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2. 两个质数的乘积一定是（
①质数 ②偶数 ③合数 ④奇数
③
）。①质数 ②偶数 ③合数 ④奇数
答案
③
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆质数、合数的定义，再逐一分析每个选项是否符合要求。首先明确：质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有其他因数。我们可以先分析两个质数乘积的因数个数，再通过举反例排除错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
我们假设两个质数分别为a、b，它们的乘积为c=a×b：
c的因数至少有1、a、b、c这四个（当a=b时，因数有1、a、c三个），满足合数“除了1和本身还有其他因数”的特征，所以乘积一定是合数。
再逐一排除错误选项：
①质数：乘积有除了1和本身之外的因数，不可能是质数，排除；
②偶数：举反例，3×5=15，15是奇数，所以乘积不一定是偶数，排除；
④奇数：举反例，2×3=6，6是偶数，所以乘积不一定是奇数，排除。
因此选③。
【答案】
③
【知识点】
质数的概念，合数的概念，因数的意义
【点评】
本题考查对质数、合数基本概念的掌握，解题核心是分析两个质数乘积的因数构成，同时要注意特殊质数2的特性，通过举反例可以快速排除错误的干扰选项。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要回忆质数、合数的定义，再逐一分析每个选项是否符合要求。首先明确：质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有其他因数。我们可以先分析两个质数乘积的因数个数，再通过举反例排除错误选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
我们假设两个质数分别为a、b，它们的乘积为c=a×b：
c的因数至少有1、a、b、c这四个（当a=b时，因数有1、a、c三个），满足合数“除了1和本身还有其他因数”的特征，所以乘积一定是合数。
再逐一排除错误选项：
①质数：乘积有除了1和本身之外的因数，不可能是质数，排除；
②偶数：举反例，3×5=15，15是奇数，所以乘积不一定是偶数，排除；
④奇数：举反例，2×3=6，6是偶数，所以乘积不一定是奇数，排除。
因此选③。
【答案】
③
【知识点】
质数的概念，合数的概念，因数的意义
【点评】
本题考查对质数、合数基本概念的掌握，解题核心是分析两个质数乘积的因数构成，同时要注意特殊质数2的特性，通过举反例可以快速排除错误的干扰选项。
【难度系数】
0.75
3. 在自然数中，2的倍数（
①一定是质数
②一定是合数
③可能是质数，也可能是合数
④不是质数，也不是合数
③
）。①一定是质数
②一定是合数
③可能是质数，也可能是合数
④不是质数，也不是合数
答案
③
解析
【分析】
解题时先明确相关概念：首先，2的倍数是指能被2整除的自然数，例如2、4、6、8……；质数是只有1和它本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和它本身还有其他因数的大于1的自然数。接下来我们通过举例验证：先看最小的2的倍数2，它的因数只有1和2，属于质数；再看比2大的2的倍数，比如4，因数有1、2、4，属于合数。由此就能判断2的倍数的属性。
【解析】
首先回忆相关定义：
1. 2的倍数：自然数中能被2整除的数，从小到大有2、4、6、8、10……
2. 质数：只有1和它本身两个因数的自然数（大于1）。
3. 合数：除了1和它本身还有其他因数的自然数（大于1）。
接着举例分析：
2是2的倍数，它的因数只有1和2，符合质数的定义，是质数；
4是2的倍数，它的因数有1、2、4，符合合数的定义，是合数。
因此2的倍数可能是质数，也可能是合数。
【答案】
③
【知识点】
质数的认识；合数的认识；2的倍数特征
【点评】
本题容易因忽略2是唯一的偶质数这个特殊情况误判所有2的倍数都是合数，通过举例验证的方法就能快速规避错误，准确得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时先明确相关概念：首先，2的倍数是指能被2整除的自然数，例如2、4、6、8……；质数是只有1和它本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和它本身还有其他因数的大于1的自然数。接下来我们通过举例验证：先看最小的2的倍数2，它的因数只有1和2，属于质数；再看比2大的2的倍数，比如4，因数有1、2、4，属于合数。由此就能判断2的倍数的属性。
【解析】
首先回忆相关定义：
1. 2的倍数：自然数中能被2整除的数，从小到大有2、4、6、8、10……
2. 质数：只有1和它本身两个因数的自然数（大于1）。
3. 合数：除了1和它本身还有其他因数的自然数（大于1）。
接着举例分析：
2是2的倍数，它的因数只有1和2，符合质数的定义，是质数；
4是2的倍数，它的因数有1、2、4，符合合数的定义，是合数。
因此2的倍数可能是质数，也可能是合数。
【答案】
③
【知识点】
质数的认识；合数的认识；2的倍数特征
【点评】
本题容易因忽略2是唯一的偶质数这个特殊情况误判所有2的倍数都是合数，通过举例验证的方法就能快速规避错误，准确得出结论。
【难度系数】
0.7
1. 饮料厂要把70瓶纯净水包装起来批发给超市，厂里只有下面三种包装盒。选哪种包装盒能正好把纯净水包装完？为什么？
答案
包装一。因为70是5的倍数，不是3和4的倍数
解析
【分析】
首先观察确定三种包装盒各自能装的纯净水数量：包装一每盒装5瓶，包装二每盒装4瓶，包装三每盒装3瓶。要正好把70瓶纯净水包装完，说明总瓶数70要能被包装盒的容量整除，也就是70是该包装盒容量的倍数，计算时没有余数。因此我们只需要分别判断70是不是5、4、3的倍数，就能找到符合要求的包装盒。
【解析】
第一步：数出三种包装盒的容量：
包装一：每盒可装5瓶；包装二：每盒可装4瓶；包装三：每盒可装3瓶。
第二步：分别计算70除以三个容量的结果，判断是否能整除：
$70÷5=14$（盒），计算没有余数，说明用包装一可以正好装完；
$70÷4=17$（盒）$\dots\dots2$（瓶），剩余2瓶，不能正好装完；
$70÷3=23$（盒）$\dots\dots1$（瓶），剩余1瓶，不能正好装完。
因此选择包装一能正好装完。
【答案】
包装一。因为70是5的倍数，不是3和4的倍数
【知识点】
倍数的判断，整除的应用，除法运算
【点评】
这道题结合生活包装场景出题，解题的核心是理解“正好包装完”的数学含义是总数量除以单个包装盒容量没有余数，即总数量是包装盒容量的倍数，有助于锻炼学生将生活问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先观察确定三种包装盒各自能装的纯净水数量：包装一每盒装5瓶，包装二每盒装4瓶，包装三每盒装3瓶。要正好把70瓶纯净水包装完，说明总瓶数70要能被包装盒的容量整除，也就是70是该包装盒容量的倍数，计算时没有余数。因此我们只需要分别判断70是不是5、4、3的倍数，就能找到符合要求的包装盒。
【解析】
第一步：数出三种包装盒的容量：
包装一：每盒可装5瓶；包装二：每盒可装4瓶；包装三：每盒可装3瓶。
第二步：分别计算70除以三个容量的结果，判断是否能整除：
$70÷5=14$（盒），计算没有余数，说明用包装一可以正好装完；
$70÷4=17$（盒）$\dots\dots2$（瓶），剩余2瓶，不能正好装完；
$70÷3=23$（盒）$\dots\dots1$（瓶），剩余1瓶，不能正好装完。
因此选择包装一能正好装完。
【答案】
包装一。因为70是5的倍数，不是3和4的倍数
【知识点】
倍数的判断，整除的应用，除法运算
【点评】
这道题结合生活包装场景出题，解题的核心是理解“正好包装完”的数学含义是总数量除以单个包装盒容量没有余数，即总数量是包装盒容量的倍数，有助于锻炼学生将生活问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
2. 妈妈买了一些水果，乐乐把其中的苹果平均分给爸爸、妈妈和自己，刚好分完没有剩余。这时，门铃响了，爷爷和奶奶从老家来了，乐乐要把苹果先给爷爷奶奶吃，于是，乐乐把全部的苹果又重新平均分了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？
答案
15个
解析
【分析】
解题时首先明确两次平均分的总人数：第一次是乐乐和爸爸、妈妈共3人，刚好分完说明苹果总数是3的倍数；第二次加上爷爷奶奶后总人数变为5人，再次平均分也刚好分完，说明苹果总数也是5的倍数。题目要求苹果至少有多少个，本质就是求3和5的最小公倍数。
【解析】
1. 计算第一次分配的总人数：爸爸、妈妈、乐乐共3人，因此苹果总数是3的倍数；
2. 计算第二次分配的总人数：加入爷爷、奶奶后，总人数为 $3+2=5$ 人，因此苹果总数也是5的倍数；
3. 求3和5的最小公倍数：3和5是互质数，最小公倍数为两数的乘积，即 $3×5=15$。
【答案】
15个
【知识点】
最小公倍数计算，公倍数实际应用，因数与倍数
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的应用，解题的核心是通过“刚好分完无剩余”的条件判断出苹果总数是两次分配人数的公倍数，求最少数量即取最小公倍数，只要找准两次分配的总人数就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两次平均分的总人数：第一次是乐乐和爸爸、妈妈共3人，刚好分完说明苹果总数是3的倍数；第二次加上爷爷奶奶后总人数变为5人，再次平均分也刚好分完，说明苹果总数也是5的倍数。题目要求苹果至少有多少个，本质就是求3和5的最小公倍数。
【解析】
1. 计算第一次分配的总人数：爸爸、妈妈、乐乐共3人，因此苹果总数是3的倍数；
2. 计算第二次分配的总人数：加入爷爷、奶奶后，总人数为 $3+2=5$ 人，因此苹果总数也是5的倍数；
3. 求3和5的最小公倍数：3和5是互质数，最小公倍数为两数的乘积，即 $3×5=15$。
【答案】
15个
【知识点】
最小公倍数计算，公倍数实际应用，因数与倍数
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的应用，解题的核心是通过“刚好分完无剩余”的条件判断出苹果总数是两次分配人数的公倍数，求最少数量即取最小公倍数，只要找准两次分配的总人数就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
四、找规律。
$1+3=$（$\quad\quad$），$1+3+5=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7+9=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7+9+11=$（$\quad\quad$）。
通过计算，说说你的发现：______
$1+3=$（$\quad\quad$），$1+3+5=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7+9=$（$\quad\quad$），$1+3+5+7+9+11=$（$\quad\quad$）。
通过计算，说说你的发现：______
答案
4，9，16，25，36
奇数的和为偶数，从1开始连续奇数的总和恰巧等于2×2，3×3，4×4，5×5…
奇数的和为偶数，从1开始连续奇数的总和恰巧等于2×2，3×3，4×4，5×5…
解析
【分析】
解题分为两步完成：第一步先按照整数加法逐步累加的计算方法，准确算出每个加法算式的结果；第二步观察算式和结果的共性，首先确认所有算式的加数都是从1开始的连续奇数，再统计每个算式的加数个数，将加数个数和对应的和做对比，就能归纳出对应的规律。
【解析】
1. 计算各算式的结果：
$1+3=4$
$1+3+5=4+5=9$
$1+3+5+7=9+7=16$
$1+3+5+7+9=16+9=25$
$1+3+5+7+9+11=25+11=36$
2. 总结规律：
观察发现，第一个算式有2个从1开始的连续奇数相加，和为$2×2$；第二个算式有3个从1开始的连续奇数相加，和为$3×3$；以此类推，从1开始的连续奇数相加的和等于加数个数的平方。
【答案】
4，9，16，25，36；奇数的和为偶数，从1开始连续奇数的总和恰巧等于2×2，3×3，4×4，5×5…
【知识点】
整数加法计算，找规律，平方数认识
【点评】
本题结合基础加法运算考察学生的观察归纳能力，通过计算简单的连续奇数求和，引导学生主动探索数字间的规律，有助于提升数感和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8
解题分为两步完成：第一步先按照整数加法逐步累加的计算方法，准确算出每个加法算式的结果；第二步观察算式和结果的共性，首先确认所有算式的加数都是从1开始的连续奇数，再统计每个算式的加数个数，将加数个数和对应的和做对比，就能归纳出对应的规律。
【解析】
1. 计算各算式的结果：
$1+3=4$
$1+3+5=4+5=9$
$1+3+5+7=9+7=16$
$1+3+5+7+9=16+9=25$
$1+3+5+7+9+11=25+11=36$
2. 总结规律：
观察发现，第一个算式有2个从1开始的连续奇数相加，和为$2×2$；第二个算式有3个从1开始的连续奇数相加，和为$3×3$；以此类推，从1开始的连续奇数相加的和等于加数个数的平方。
【答案】
4，9，16，25，36；奇数的和为偶数，从1开始连续奇数的总和恰巧等于2×2，3×3，4×4，5×5…
【知识点】
整数加法计算，找规律，平方数认识
【点评】
本题结合基础加法运算考察学生的观察归纳能力，通过计算简单的连续奇数求和，引导学生主动探索数字间的规律，有助于提升数感和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8
