1 某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯。阶梯电费计价方式如下表：

小聪家去年12月用电量为500 kW·h，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为 （）

A.5 250 kW·h
B.5 100 kW·h
C.4 900 kW·h
D.4 850 kW·h

1. C 【解析】因为 0. 588×500 = 294(元),0. 838×500 = 419(元),294＜319＜419,所以小聪家去年前 11 个月用电量超过2 760 kW·h,但不超过 4 800 kW·h,而全年用电量超过了4 800 kW·h. 设小聪家去年 12 月用电量超过 4 800 kW·h 的部分为 x kW·h. 根据题意,得 0. 588(500-x)+0. 838x=319,解得 x=100,则 4 800+100=4 900(kW·h). 所以小聪家去年全年用电量为 4 900 kW·h.

【分析】
解题时首先要判断小聪家12月用电量对应的阶梯区间：先分别计算500kW·h全部按第二阶梯、全部按第三阶梯计费的电费，和实际电费319元比较，可知12月的用电量包含第二、第三两个阶梯的电量，即全年总用电量超过4800kW·h。接下来设12月中属于第三阶梯的电量为未知数，根据“第二阶梯电费+第三阶梯电费=总电费319元”的等量关系列一元一次方程，求解后即可算出全年总用电量。
【解析】
首先计算500kW·h按不同阶梯全额计费的电费：
若全部按第二阶梯计费：$0.588 × 500 = 294$（元）
若全部按第三阶梯计费：$0.838 × 500 = 419$（元）
因为$294 ＜ 319 ＜ 419$，所以小聪家12月的用电量既有第二阶梯的部分，也有第三阶梯的部分，说明全年总用电量超过4800kW·h。
设小聪家去年12月用电量中，超过4800kW·h的部分为$x\ \mathrm{kW·h}$，则12月中按第二阶梯计价的电量为$(500 - x)\ \mathrm{kW·h}$。
根据总电费列方程：
$0.588(500 - x) + 0.838x = 319$
展开计算：
$294 - 0.588x + 0.838x = 319$
合并同类项：
$294 + 0.25x = 319$
移项计算：
$0.25x = 319 - 294 = 25$
解得：$x = 100$
因此全年总用电量为：$4800 + 100 = 4900\ \mathrm{kW·h}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、阶梯计费问题
【点评】
本题结合生活中常见的阶梯电价场景命题，解题的核心是先通过电费的数值范围判断电量所属的阶梯区间，再找准等量关系列方程求解，能很好地锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6

2 某市居民用气阶梯气价标准如下表：

（1）小依家年度用气$600\ \mathrm{m}^3$，应缴纳气费元（用含$a$的式子表示），已知该年度缴纳气费$1\ 340$元，则$a=$.
（2）在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气时间划分为两个阶段.每年1月、2月以及12月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费.小钟家成功申请执行了“居民家庭采暖用气”政策，今年用气总量为$1\ 200\ \mathrm{m}^3$，共缴纳气费$2\ 660$元.已知非采暖期用气量不少于$500\ \mathrm{m}^3$，求小钟家今年采暖期用气费用.

2. (1) (600a+20) 2.2 （2）设小钟家今年非采暖期用气量为$x\ \mathrm{m}^3$,则小钟家今年采暖期用气量为$(1\ 200-x)\mathrm{m}^3$.根据题意,得当$x=500$时,$2. 2×500+2. 2×(1\ 200-500)=2\ 640$(元),2 640≠2 660,故不符合题意;当$500＜x≤660$时,$2. 2×500+(2. 2+0. 2)(x-500)+2. 2(1\ 200-x)=2\ 660$,解得$x=600$. 所以$2. 2(1\ 200-x)=2. 2×(1\ 200-600)=1\ 320$;当$x＞660$时,$2. 2×500+(2. 2+0. 2)×(660-500)+(2. 2+0. 4)(x-660)+2. 2(1\ 200-x)=2\ 660$,解得$x=630,630＜660$,故不符合题意.综上所述,小钟家今年采暖期用气费用为1 320元

【分析】
（1）第一问需先明确阶梯计费规则：年度用气600m³时，500m³按第一阶梯a元/m³计费，超出500m³的100m³按第二阶梯（a+0.2）元/m³计费，两部分费用相加即可得到含a的代数式；再将总气费1340元代入代数式解方程即可求出a的值。
（2）第二问首先理解采暖期和非采暖期的计费规则：采暖期所有用气量均按第一阶梯2.2元/m³计费，非采暖期用气量按普通阶梯气价计费，且已知非采暖期用气量不少于500m³，因此分x=500、500＜x≤660、x＞660三种情况列方程计算，再检验解是否符合对应区间的取值范围，最终求得采暖期费用。
【解析】
（1）小依家年度用气600m³，其中500m³的费用为500a元，超出500m³的部分为$600-500=100\ \mathrm{m}^3$，该部分费用为$100(a+0.2)$元，总气费为：
$500a+100(a+0.2)=600a+20$（元）
若总气费为1340元，列方程：
$600a+20=1340$
解得$a=2.2$。
（2）设小钟家今年非采暖期用气量为$x\ \mathrm{m}^3$，则采暖期用气量为$(1200-x)\ \mathrm{m}^3$，由（1）得第一阶梯气价为2.2元/m³，已知$x≥500$，分情况讨论：
①当$x=500$时，总费用为$2.2×500+2.2×(1200-500)=2640$元，$2640≠2660$，不符合题意；
②当$500＜x≤660$时，列方程：
$2.2×500+(2.2+0.2)(x-500)+2.2(1200-x)=2660$
化简得$0.2x+2540=2660$，解得$x=600$，符合取值范围，此时采暖期费用为$2.2×(1200-600)=1320$元；
③当$x＞660$时，列方程：
$2.2×500+(2.2+0.2)×(660-500)+(2.2+0.4)(x-660)+2.2(1200-x)=2660$
化简得$0.4x+2408=2660$，解得$x=630$，$630＜660$，不符合取值范围，舍去。
综上，小钟家今年采暖期用气费用为1320元。
【答案】
（1）$\boxed{600a+20}$；$\boxed{2.2}$
（2）$\boxed{1320}$元
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的阶梯气价政策考查分段计费问题，解题核心是明确不同区间的计费标准，根据取值范围分类讨论列方程求解，注意求出方程的解后要检验是否符合区间限制条件。
【难度系数】
0.6

3 如图，有5个重量一样的重物和一根质地均匀的木杆，现将2个重物挂在木杆的右端，3个重物挂在木杆的左边，并使左右平衡。设木杆长a cm，支点在木杆的正中间，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把a作为已知数，列出关于x的一元一次方程为。

3. $3x=2× \dfrac{1}{2}a$

【分析】
解决这道题首先要明确平衡时的等量关系：左右两边“重物的个数×重物到支点的距离”相等。首先确定左边的量：3个重物，到支点的距离是x cm；再确定右边的量：2个重物，支点在木杆中点，木杆总长为a cm，因此右端挂重物处到支点的距离为$\dfrac{1}{2}a$ cm，将两边的量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设每个重物重量相同，根据平衡的等量关系：左边重物个数×左边重物到支点的距离 = 右边重物个数×右边重物到支点的距离。
已知左边有3个重物，到支点距离为x cm；右边有2个重物，木杆总长a cm，支点在中点，故右边重物到支点的距离为$\dfrac{1}{2}a$ cm。
代入等量关系得：$3x=2× \dfrac{1}{2}a$。
【答案】
$3x=2× \dfrac{1}{2}a$
【知识点】
列一元一次方程，等量关系建立，杠杆平衡原理
【点评】
本题结合平衡场景考查一元一次方程的实际应用，解题核心是准确找到两边的对应量，明确平衡时的等量关系，属于基础应用类题目，需要注意确定右边重物到支点的距离不要出错。
【难度系数】
0.8