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6 从A地到B地，先下坡然后走平路.某人骑自行车从A地到B地，先以12 km/h的速度下坡，再以9 km/h的速度通过平路，共用55 min. 从B地返回A地时，以8 km/h的速度通过平路，再以4 km/h的速度上坡，共用1.5 h. 从A地到B地有多少千米？
答案
6. 设坡路长为x km.根据题意,得$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$,解得x=3.所以平路长为$8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6(\mathrm{km})$.所以从A地到B地有3+6=9(km)
解析
【分析】
这是行程类应用题，解题时首先要抓住往返过程中坡路长度、平路长度均不变的特点。首先统一时间单位，将分钟换算为小时；我们可以设坡路长为x km，分别表示出去时和返回时走平路的时间，再结合平路速度，用“路程=速度×时间”分别表示出平路的长度，根据平路长度相等列方程求解坡路长度，再计算平路长度，二者相加即为A到B的总路程。
【解析】
首先统一单位：$55\mathrm{min}=\frac{55}{60}\mathrm{h}$，$1.5\mathrm{h}=\frac{3}{2}\mathrm{h}$。
设坡路长为$x\ \mathrm{km}$，根据平路长度不变可列方程：
$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$
解方程：
左边化简得：$9×\frac{55}{60}-9×\frac{x}{12}=\frac{33}{4}-\frac{3x}{4}$
右边化简得：$8×\frac{3}{2}-8×\frac{x}{4}=12-2x$
移项得：$2x-\frac{3x}{4}=12-\frac{33}{4}$
合并同类项得：$\frac{5x}{4}=\frac{15}{4}$
解得：$x=3$
将$x=3$代入平路长度的表达式，得平路长为：
$8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6(\mathrm{km})$
所以A地到B地的总路程为：$3+6=9(\mathrm{km})$
【答案】
9 km
【知识点】
行程问题、一元一次方程的应用、路程速度时间关系
【点评】
本题属于典型的往返行程问题，解题关键是找到往返过程中不变的量（坡路长度、平路长度），以此为等量关系建立方程，解题时需注意先统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是行程类应用题，解题时首先要抓住往返过程中坡路长度、平路长度均不变的特点。首先统一时间单位，将分钟换算为小时；我们可以设坡路长为x km，分别表示出去时和返回时走平路的时间，再结合平路速度，用“路程=速度×时间”分别表示出平路的长度，根据平路长度相等列方程求解坡路长度，再计算平路长度，二者相加即为A到B的总路程。
【解析】
首先统一单位：$55\mathrm{min}=\frac{55}{60}\mathrm{h}$，$1.5\mathrm{h}=\frac{3}{2}\mathrm{h}$。
设坡路长为$x\ \mathrm{km}$，根据平路长度不变可列方程：
$9(\frac{55}{60}-\frac{x}{12})=8(\frac{3}{2}-\frac{x}{4})$
解方程：
左边化简得：$9×\frac{55}{60}-9×\frac{x}{12}=\frac{33}{4}-\frac{3x}{4}$
右边化简得：$8×\frac{3}{2}-8×\frac{x}{4}=12-2x$
移项得：$2x-\frac{3x}{4}=12-\frac{33}{4}$
合并同类项得：$\frac{5x}{4}=\frac{15}{4}$
解得：$x=3$
将$x=3$代入平路长度的表达式，得平路长为：
$8×(\frac{3}{2}-\frac{3}{4})=6(\mathrm{km})$
所以A地到B地的总路程为：$3+6=9(\mathrm{km})$
【答案】
9 km
【知识点】
行程问题、一元一次方程的应用、路程速度时间关系
【点评】
本题属于典型的往返行程问题，解题关键是找到往返过程中不变的量（坡路长度、平路长度），以此为等量关系建立方程，解题时需注意先统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
7 一个五位数的个位上的数字为4，这个五位数加上6 120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数字恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数字，求原五位数。
答案
7. 设原五位数去掉个位上数字后,得到的四位数为x,则原五位数为10x+4.根据题意,得(10x+4)+6 120=4×10 000+x,解得x=3 764,则10x+4=37 644.所以原五位数是37 644
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，若直接设原五位数为未知数，很难表示出移位后的新五位数，因此可采用整体设元的思路：已知原五位数个位是4，设原五位数去掉个位后得到的四位数为x，那么原五位数就可以表示为10x+4；新五位数是将原数的个位移到万位，其余数位依次后移一位，所以新五位数可表示为4×10000 + x。再根据“原五位数+6120=新五位数”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原五位数去掉个位数字后得到的四位数为x，则原五位数可表示为10x + 4。
根据题意列方程：
$(10x + 4) + 6120 = 4×10000 + x$
整理得：$10x + 6124 = 40000 + x$
移项得：$10x - x = 40000 - 6124$
合并同类项得：$9x = 33876$
系数化为1得：$x = 3764$
则原五位数为$10x + 4 = 10×3764 + 4 = 37644$
【答案】
37644
【知识点】
一元一次方程应用，数字问题设元
【点评】
本题是数字类方程应用的典型题型，核心解题技巧是采用整体设元法简化数位表示，避免了直接设五位数带来的表示繁琐问题，同时考察了对数位计数单位的理解和应用，掌握这种设元方法能大幅提升同类问题的解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元一次方程应用题，若直接设原五位数为未知数，很难表示出移位后的新五位数，因此可采用整体设元的思路：已知原五位数个位是4，设原五位数去掉个位后得到的四位数为x，那么原五位数就可以表示为10x+4；新五位数是将原数的个位移到万位，其余数位依次后移一位，所以新五位数可表示为4×10000 + x。再根据“原五位数+6120=新五位数”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设原五位数去掉个位数字后得到的四位数为x，则原五位数可表示为10x + 4。
根据题意列方程：
$(10x + 4) + 6120 = 4×10000 + x$
整理得：$10x + 6124 = 40000 + x$
移项得：$10x - x = 40000 - 6124$
合并同类项得：$9x = 33876$
系数化为1得：$x = 3764$
则原五位数为$10x + 4 = 10×3764 + 4 = 37644$
【答案】
37644
【知识点】
一元一次方程应用，数字问题设元
【点评】
本题是数字类方程应用的典型题型，核心解题技巧是采用整体设元法简化数位表示，避免了直接设五位数带来的表示繁琐问题，同时考察了对数位计数单位的理解和应用，掌握这种设元方法能大幅提升同类问题的解题效率。
【难度系数】
0.7
8 某商品月末的进价比月初的进价降了8%，而售价不变，这样月末的利润率比月初的高100%，则月初的利润率是
15%
。答案
8. 15% 【解析】设月初的利润率为x%,商品月初的进价为M元,则月末的进价为(1−8%)M=0.92M(元).根据题意,得M(1+x%)=0.92M[1+(x+10)%],解得x=15.所以月初的利润率为15%.
解析
【分析】
本题是商品利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“售价不变”这一等量关系。首先回忆利润率相关公式：售价=进价×(1+利润率)。由于题目未给出具体进价，我们可以设月初进价为辅助参数M（计算过程中会消去，不影响结果），再设月初利润率为x%，根据“月末进价比月初降8%”表示出月末进价，再结合月末利润率比月初高10个百分点的条件，分别表示出月初和月末的售价，列方程求解即可。
【解析】
设月初的利润率为x%，商品月初的进价为M元（M≠0）。
由“月末进价比月初降8%”可得，月末的进价为：$(1-8\%)M=0.92M$元。
根据售价=进价×(1+利润率)，且月初、月末售价不变，可列方程：
$M(1 + x\%) = 0.92M[1 + (x + 10)\%]$
因为M≠0，方程两边同时除以M，得：
$1 + 0.01x = 0.92×(1 + 0.01x + 0.1)$
展开右侧计算得：$1 + 0.01x = 1.012 + 0.0092x$
移项合并同类项得：$0.0008x = 0.012$
解得：$x=15$
【答案】
15%
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率计算，辅助设元法
【点评】
这道题是辅助设元法在利润问题中的典型应用，引入的进价参数M仅用来列式，不需要求出具体数值，解题的关键是准确梳理售价、进价、利润率三者的关系，抓住售价不变的等量关系列方程。
【难度系数】
0.6
本题是商品利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“售价不变”这一等量关系。首先回忆利润率相关公式：售价=进价×(1+利润率)。由于题目未给出具体进价，我们可以设月初进价为辅助参数M（计算过程中会消去，不影响结果），再设月初利润率为x%，根据“月末进价比月初降8%”表示出月末进价，再结合月末利润率比月初高10个百分点的条件，分别表示出月初和月末的售价，列方程求解即可。
【解析】
设月初的利润率为x%，商品月初的进价为M元（M≠0）。
由“月末进价比月初降8%”可得，月末的进价为：$(1-8\%)M=0.92M$元。
根据售价=进价×(1+利润率)，且月初、月末售价不变，可列方程：
$M(1 + x\%) = 0.92M[1 + (x + 10)\%]$
因为M≠0，方程两边同时除以M，得：
$1 + 0.01x = 0.92×(1 + 0.01x + 0.1)$
展开右侧计算得：$1 + 0.01x = 1.012 + 0.0092x$
移项合并同类项得：$0.0008x = 0.012$
解得：$x=15$
【答案】
15%
【知识点】
一元一次方程的应用，利润率计算，辅助设元法
【点评】
这道题是辅助设元法在利润问题中的典型应用，引入的进价参数M仅用来列式，不需要求出具体数值，解题的关键是准确梳理售价、进价、利润率三者的关系，抓住售价不变的等量关系列方程。
【难度系数】
0.6
9 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的$\frac{2}{3}$，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在5月内，团体票每张12元，共售出团体票数的$\frac{3}{5}$；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.如果在6月内，团体票按每张16元出售，并计划在6月内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
答案
9. 设总票数为a(a＞0)张,6月内零售票应按每张x元定价.根据题意,得$12(\frac{2}{3}a×\frac{3}{5})+16(\frac{1}{3}a×\frac{1}{2})=16(\frac{2}{3}a×\frac{2}{5})+\frac{1}{3}a×\frac{1}{2}x$.化简,得$\frac{24}{5}a+\frac{8}{3}a=\frac{64}{15}a+\frac{1}{6}ax$,解得x=19.2.所以6月内,零售票应按每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平
解析
【分析】
解题的核心是找到等量关系：5月票款总收入=6月票款总收入。首先，总票数未知，可引入辅助元设总票数为a(a＞0)，最终计算时a会消去不影响结果。接下来拆分两类票的售卖情况：团体票占总票数的$\frac{2}{3}$，零售票占总票数的$\frac{1}{3}$；分别计算5月售出的团体票、零售票的票款之和，以及6月售出的剩余团体票、剩余零售票的票款之和，令二者相等列方程求解即可。
【解析】
设总票数为$a(a＞0)$张，6月内零售票应按每张$x$元定价。
根据两个月票款收入持平，列方程：
$12×(\frac{2}{3}a×\frac{3}{5})+16×(\frac{1}{3}a×\frac{1}{2})=16×(\frac{2}{3}a×(1-\frac{3}{5}))+x×(\frac{1}{3}a×\frac{1}{2})$
化简得：
$\frac{24}{5}a+\frac{8}{3}a=\frac{64}{15}a+\frac{1}{6}ax$
因为$a＞0$，方程两边同时除以$a$得：
$\frac{24}{5}+\frac{8}{3}=\frac{64}{15}+\frac{1}{6}x$
通分计算：
$\frac{72}{15}+\frac{40}{15}-\frac{64}{15}=\frac{1}{6}x$
$\frac{48}{15}=\frac{1}{6}x$
解得：$x=19.2$
【答案】
6月内零售票应按每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平。
【知识点】
一元一次方程应用，辅助设元法，列方程解应用题
【点评】
本题属于经济类的方程应用问题，解题关键是找准“两个月收入相等”的等量关系，引入总票数作为辅助元可以更清晰地表示各部分的售票数量，计算时辅助元会自然消去，无需求解具体数值。解题时需注意区分两类票不同时段的单价和售出比例，避免数据混淆。
【难度系数】
0.6
解题的核心是找到等量关系：5月票款总收入=6月票款总收入。首先，总票数未知，可引入辅助元设总票数为a(a＞0)，最终计算时a会消去不影响结果。接下来拆分两类票的售卖情况：团体票占总票数的$\frac{2}{3}$，零售票占总票数的$\frac{1}{3}$；分别计算5月售出的团体票、零售票的票款之和，以及6月售出的剩余团体票、剩余零售票的票款之和，令二者相等列方程求解即可。
【解析】
设总票数为$a(a＞0)$张，6月内零售票应按每张$x$元定价。
根据两个月票款收入持平，列方程：
$12×(\frac{2}{3}a×\frac{3}{5})+16×(\frac{1}{3}a×\frac{1}{2})=16×(\frac{2}{3}a×(1-\frac{3}{5}))+x×(\frac{1}{3}a×\frac{1}{2})$
化简得：
$\frac{24}{5}a+\frac{8}{3}a=\frac{64}{15}a+\frac{1}{6}ax$
因为$a＞0$，方程两边同时除以$a$得：
$\frac{24}{5}+\frac{8}{3}=\frac{64}{15}+\frac{1}{6}x$
通分计算：
$\frac{72}{15}+\frac{40}{15}-\frac{64}{15}=\frac{1}{6}x$
$\frac{48}{15}=\frac{1}{6}x$
解得：$x=19.2$
【答案】
6月内零售票应按每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平。
【知识点】
一元一次方程应用，辅助设元法，列方程解应用题
【点评】
本题属于经济类的方程应用问题，解题关键是找准“两个月收入相等”的等量关系，引入总票数作为辅助元可以更清晰地表示各部分的售票数量，计算时辅助元会自然消去，无需求解具体数值。解题时需注意区分两类票不同时段的单价和售出比例，避免数据混淆。
【难度系数】
0.6
