1. 如图,已知点 A 在直线a 上,C,B 两点在直线b 上,且$a// b,∠ABC$是个钝角.若$AB=5$,则a,b两直线间的距离可以是()

A.8
B.6
C.5
D.4

D

过点A作AH⊥直线b，垂足为H，根据平行线间距离的定义，线段AH的长度就是直线a、b之间的距离。
在Rt△ABH中，AB为斜边，AH为直角边，由垂线段最短可得AH ＜ AB = 5。
又因为∠ABC是钝角，若AH=5则AB⊥b，此时∠ABC=90°，不符合钝角的条件，因此两直线的距离必须小于5，选项中只有4满足要求。

2. 图①是有一个可调节平板支架，其结构示意图如图②所示.已知平板宽度AB为16 cm，支架BC的长度为12 cm.当$∠ ABC=90°$且CB平分$∠ ACD$时，点B到CD的距离是（）

A.9 cm
B.8 cm
C.9.6 cm
D.8.6 cm

C

1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm，BC=12cm，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\ \mathrm{cm}$。
2. 过点B作$BE⊥ AC$于点E，根据直角三角形面积的两种计算方式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=\frac{1}{2}· AC· BE$，代入数值解得：$BE=\frac{AB· BC}{AC}=\frac{16×12}{20}=9.6\ \mathrm{cm}$。
3. 过点B作$BF⊥ CD$于点F，因为CB平分∠ACD，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得$BF=BE=9.6\ \mathrm{cm}$，即点B到CD的距离为9.6cm。

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°$,$D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点.若 $AE=4$,$BD=5$,则 $AB$ 的长为()

A.$9$
B.$7$
C.$6$
D.$8$

C

1. 由D是BC中点，BD=5，可得BC=2BD=10；
2. 由E是AC中点，AE=4，可得AC=2AE=8；
3. 在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°$，根据勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，代入数值计算得$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。

4. 如图，一面镜子 $ OA $ 倾斜固定在地面 $ OB $ 上，且 $ ∠ AOB = 60° $，点 $ P $ 是距离地面 $ OB $ 为 $ 5 \, \mathrm{dm} $ 的一个光源，光线射出经过镜面 $ D $ 处反射到地面点 $ E $ 处。当光线经过的路径 $ (P \to D \to E) $ 长最短为 $ 8 \, \mathrm{dm} $ 时，$ PD $ 的长是 ______ $ \mathrm{dm} $。

$\boldsymbol{6}$

1. 作点P关于OA的对称点P'，由轴对称性质可得$PD=P'D$，因此路径总长$PD+DE=P'D+DE$。
2. 根据垂线段最短的性质，当$P'$、$D$、$E$三点共线且$P'E⊥ OB$时，$P'D+DE$取得最小值，即最短路径长$P'E=8\ \mathrm{dm}$。
3. 结合已知$∠ AOB=60°$，可得在$P'E⊥ OB$时，$∠ ODE=90°-60°=30°$。通过轴对称性质推导可得点P到OA的距离为$3\ \mathrm{dm}$，在含$30°$角的直角三角形中，斜边$P'D=2×3=6\ \mathrm{dm}$，即$PD=P'D=6\ \mathrm{dm}$。

5. 如图,在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根石柱刻有雕龙的部分的柱高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为________m.

20

我们将圆柱石柱的侧面沿AC所在的母线展开，得到平面矩形。由于雕龙从点A到点C均匀盘绕2圈，因此展开后雕龙路径对应的水平方向总长度为2倍的圆柱底面周长，即$2×6=12\ \mathrm{m}$，竖直方向总长度等于雕龙覆盖部分的柱高$16\ \mathrm{m}$。根据勾股定理，巨龙的最短长度为两条直角边分别为12 m、16 m的直角三角形的斜边长，计算得：$\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{m}$。

6. 图①是某超市的购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架$AC=8$，$AB=6$，两轮中心的距离$BC=10$，滚轮半径$r=2$。
(1)判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若购物车上篮子的左边缘点$D$与点$A$的距离$AD=13$，$AE=5$，且$AE⊥ DE$，$AE$和$BC$都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘点$D$到地面的距离。

(1) $△ ABC$是直角三角形，理由如上；
(2) 点D到地面的距离为$\boldsymbol{18.8}$（或$\frac{94}{5}$）。

(1) 判断△ABC的形状：
已知$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，计算得：
$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$BC^2 = 10^2 = 100$，
因此$AB^2 + AC^2 = BC^2$，根据勾股定理逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
(2) 计算点D到地面的距离：
① 过点A作$AH ⊥ BC$于点H，利用直角三角形面积的两种表达形式求AH：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB· AC = \frac{1}{2}BC· AH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8 = \frac{1}{2}×10× AH$，解得$AH=4.8$。
② 在$Rt△ ADE$中，$∠ E=90°$，由勾股定理计算DE：
$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$。
③ 已知$AE// BC//$地面，滚轮半径$r=2$，即BC到地面的竖直距离为2：
点A到地面的距离为$AH + r = 4.8 + 2 = 6.8$，
因为$AE//$地面，$DE⊥ AE$，DE为竖直方向，点D到AE所在水平线的距离为12，
因此点D到地面的总距离为$12 + 6.8 = 18.8$。