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9. 若直线$y=x-4$与直线$y=-x+2b$的交点在第四象限，则$b$的取值范围是。
答案
解：联立两条直线的方程，得
$\begin{cases}y=x-4\\y=-x+2b\end{cases}$
令两式右边相等，得$x-4=-x+2b$，
解得$x=b+2$，
将$x=b+2$代入$y=x-4$，得$y=b-2$，
因此两直线的交点坐标为$(b+2, b-2)$。
∵交点在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}b+2＞0\\b-2＜0\end{cases}$
解不等式$b+2＞0$，得$b＞-2$，
解不等式$b-2＜0$，得$b＜2$，
∴$b$的取值范围是$\boldsymbol{-2＜b＜2}$。
$\begin{cases}y=x-4\\y=-x+2b\end{cases}$
令两式右边相等，得$x-4=-x+2b$，
解得$x=b+2$，
将$x=b+2$代入$y=x-4$，得$y=b-2$，
因此两直线的交点坐标为$(b+2, b-2)$。
∵交点在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴列不等式组：
$\begin{cases}b+2＞0\\b-2＜0\end{cases}$
解不等式$b+2＞0$，得$b＞-2$，
解不等式$b-2＜0$，得$b＜2$，
∴$b$的取值范围是$\boldsymbol{-2＜b＜2}$。
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y_1 = -\frac{1}{2}x + 2$分别与x轴、y轴交于点A，B，直线$y_2 = ax - b$与直线$y_1$相交于点C(2，m)，与x轴相交于点D(1，0)，与y轴相交于点E.
(1)求直线$y_2$的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式$ax - b ＞ -\frac{1}{2}x + 2 ＞ 0$的解集；
(3)若点P是x轴上一动点，连接CP，当$S_{△ CDP} = \frac{1}{2}S_{△ BCE}$时，请求出点P的坐标.
应用创新
(1)求直线$y_2$的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式$ax - b ＞ -\frac{1}{2}x + 2 ＞ 0$的解集；
(3)若点P是x轴上一动点，连接CP，当$S_{△ CDP} = \frac{1}{2}S_{△ BCE}$时，请求出点P的坐标.
应用创新
答案
解：
(1) 把点$C(2,m)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$m=-\frac{1}{2}×2 + 2=1$，即$C(2,1)$。
将$C(2,1)$、$D(1,0)$代入$y_2=ax-b$，得：
$\begin{cases}2a - b=1\\a - b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
所以直线$y_2$的表达式为$y_2=x-1$。
(2) 对于$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，令$y_1=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$。
不等式$ax - b ＞ -\frac{1}{2}x + 2 ＞ 0$的解集为$2＜x＜4$。
(3) 对于$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，令$x=0$，得$y_1=2$，即$B(0,2)$。
对于$y_2=x-1$，令$x=0$，得$y_2=-1$，即$E(0,-1)$。
所以$BE=|2 - (-1)|=3$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE× 2=\frac{1}{2}×3×2=3$，
则$\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{3}{2}$。
设点$P$坐标为$(t,0)$，则$DP=|t-1|$，点$C$到$x$轴的距离为$1$，
$S_{△ CDP}=\frac{1}{2}×|t-1|×1=\frac{1}{2}|t-1|$，
令$\frac{1}{2}|t-1|=\frac{3}{2}$，解得$t=4$或$t=-2$。
所以点$P$的坐标为$(4,0)$或$(-2,0)$。
(1) 把点$C(2,m)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，得：
$m=-\frac{1}{2}×2 + 2=1$，即$C(2,1)$。
将$C(2,1)$、$D(1,0)$代入$y_2=ax-b$，得：
$\begin{cases}2a - b=1\\a - b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}$
所以直线$y_2$的表达式为$y_2=x-1$。
(2) 对于$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，令$y_1=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$。
不等式$ax - b ＞ -\frac{1}{2}x + 2 ＞ 0$的解集为$2＜x＜4$。
(3) 对于$y_1=-\frac{1}{2}x+2$，令$x=0$，得$y_1=2$，即$B(0,2)$。
对于$y_2=x-1$，令$x=0$，得$y_2=-1$，即$E(0,-1)$。
所以$BE=|2 - (-1)|=3$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE× 2=\frac{1}{2}×3×2=3$，
则$\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{3}{2}$。
设点$P$坐标为$(t,0)$，则$DP=|t-1|$，点$C$到$x$轴的距离为$1$，
$S_{△ CDP}=\frac{1}{2}×|t-1|×1=\frac{1}{2}|t-1|$，
令$\frac{1}{2}|t-1|=\frac{3}{2}$，解得$t=4$或$t=-2$。
所以点$P$的坐标为$(4,0)$或$(-2,0)$。
11. 【了解概念】已知函数 $ y_1 $ 是自变量 $ x $ 的函数，当 $ y_2 = 2y_1 - x $，称函数 $ y_2 $ 为函数 $ y_1 $ 的“倍差函数”。
在平面直角坐标系中，对于函数 $ y_1 $ 图象上一点 $ A(m, n) $，称点 $ B(m, 2n - m) $ 为点 $ A $ 关于函数 $ y_1 $ 的“倍差点”，点 $ B $ 在函数 $ y_1 $ 的“倍差函数”的图象上。
【理解运用】例如：函数 $ y_1 = 2x $。当 $ y_2 = 2y_1 - x = 4x - x = 3x $ 时，称函数 $ y_2 = 3x $ 是函数 $ y_1 $ 的“倍差函数”。在平面直角坐标系中，函数 $ y_1 = 2x $ 图象上任意一点 $ A(m, n) $，点 $ B(m, 2n - m) $ 为点 $ A $ 关于 $ y_1 $ 的“倍差点”，点 $ B $ 在函数 $ y_1 = 2x $ 的“倍差函数” $ y_2 = 3x $ 的图象上。
(1) 求函数 $ y_1 = x - 2 $ 的“倍差函数” $ y_2 $ 的表达式；
(2) 点 $ P(m, n) $ 在函数 $ y_1 = 2 - x $ 的图象上，点 $ P $ 关于函数 $ y_1 $ 的“倍差点”为点 $ Q $，若点 $ Q $ 与 $ P $ 的纵坐标的和为 -2，求点 $ P $ 的坐标；
【拓展提升】
(3) 在(2)的条件下，$ y_1 $ 的“倍差函数”为 $ y_2 $，直线 $ y_2 $ 交 $ y $ 轴于点 $ T $，已知点 $ A(t, t) $，$ B(t + 1, t + 2) $，若直线 $ AB $ 与 $ △ PQT $ 有交点，求 $ t $ 的取值范围。
在平面直角坐标系中，对于函数 $ y_1 $ 图象上一点 $ A(m, n) $，称点 $ B(m, 2n - m) $ 为点 $ A $ 关于函数 $ y_1 $ 的“倍差点”，点 $ B $ 在函数 $ y_1 $ 的“倍差函数”的图象上。
【理解运用】例如：函数 $ y_1 = 2x $。当 $ y_2 = 2y_1 - x = 4x - x = 3x $ 时，称函数 $ y_2 = 3x $ 是函数 $ y_1 $ 的“倍差函数”。在平面直角坐标系中，函数 $ y_1 = 2x $ 图象上任意一点 $ A(m, n) $，点 $ B(m, 2n - m) $ 为点 $ A $ 关于 $ y_1 $ 的“倍差点”，点 $ B $ 在函数 $ y_1 = 2x $ 的“倍差函数” $ y_2 = 3x $ 的图象上。
(1) 求函数 $ y_1 = x - 2 $ 的“倍差函数” $ y_2 $ 的表达式；
(2) 点 $ P(m, n) $ 在函数 $ y_1 = 2 - x $ 的图象上，点 $ P $ 关于函数 $ y_1 $ 的“倍差点”为点 $ Q $，若点 $ Q $ 与 $ P $ 的纵坐标的和为 -2，求点 $ P $ 的坐标；
【拓展提升】
(3) 在(2)的条件下，$ y_1 $ 的“倍差函数”为 $ y_2 $，直线 $ y_2 $ 交 $ y $ 轴于点 $ T $，已知点 $ A(t, t) $，$ B(t + 1, t + 2) $，若直线 $ AB $ 与 $ △ PQT $ 有交点，求 $ t $ 的取值范围。
答案
解：
(1) 根据“倍差函数”的定义，将$y_1 = x - 2$代入$y_2 = 2y_1 - x$，得：
$y_2 = 2(x - 2) - x = 2x - 4 - x = x - 4$
所以$y_2$的表达式为$\boldsymbol{y_2 = x - 4}$。
(2) 因为点$P(m,n)$在函数$y_1=2-x$的图象上，所以：
$n = 2 - m \quad ①$
由“倍差点”的定义，点$Q$的坐标为$(m, 2n - m)$。
根据题意，点$Q$与$P$的纵坐标之和为$-2$，即：
$n + (2n - m) = -2$，整理得$3n - m = -2 \quad ②$
将①代入②：
$3(2 - m) - m = -2$
$6 - 4m = -2$
解得$m=2$，代入①得$n=0$
所以点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2, 0)}$。
(3) 先求$y_1=2-x$的“倍差函数”$y_2$：
$y_2 = 2y_1 - x = 2(2 - x) - x = 4 - 3x$
令$x=0$，得$y=4$，所以直线$y_2$与$y$轴交点$T$的坐标为$(0,4)$。
由(2)得$P(2,0)$，点$Q$是点$P$的倍差点，因此$Q(2, 2×0 - 2)=(2,-2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(t,t)$、$B(t+1,t+2)$代入：
$\begin{cases} t = kt + b \\ t+2 = k(t+1) + b \end{cases}$
两式相减得$k=2$，代回解得$b=-t$，因此直线$AB$的解析式为$y=2x - t$。
分别计算直线$AB$经过$△ PQT$三个顶点时的$t$值：
当直线$AB$过$T(0,4)$时，代入得$4 = 0 - t$，解得$t=-4$；
当直线$AB$过$P(2,0)$时，代入得$0 = 4 - t$，解得$t=4$；
当直线$AB$过$Q(2,-2)$时，代入得$-2 = 4 - t$，解得$t=6$。
结合直线斜率和三角形范围，可得直线$AB$与$△ PQT$有交点时，$t$的取值范围为$\boldsymbol{-4 ≤ t ≤ 6}$。
(1) 根据“倍差函数”的定义，将$y_1 = x - 2$代入$y_2 = 2y_1 - x$，得：
$y_2 = 2(x - 2) - x = 2x - 4 - x = x - 4$
所以$y_2$的表达式为$\boldsymbol{y_2 = x - 4}$。
(2) 因为点$P(m,n)$在函数$y_1=2-x$的图象上，所以：
$n = 2 - m \quad ①$
由“倍差点”的定义，点$Q$的坐标为$(m, 2n - m)$。
根据题意，点$Q$与$P$的纵坐标之和为$-2$，即：
$n + (2n - m) = -2$，整理得$3n - m = -2 \quad ②$
将①代入②：
$3(2 - m) - m = -2$
$6 - 4m = -2$
解得$m=2$，代入①得$n=0$
所以点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2, 0)}$。
(3) 先求$y_1=2-x$的“倍差函数”$y_2$：
$y_2 = 2y_1 - x = 2(2 - x) - x = 4 - 3x$
令$x=0$，得$y=4$，所以直线$y_2$与$y$轴交点$T$的坐标为$(0,4)$。
由(2)得$P(2,0)$，点$Q$是点$P$的倍差点，因此$Q(2, 2×0 - 2)=(2,-2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A(t,t)$、$B(t+1,t+2)$代入：
$\begin{cases} t = kt + b \\ t+2 = k(t+1) + b \end{cases}$
两式相减得$k=2$，代回解得$b=-t$，因此直线$AB$的解析式为$y=2x - t$。
分别计算直线$AB$经过$△ PQT$三个顶点时的$t$值：
当直线$AB$过$T(0,4)$时，代入得$4 = 0 - t$，解得$t=-4$；
当直线$AB$过$P(2,0)$时，代入得$0 = 4 - t$，解得$t=4$；
当直线$AB$过$Q(2,-2)$时，代入得$-2 = 4 - t$，解得$t=6$。
结合直线斜率和三角形范围，可得直线$AB$与$△ PQT$有交点时，$t$的取值范围为$\boldsymbol{-4 ≤ t ≤ 6}$。
