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15. 某公司组织职工前往某景点游览参观，参加人员共70人. 旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游览乘坐景点安排的观光车，观光车有小型车和中型车两类，分别可供4名和11名游客乘坐；且小型车每辆收费60元，中型车每人收费10元. 若70人正好坐满每辆车且参观游览的总费用不超过5 000元，则景点安排的小型车和中型车各有多少辆？
答案
15. 小型车 1 辆，中型车 6 辆.
解析
【分析】
本题是方程与不等式结合的实际应用题，解题思路如下：首先设小型车、中型车的数量分别为x辆、y辆，先根据“70人正好坐满每辆车”列出二元一次方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，求出方程的所有整数解；再根据“总费用不超过5000元”列出不等式，将求出的整数解代入验证，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
设景点安排小型车x辆，中型车y辆，其中x、y均为非负整数。
1. 根据人数刚好坐满的条件列方程：
$4x + 11y = 70$
变形得$x = \frac{70 - 11y}{4}$，由于x为非负整数，因此$70 - 11y$需为非负的4的倍数，且$11y ≤ 70$，即$y ≤ 6$（y为整数）。
对y的可能取值逐个验证：
y=0时，x=17.5，非整数，舍去；
y=1时，x=14.75，非整数，舍去；
y=2时，x=12，为整数，记为解①$\begin{cases}x=12 \\ y=2\end{cases}$；
y=3时，x=9.25，非整数，舍去；
y=4时，x=6.5，非整数，舍去；
y=5时，x=3.75，非整数，舍去；
y=6时，x=1，为整数，记为解②$\begin{cases}x=1 \\ y=6\end{cases}$。
2. 根据总费用不超过5000元列不等式：
总费用=门票费用+小型车费用+中型车费用，其中门票费用为$70 × 60 = 4200$元，小型车总费用为60x元，中型车总费用为$10 × 11y = 110y$元，因此：
$4200 + 60x + 110y ≤ 5000$
化简得：$60x + 110y ≤ 800$
3. 代入解验证：
把解①代入：$60 × 12 + 110 × 2 = 940 ＞ 800$，不符合要求，舍去；
把解②代入：$60 × 1 + 110 × 6 = 720 ≤ 800$，符合要求。
综上，小型车1辆，中型车6辆。
【答案】
小型车1辆，中型车6辆。
【知识点】
二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；方案选择问题
【点评】
本题核心考查利用方程和不等式解决实际问题的能力，解题时要注意未知数的取值需符合实际意义（车辆数为非负整数），先通过人数约束缩小取值范围，再通过费用约束筛选正确方案，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是方程与不等式结合的实际应用题，解题思路如下：首先设小型车、中型车的数量分别为x辆、y辆，先根据“70人正好坐满每辆车”列出二元一次方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，求出方程的所有整数解；再根据“总费用不超过5000元”列出不等式，将求出的整数解代入验证，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
设景点安排小型车x辆，中型车y辆，其中x、y均为非负整数。
1. 根据人数刚好坐满的条件列方程：
$4x + 11y = 70$
变形得$x = \frac{70 - 11y}{4}$，由于x为非负整数，因此$70 - 11y$需为非负的4的倍数，且$11y ≤ 70$，即$y ≤ 6$（y为整数）。
对y的可能取值逐个验证：
y=0时，x=17.5，非整数，舍去；
y=1时，x=14.75，非整数，舍去；
y=2时，x=12，为整数，记为解①$\begin{cases}x=12 \\ y=2\end{cases}$；
y=3时，x=9.25，非整数，舍去；
y=4时，x=6.5，非整数，舍去；
y=5时，x=3.75，非整数，舍去；
y=6时，x=1，为整数，记为解②$\begin{cases}x=1 \\ y=6\end{cases}$。
2. 根据总费用不超过5000元列不等式：
总费用=门票费用+小型车费用+中型车费用，其中门票费用为$70 × 60 = 4200$元，小型车总费用为60x元，中型车总费用为$10 × 11y = 110y$元，因此：
$4200 + 60x + 110y ≤ 5000$
化简得：$60x + 110y ≤ 800$
3. 代入解验证：
把解①代入：$60 × 12 + 110 × 2 = 940 ＞ 800$，不符合要求，舍去；
把解②代入：$60 × 1 + 110 × 6 = 720 ≤ 800$，符合要求。
综上，小型车1辆，中型车6辆。
【答案】
小型车1辆，中型车6辆。
【知识点】
二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；方案选择问题
【点评】
本题核心考查利用方程和不等式解决实际问题的能力，解题时要注意未知数的取值需符合实际意义（车辆数为非负整数），先通过人数约束缩小取值范围，再通过费用约束筛选正确方案，难度适中。
【难度系数】
0.6
16. 根据规定，货车载重后总质量超过49 t的禁止在C大桥上通行，现有一辆自重6 t的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输. 已知2个A部件和1个B部件的总质量为2 t，4个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨；
(2)该货车要运输这种成套设备经过C大桥，一次最多可运输多少套这种设备？
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨；
(2)该货车要运输这种成套设备经过C大桥，一次最多可运输多少套这种设备？
答案
16. (1)1 个 A 部件的质量为 0.6 t，1个 B 部件的质量为 0.8 t.
(2)该货车一次最多可运输 14 套这种设备.
(2)该货车一次最多可运输 14 套这种设备.
解析
【分析】
(1) 题目要求1个A部件和1个B部件的质量，有两个未知量，我们可以设两个未知数，结合题干给出的两个等量关系：①2个A部件的质量+1个B部件的质量=2t；②4个A部件的质量=3个B部件的质量，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先算出1套设备的总质量，再设可运输的设备套数为未知数，根据“货车自重+所有设备的总质量≤49t”的限制条件列一元一次不等式，求出解集后取最大正整数解就是最多可运输的套数，注意设备必须成套运输，结果只能是正整数。
【解析】
(1) 解：设1个A部件的质量为$ x $ t，1个B部件的质量为$ y $ t。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 2 \\4x = 3y \end{cases}$
由第一个方程变形得：$ y = 2 - 2x $，将其代入第二个方程：
$4x = 3(2 - 2x)$
去括号得：$4x = 6 - 6x$
移项合并同类项得：$10x = 6$
解得：$x = 0.6$
把$x=0.6$代入$y=2-2x$，得$y=2 - 2×0.6 = 0.8$。
(2) 解：设该货车一次可运输$ m $套这种设备。
1套设备的总质量为：$0.6 + 3×0.8 = 3\ \mathrm{t}$
根据通行限制列不等式：
$6 + 3m ≤ 49$
移项计算得：$3m ≤ 43$
解得：$m ≤ \frac{43}{3} ≈14.33$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为14。
【答案】
(1)1 个 A 部件的质量为 0.6 t，1个 B 部件的质量为 0.8 t.
(2)该货车一次最多可运输 14 套这种设备.
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；不等式整数解
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，作答时要注意结合实际意义对未知数的取值进行筛选，避免出现不符合现实要求的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 题目要求1个A部件和1个B部件的质量，有两个未知量，我们可以设两个未知数，结合题干给出的两个等量关系：①2个A部件的质量+1个B部件的质量=2t；②4个A部件的质量=3个B部件的质量，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先算出1套设备的总质量，再设可运输的设备套数为未知数，根据“货车自重+所有设备的总质量≤49t”的限制条件列一元一次不等式，求出解集后取最大正整数解就是最多可运输的套数，注意设备必须成套运输，结果只能是正整数。
【解析】
(1) 解：设1个A部件的质量为$ x $ t，1个B部件的质量为$ y $ t。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 2 \\4x = 3y \end{cases}$
由第一个方程变形得：$ y = 2 - 2x $，将其代入第二个方程：
$4x = 3(2 - 2x)$
去括号得：$4x = 6 - 6x$
移项合并同类项得：$10x = 6$
解得：$x = 0.6$
把$x=0.6$代入$y=2-2x$，得$y=2 - 2×0.6 = 0.8$。
(2) 解：设该货车一次可运输$ m $套这种设备。
1套设备的总质量为：$0.6 + 3×0.8 = 3\ \mathrm{t}$
根据通行限制列不等式：
$6 + 3m ≤ 49$
移项计算得：$3m ≤ 43$
解得：$m ≤ \frac{43}{3} ≈14.33$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为14。
【答案】
(1)1 个 A 部件的质量为 0.6 t，1个 B 部件的质量为 0.8 t.
(2)该货车一次最多可运输 14 套这种设备.
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；不等式整数解
【点评】
本题是方程与不等式结合的常规实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，作答时要注意结合实际意义对未知数的取值进行筛选，避免出现不符合现实要求的结果。
【难度系数】
0.7
