分裂次数$m=60n÷30=2n$，
则分裂后的细胞数量为：$2^{2n}$。
【答案】
（1）16；（2）64；（3）$2^{2n}$
【知识点】
乘方的应用，数字规律探究，时间单位换算
【点评】
本题是乘方实际应用的典型题型，解题的关键是归纳得出细胞分裂的数量和分裂次数的关系，计算时注意先统一时间单位，再准确计算分裂次数，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先理清细胞分裂的规律：每经过1个30分钟，细胞数量就变为原来的2倍，即经过m个30分钟后，1个细胞分裂后的数量为$2^m$个（m为正整数）。解题时先根据问题计算对应的分裂次数（即30分钟的个数），再代入规律计算即可：（1）直接确定分裂次数为4，代入计算；（2）先将3小时换算为以30分钟为单位的数量，得到分裂次数后代入计算；（3）先将n小时换算为以30分钟为单位的数量，推导得到通用表达式。
【解析】
由题意可知，1个细胞每经过1个30分钟，数量变为原来的2倍，因此经过m个30分钟后，细胞的数量为$2^m$个。
（1）经过第四个30分钟时，分裂次数m=4，
则分裂后的细胞数量为：$2^4=16$；
（2）先换算单位：$3\mathrm{h}=3×60\mathrm{min}=180\mathrm{min}$，
分裂次数$m=180÷30=6$，
则分裂后的细胞数量为：$2^6=64$；
（3）n小时对应的分钟数为$60n \mathrm{min}$，
分裂次数$m=60n÷30=2n$，
则分裂后的细胞数量为：$2^{2n}$。
【答案】
（1）16；（2）64；（3）$2^{2n}$
【知识点】
乘方的应用，数字规律探究，时间单位换算
【点评】
本题是乘方实际应用的典型题型，解题的关键是归纳得出细胞分裂的数量和分裂次数的关系，计算时注意先统一时间单位，再准确计算分裂次数，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4 在密码学中,你直接可以看到的内容为明文(真实文),对明文进行某种处理后得到的内容为密文.现有一种密码把英文的明文单词按字母分解,其中英文的26个小写字母依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,如下表:
现给出一个公式:$A'=\begin{cases}\dfrac{A+1}{2}(A\mathrm{为}1∼26\mathrm{中的奇数}), \\ \dfrac{A}{2}+13(A\mathrm{为}1∼26\mathrm{中的偶数}),\end{cases}$ 将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字$A'$,比如明文字母为$e,e→5→\dfrac{5+1}{2}=3→c$,所以明文字母$e$对应的密文字母为$c$.若密文是$dhho$,则对应的明文是 ( )
A.well
B.good
C.best
D.oqqh
现给出一个公式:$A'=\begin{cases}\dfrac{A+1}{2}(A\mathrm{为}1∼26\mathrm{中的奇数}), \\ \dfrac{A}{2}+13(A\mathrm{为}1∼26\mathrm{中的偶数}),\end{cases}$ 将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字$A'$,比如明文字母为$e,e→5→\dfrac{5+1}{2}=3→c$,所以明文字母$e$对应的密文字母为$c$.若密文是$dhho$,则对应的明文是 ( )
A.well
B.good
C.best
D.oqqh
答案
4. B 【解析】因为密文字母为 d,对应的数字是 4,所以$\dfrac{A+1}{2}=4$. 所以$A=7$,其对应的明文字母是 g. 因为密文字母为h,对应的数字是 8,所以$\dfrac{A+1}{2}=8$. 所以$A=15$,其对应的明文字母是 o. 因为密文字母为 o,对应的数字是 15,所以$\dfrac{A}{2}+13=15$.所以$A=4$,其对应的明文字母是 d. 所以对应的明文是 good.
解析
【分析】
要由密文得到明文，首先需要将密文字母转换为对应的数字$A'$，再根据给出的公式逆向推导明文字母对应的数字$A$，最后将$A$转换为明文字母即可。推导时要注意分两种情况验证：若$A'$是通过奇数$A$的公式得到的，就用$A=2A'-1$计算$A$；若$A'$是通过偶数$A$的公式得到的，就用$A=2(A'-13)$计算$A$，计算得到的$A$需要满足$1≤ A≤26$，才是正确结果。
【解析】
我们逐个分析密文“dhho”的每个字母：
1. 第一个密文字母是d，对应数字$A'=4$：
若按偶数$A$的公式计算，$\frac{A}{2}+13=4$，解得$A=-18$，不符合1~26的范围，排除；
按奇数$A$的公式计算：$\frac{A+1}{2}=4$，解得$A=2×4-1=7$，7对应字母g，即第一个明文字母是g。
2. 第二个密文字母是h，对应数字$A'=8$：
若按偶数$A$的公式计算，$\frac{A}{2}+13=8$，解得$A=-10$，不符合范围，排除；
按奇数$A$的公式计算：$\frac{A+1}{2}=8$，解得$A=2×8-1=15$，15对应字母o，即第二个明文字母是o。
3. 第三个密文字母是h，和第二个字母相同，对应明文字母也是o。
4. 第四个密文字母是o，对应数字$A'=15$：
若按奇数$A$的公式计算，$\frac{A+1}{2}=15$，解得$A=29$，超过26，不符合范围，排除；
按偶数$A$的公式计算：$\frac{A}{2}+13=15$，解得$A=2×(15-13)=4$，4对应字母d，即第四个明文字母是d。
将四个明文字母组合，得到明文是good。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解，字母数字对应
【点评】
本题以密码加密为背景，考查对新定义运算规则的理解和应用，解题的关键是明确正向运算规则后，结合结果的取值范围逆向推导明文，只要细心分情况验证，就能顺利得出答案。
【难度系数】
0.7
要由密文得到明文，首先需要将密文字母转换为对应的数字$A'$，再根据给出的公式逆向推导明文字母对应的数字$A$，最后将$A$转换为明文字母即可。推导时要注意分两种情况验证：若$A'$是通过奇数$A$的公式得到的，就用$A=2A'-1$计算$A$；若$A'$是通过偶数$A$的公式得到的，就用$A=2(A'-13)$计算$A$，计算得到的$A$需要满足$1≤ A≤26$，才是正确结果。
【解析】
我们逐个分析密文“dhho”的每个字母：
1. 第一个密文字母是d，对应数字$A'=4$：
若按偶数$A$的公式计算，$\frac{A}{2}+13=4$，解得$A=-18$，不符合1~26的范围，排除；
按奇数$A$的公式计算：$\frac{A+1}{2}=4$，解得$A=2×4-1=7$，7对应字母g，即第一个明文字母是g。
2. 第二个密文字母是h，对应数字$A'=8$：
若按偶数$A$的公式计算，$\frac{A}{2}+13=8$，解得$A=-10$，不符合范围，排除；
按奇数$A$的公式计算：$\frac{A+1}{2}=8$，解得$A=2×8-1=15$，15对应字母o，即第二个明文字母是o。
3. 第三个密文字母是h，和第二个字母相同，对应明文字母也是o。
4. 第四个密文字母是o，对应数字$A'=15$：
若按奇数$A$的公式计算，$\frac{A+1}{2}=15$，解得$A=29$，超过26，不符合范围，排除；
按偶数$A$的公式计算：$\frac{A}{2}+13=15$，解得$A=2×(15-13)=4$，4对应字母d，即第四个明文字母是d。
将四个明文字母组合，得到明文是good。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解，字母数字对应
【点评】
本题以密码加密为背景，考查对新定义运算规则的理解和应用，解题的关键是明确正向运算规则后，结合结果的取值范围逆向推导明文，只要细心分情况验证，就能顺利得出答案。
【难度系数】
0.7
