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1. 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}mx+ny=7, \\ nx-my=1\end{cases}$的解，则$\sqrt{m+3n}$的值为（ ）
A.3
B.8
C.$\sqrt{8}$
D.2
A.3
B.8
C.$\sqrt{8}$
D.2
答案
C
解析
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx+ny=7 \\ nx-my=1\end{cases}$，得$\begin{cases}2m+n=7 \\ 2n - m=1\end{cases}$，解此方程组得$\begin{cases}m=\frac{13}{5} \\ n=\frac{9}{5}\end{cases}$，则$m+3n=\frac{13}{5}+3×\frac{9}{5}=8$，故$\sqrt{m+3n}=\sqrt{8}$。
2. 已知$|x+2y+3|+(x-y-3)^2=0$，则$(x+y)^{2022}$等于（）
A.$-1$
B.$1$
C.$2022$
D.$-2022$
A.$-1$
B.$1$
C.$2022$
D.$-2022$
答案
B
解析
因为绝对值和平方数均为非负数，它们的和为0，所以$\begin{cases}x+2y+3=0 \\ x-y-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$，则$x+y=-1$，$(-1)^{2022}=1$。
3. 小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是分.
答案
23
解析
设飞镖投中内圈得$x$分，投中外圈得$y$分。根据题意，小华投中2个内圈、3个外圈得22分，可列方程$2x + 3y = 22$；小明投中4个内圈、1个外圈得24分，可列方程$4x + y = 24$。联立方程组$\begin{cases}2x + 3y = 22 \\4x + y = 24 \\\end{cases}$，由第二个方程得$y = 24 - 4x$，代入第一个方程：$2x + 3(24 - 4x) = 22$，解得$x = 5$，则$y = 24 - 4×5 = 4$。小亮投中3个内圈、2个外圈，得分是$3x + 2y = 3×5 + 2×4 = 23$分。
4. 已知关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}x+2y=6-3a, \\x-y=6a,\end{cases}$ 下列说法:① 当 $ a=1 $时,方程组的解也是方程 $ x+y=a+3 $的解;② 若 $ 2x+y=3 $,则 $ a=1 $;③ 无论$ a $取何值,$ x,y $的值不可能互为相反数;④ $ x,y $都为自然数的解有5对.正确的有 ______ .(填序号)
答案
①③④
解析
先解方程组$\begin{cases}x+2y=6-3a \\x-y=6a\end{cases}$，用加减消元法：
①-②得：$3y=6-9a$，解得$y=2-3a$；
将$y=2-3a$代入②得：$x-(2-3a)=6a$，解得$x=3a+2$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x=3a+2 \\y=2-3a\end{cases}$。
逐个判断：
①当$a=1$时，$x=3×1+2=5$，$y=2-3×1=-1$，则$x+y=5+(-1)=4$，而$a+3=1+3=4$，故方程组的解是方程$x+y=a+3$的解，①正确；
②若$2x+y=3$，代入解得：$2(3a+2)+(2-3a)=3$，化简得$3a+6=3$，解得$a=-1≠1$，②错误；
③若$x,y$互为相反数，则$x+y=0$，代入解得：$(3a+2)+(2-3a)=4=0$，矛盾，故无论$a$取何值，$x,y$不可能互为相反数，③正确；
④$x,y$为自然数，即$x≥0,y≥0$，则$\begin{cases}3a+2≥0 \\2-3a≥0\end{cases}$，解得$-\frac{2}{3}≤a≤\frac{2}{3}$，又$x,y$为整数，故$3a$为整数，设$3a=k$（$k$为整数），则$k=-2,-1,0,1,2$，对应$(x,y)$为$(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$，共5对，④正确。
综上，正确的是①③④。
①-②得：$3y=6-9a$，解得$y=2-3a$；
将$y=2-3a$代入②得：$x-(2-3a)=6a$，解得$x=3a+2$；
所以方程组的解为$\begin{cases}x=3a+2 \\y=2-3a\end{cases}$。
逐个判断：
①当$a=1$时，$x=3×1+2=5$，$y=2-3×1=-1$，则$x+y=5+(-1)=4$，而$a+3=1+3=4$，故方程组的解是方程$x+y=a+3$的解，①正确；
②若$2x+y=3$，代入解得：$2(3a+2)+(2-3a)=3$，化简得$3a+6=3$，解得$a=-1≠1$，②错误；
③若$x,y$互为相反数，则$x+y=0$，代入解得：$(3a+2)+(2-3a)=4=0$，矛盾，故无论$a$取何值，$x,y$不可能互为相反数，③正确；
④$x,y$为自然数，即$x≥0,y≥0$，则$\begin{cases}3a+2≥0 \\2-3a≥0\end{cases}$，解得$-\frac{2}{3}≤a≤\frac{2}{3}$，又$x,y$为整数，故$3a$为整数，设$3a=k$（$k$为整数），则$k=-2,-1,0,1,2$，对应$(x,y)$为$(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$，共5对，④正确。
综上，正确的是①③④。
5. 因道路建设需要挖土方，计划每小时挖掘土方270 m³，现决定向租赁公司同时租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
| 挖掘机型号 | 每小时租金/(元/台) | 每小时挖掘量/(m³/台) |
| --- | --- | --- |
| 甲型挖掘机 |
| 30 |
| 乙型挖掘机 | 120 | 40 |
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？
| 挖掘机型号 | 每小时租金/(元/台) | 每小时挖掘量/(m³/台) |
| --- | --- | --- |
| 甲型挖掘机 |
| 30 || 乙型挖掘机 | 120 | 40 |
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，求甲、乙两种挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过870元，又恰好完成每小时的挖掘量，求有几种不同的租用方案？
答案
（1）甲型挖掘机5台，乙型挖掘机3台；（2）2种。
解析
（1）设租用甲型挖掘机$x$台，乙型挖掘机$y$台，根据题意列方程组：$\begin{cases}x + y = 8 \\30x + 40y = 270\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$；（2）设租用甲型挖掘机$a$台，乙型挖掘机$b$台，根据题意得：$30a + 40b = 270$，化简为$3a + 4b = 27$，租金满足$100a + 120b ≤ 870$，且$a、b$为非负整数。由$3a + 4b = 27$得$a = \frac{27 - 4b}{3}$，代入租金不等式验证：当$b=0$时，$a=9$，租金900元＞870元，不符合；当$b=3$时，$a=5$，租金860元≤870元，符合；当$b=6$时，$a=1$，租金820元≤870元，符合；$b≥7$时$a$为负数，不符合，故共2种方案。
