1. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果$x$个，苦果$y$个，则可列方程组为（）

A.$\begin{cases} x+y=1000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=1000, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=999, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=1000 \end{cases}$

A

根据题意，甜果和苦果共1000个，得方程$x+y=1000$；11文买9个甜果，每个甜果价格为$\frac{11}{9}$文，x个甜果费用为$\frac{11}{9}x$；4文买7个苦果，每个苦果价格为$\frac{4}{7}$文，y个苦果费用为$\frac{4}{7}y$，总费用999文，得方程$\frac{11}{9}x+\frac{4}{7}y=999$，对应方程组为选项A。

2. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲、乙、丙三种图书.甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）

A.6种
B.5种
C.4种
D.3种

C

设购买甲种图书x本，乙种y本，丙种z本，x为正整数且5≤x≤6，y、z均为正整数。根据题意得40x+30y+25z=600，化简为8x+6y+5z=120。
当x=5时，代入得6y+5z=80，正整数解为：$\begin{cases}y=5\\z=10\end{cases}$，$\begin{cases}y=10\\z=4\end{cases}$，共2种方案；
当x=6时，代入得6y+5z=72，正整数解为：$\begin{cases}y=2\\z=12\end{cases}$，$\begin{cases}y=7\\z=6\end{cases}$，共2种方案；
总方案数为2+2=4种。

3. 已知$a$为正整数，二元一次方程组$\begin{cases}ax+2y=10, \\3x-2y=0\end{cases}$有整数解，则$a^2=$ ______ .

4

将方程组$\begin{cases}ax+2y=10 \\3x-2y=0\end{cases}$中两方程相加，消去$y$得：$(a+3)x=10$，解得$x=\frac{10}{a+3}$。由方程$3x-2y=0$可得$y=\frac{3x}{2}$。因为方程组有整数解，且$a$为正整数，所以$a+3$是10的正约数，同时$x$为正整数，$y=\frac{3x}{2}$也需为整数，故$x$必须是偶数。10的正约数为1、2、5、10，结合$a$为正整数，$a+3≥4$，因此$a+3=5$或$10$。当$a+3=5$时，$a=2$，$x=2$，$y=\frac{3×2}{2}=3$，符合整数解；当$a+3=10$时，$a=7$，$x=1$，$y=\frac{3×1}{2}=1.5$，不是整数，舍去。所以$a=2$，则$a^2=4$。

4. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组
$\begin{cases}x+2y=-a+1, \\ x-3y=4a+6\end{cases}$（$a$是常数），若不论$a$取什么实数，代数式$kx-y$（$k$是常数）的值始终不变，则$k=$ ______ 。

$-1$

先解关于$x,y$的二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 2y = -a + 1 \quad (1) \\x - 3y = 4a + 6 \quad (2)\end{cases}$
用$(1)-(2)$消去$x$：
$(x + 2y) - (x - 3y) = (-a +1) - (4a +6)$
化简得：$5y = -5a -5$，解得$y = -a -1$。
将$y=-a -1$代入$(1)$式：
$x + 2(-a -1) = -a +1$
解得：$x = a + 3$。
把$x=a+3$，$y=-a-1$代入$kx - y$：
$kx - y = k(a+3) - (-a -1) = (k+1)a + 3k +1$
要使代数式的值与$a$无关，则含$a$的项系数为$0$，即$k+1=0$，解得$k=-1$。

5. 为表彰8名优秀学生，某班决定购买A，B两种奖品共8件.若购买A奖品5件、B奖品3件，则还差30元：若购买A奖品3件，B奖品5件，则剩余30元.若学校实际购买了A奖品1件、B奖品7件，则剩余元.

90元

设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，该班带的总钱数为m元。根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = m + 30 \\3x + 5y = m - 30\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2x - 2y = 60$，化简得$x = y + 30$。
将$x = y + 30$代入第一个方程，得$5(y + 30) + 3y = m + 30$，整理得$m = 8y + 120$。
购买1件A奖品和7件B奖品的剩余钱数为：$m - (x + 7y)$，代入$x = y + 30$和$m = 8y + 120$，计算得：
$8y + 120 - (y + 30 + 7y) = 90$。

6. 现欲将一批荔枝运往外地销售，若2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10 t；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11 t. 现有荔枝31 t，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝. 根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.

（1）1辆A型车一次运送3吨，1辆B型车一次运送4吨；（2）租车方案：①租用A型车9辆、B型车1辆；②租用A型车5辆、B型车4辆；③租用A型车1辆、B型车7辆。

（1）设1辆A型车一次运荔枝$x$吨，1辆B型车一次运荔枝$y$吨，根据题意列方程组：$\begin{cases}2x + y = 10 \\ x + 2y = 11\end{cases}$，解方程组：将第一个方程乘2得$4x + 2y = 20$，减去第二个方程得$3x = 9$，解得$x=3$，把$x=3$代入$2x + y=10$，得$y=4$。（2）根据题意得$3a + 4b = 31$（$a$、$b$为正整数），变形为$a=\frac{31 - 4b}{3}$，需$a$为正整数，依次取正整数$b$：当$b=1$时，$a=9$；当$b=4$时，$a=5$；当$b=7$时，$a=1$，均符合要求。