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1. 先用计算器计算左边三题,再直接填写右边三题的得数。
$39×1001=$ $75×1001=$
$62×1001=$ $84×1001=$
$42×1001=$ $98×1001=$
$39×1001=$ $75×1001=$
$62×1001=$ $84×1001=$
$42×1001=$ $98×1001=$
答案
1. 竖排:39039 62062 42042 75075
84084 98098
84084 98098
解析
【分析】
我们解题时首先按照要求，先用计算器算出左侧三个两位数乘1001的结果，再对比这几个算式的乘数和积的特征，推导两位数乘1001的通用规律，最后直接套用规律写出右侧三个算式的得数，无需重复计算。本质上可以把1001拆成1000+1，结合乘法分配律展开就能发现：两位数乘1001等价于这个数乘1000再加它本身，自然就能得到把两位数重复排列、中间补0的五位数结果，顺着这个规律就能快速得到剩余算式的答案。
【解析】
1. 计算左侧三题的结果：
$39×1001 = 39×(1000+1) = 39×1000 + 39×1 = 39000+39=39039$
$62×1001 = 62×(1000+1) = 62×1000 + 62×1 = 62000+62=62062$
$42×1001 = 42×(1000+1) = 42×1000 + 42×1 = 42000+42=42042$
2. 总结规律：任意两位数乘1001，得到的积是五位数，该五位数的前两位和最后两位都是原两位数，中间数位为0，即形式为$\overline{ab}×1001=\overline{ab0ab}$。
3. 套用规律计算右侧三题：
$75×1001 = 75075$
$84×1001 = 84084$
$98×1001 = 98098$
【答案】
竖排:39039 62062 42042 75075 84084 98098
【知识点】
计算器使用，乘法规律探究，乘法分配律
【点评】
本题采用先计算再归纳规律的设计，引导学生发现特殊乘法的巧算技巧，避免机械重复运算，有效锻炼学生的观察归纳能力，让学生体会到数学运算的趣味性。
【难度系数】
0.9
我们解题时首先按照要求，先用计算器算出左侧三个两位数乘1001的结果，再对比这几个算式的乘数和积的特征，推导两位数乘1001的通用规律，最后直接套用规律写出右侧三个算式的得数，无需重复计算。本质上可以把1001拆成1000+1，结合乘法分配律展开就能发现：两位数乘1001等价于这个数乘1000再加它本身，自然就能得到把两位数重复排列、中间补0的五位数结果，顺着这个规律就能快速得到剩余算式的答案。
【解析】
1. 计算左侧三题的结果：
$39×1001 = 39×(1000+1) = 39×1000 + 39×1 = 39000+39=39039$
$62×1001 = 62×(1000+1) = 62×1000 + 62×1 = 62000+62=62062$
$42×1001 = 42×(1000+1) = 42×1000 + 42×1 = 42000+42=42042$
2. 总结规律：任意两位数乘1001，得到的积是五位数，该五位数的前两位和最后两位都是原两位数，中间数位为0，即形式为$\overline{ab}×1001=\overline{ab0ab}$。
3. 套用规律计算右侧三题：
$75×1001 = 75075$
$84×1001 = 84084$
$98×1001 = 98098$
【答案】
竖排:39039 62062 42042 75075 84084 98098
【知识点】
计算器使用，乘法规律探究，乘法分配律
【点评】
本题采用先计算再归纳规律的设计，引导学生发现特殊乘法的巧算技巧，避免机械重复运算，有效锻炼学生的观察归纳能力，让学生体会到数学运算的趣味性。
【难度系数】
0.9
2. 根据前三题的规律,直接写出后三题的得数,再用计算器验算。
$(11-2)÷9=1$
$(111-3)÷9=12$
$(1111-4)÷9=123$
$(11111-5)÷9=$
$(111111-6)÷9=$
$(1111111-7)÷9=$
$(11-2)÷9=1$
$(111-3)÷9=12$
$(1111-4)÷9=123$
$(11111-5)÷9=$
$(111111-6)÷9=$
$(1111111-7)÷9=$
答案
2. 1234 12345 123456
解析
【分析】
我们先从给出的三道已知算式入手，分步观察数字特征找规律：第一步先看每个算式的被减数、减数：第一个算式被减数是2个1组成的数，减数是2；第二个算式被减数是3个1组成的数，减数是3；第三个算式被减数是4个1组成的数，减数是4。第二步再对应看结果：对应得到的结果分别是1、12、123，是从1开始依次递增的连续自然数序列，序列的最后一个数刚好是“减数-1”。按照这个规律，我们就可以直接推导后面三个算式的结果，最后再用计算器验算确认即可。
【解析】
1. 先总结通用规律：
观察已知算式可得：由k个1组成的数减去k，再除以9，得到的结果是从1开始、依次递增到(k-1)的连续自然数顺次排列组成的数。
2. 逐个推导后三题结果：
对于$(11111-5)÷9$，被减数由5个1组成，即k=5，结果为从1排列到5-1=4的连续自然数，即1234；
对于$(111111-6)÷9$，被减数由6个1组成，即k=6，结果为从1排列到6-1=5的连续自然数，即12345；
对于$(1111111-7)÷9$，被减数由7个1组成，即k=7，结果为从1排列到7-1=6的连续自然数，即123456。
用计算器验算：$11111-5=11106$，$11106÷9=1234$；$111111-6=111105$，$111105÷9=12345$；$1111111-7=1111104$，$1111104÷9=123456$，结果全部正确。
【答案】
1234 12345 123456
【知识点】
算式规律探究，整数四则运算
【点评】
本题属于基础规律探究题，不需要复杂的运算，重点锻炼学生的观察归纳能力，通过对比已知算式各部分的数字关联就能快速得到结果，设置计算器验算的步骤也能帮助学生养成主动验证结果的良好学习习惯。
【难度系数】
0.9
我们先从给出的三道已知算式入手，分步观察数字特征找规律：第一步先看每个算式的被减数、减数：第一个算式被减数是2个1组成的数，减数是2；第二个算式被减数是3个1组成的数，减数是3；第三个算式被减数是4个1组成的数，减数是4。第二步再对应看结果：对应得到的结果分别是1、12、123，是从1开始依次递增的连续自然数序列，序列的最后一个数刚好是“减数-1”。按照这个规律，我们就可以直接推导后面三个算式的结果，最后再用计算器验算确认即可。
【解析】
1. 先总结通用规律：
观察已知算式可得：由k个1组成的数减去k，再除以9，得到的结果是从1开始、依次递增到(k-1)的连续自然数顺次排列组成的数。
2. 逐个推导后三题结果：
对于$(11111-5)÷9$，被减数由5个1组成，即k=5，结果为从1排列到5-1=4的连续自然数，即1234；
对于$(111111-6)÷9$，被减数由6个1组成，即k=6，结果为从1排列到6-1=5的连续自然数，即12345；
对于$(1111111-7)÷9$，被减数由7个1组成，即k=7，结果为从1排列到7-1=6的连续自然数，即123456。
用计算器验算：$11111-5=11106$，$11106÷9=1234$；$111111-6=111105$，$111105÷9=12345$；$1111111-7=1111104$，$1111104÷9=123456$，结果全部正确。
【答案】
1234 12345 123456
【知识点】
算式规律探究，整数四则运算
【点评】
本题属于基础规律探究题，不需要复杂的运算，重点锻炼学生的观察归纳能力，通过对比已知算式各部分的数字关联就能快速得到结果，设置计算器验算的步骤也能帮助学生养成主动验证结果的良好学习习惯。
【难度系数】
0.9
3. 先用计算器算出前三题的得数,再照样子每组继续编两道题并直接写出得数。
(1)$19+9×9=$
$118+98×9=$
$1117+987×9=$
(2)$1122÷34=$
$111222÷334=$
$11112222÷3334=$
(1)$19+9×9=$
$118+98×9=$
$1117+987×9=$
(2)$1122÷34=$
$111222÷334=$
$11112222÷3334=$
答案
3. (1)100 1000 10000 11116+9876×
9=100000 111115+98765×9=1000000
(2)33 333 3333
1111122222÷33334=33333
111111222222÷333334=333333
9=100000 111115+98765×9=1000000
(2)33 333 3333
1111122222÷33334=33333
111111222222÷333334=333333
解析
【分析】
这道题的解题思路分为两步：第一步先按照四则运算的优先级规则，用计算器算出每组前三道题的得数；第二步仔细观察每组算式的数字特征、结果的变化规律，顺着规律的特征就能编写出后续两道题并直接写出对应得数。第一组加法乘组的规律可以从第一个加数的1的数量、末位数字，乘法部分的乘数变化，结果的0的个数入手找；第二组除法组的规律可以从被除数里1和2的数量、除数里3的数量，商的数字特征入手找，顺着特征延伸就能得到后续题目。
【解析】
(1) 先按先乘后加的运算顺序计算前三题：
$19+9×9=19+81=100$
$118+98×9=118+882=1000$
$1117+987×9=1117+8883=10000$
观察规律：第一个加数前置的1的数量逐题多1，末位数字逐题减1；乘法部分第二个乘数始终是9，第一个乘数从9开始逐题在末尾补一位比前一位小1的数；结果是1后面的0的数量逐题多1，据此编写后续两题：
$11116+9876×9=100000$
$111115+98765×9=1000000$
(2) 计算前三道除法题：
$1122÷34=33$
$111222÷334=333$
$11112222÷3334=3333$
观察规律：被除数里1和2的数量相等，逐题各多1个；除数首位是3，前置的3的数量逐题多1，末位始终是4；商的数字全是3，3的数量逐题多1，据此编写后续两题：
$1111122222÷33334=33333$
$111111222222÷333334=333333$
【答案】
(1)100 1000 10000 11116+9876×9=100000 111115+98765×9=1000000
(2)33 333 3333 1111122222÷33334=33333 111111222222÷333334=333333
【知识点】
算式规律探究，四则运算，计算器使用
【点评】
本题属于趣味探究类计算题型，既巩固了学生基础四则运算的计算能力，又重点锻炼学生观察、归纳数字变化特征的能力，不需要复杂的高难度计算，只要找准前后算式的数字变化逻辑，就能快速推导后续结果，适合培养学生的数学探究思维。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路分为两步：第一步先按照四则运算的优先级规则，用计算器算出每组前三道题的得数；第二步仔细观察每组算式的数字特征、结果的变化规律，顺着规律的特征就能编写出后续两道题并直接写出对应得数。第一组加法乘组的规律可以从第一个加数的1的数量、末位数字，乘法部分的乘数变化，结果的0的个数入手找；第二组除法组的规律可以从被除数里1和2的数量、除数里3的数量，商的数字特征入手找，顺着特征延伸就能得到后续题目。
【解析】
(1) 先按先乘后加的运算顺序计算前三题：
$19+9×9=19+81=100$
$118+98×9=118+882=1000$
$1117+987×9=1117+8883=10000$
观察规律：第一个加数前置的1的数量逐题多1，末位数字逐题减1；乘法部分第二个乘数始终是9，第一个乘数从9开始逐题在末尾补一位比前一位小1的数；结果是1后面的0的数量逐题多1，据此编写后续两题：
$11116+9876×9=100000$
$111115+98765×9=1000000$
(2) 计算前三道除法题：
$1122÷34=33$
$111222÷334=333$
$11112222÷3334=3333$
观察规律：被除数里1和2的数量相等，逐题各多1个；除数首位是3，前置的3的数量逐题多1，末位始终是4；商的数字全是3，3的数量逐题多1，据此编写后续两题：
$1111122222÷33334=33333$
$111111222222÷333334=333333$
【答案】
(1)100 1000 10000 11116+9876×9=100000 111115+98765×9=1000000
(2)33 333 3333 1111122222÷33334=33333 111111222222÷333334=333333
【知识点】
算式规律探究，四则运算，计算器使用
【点评】
本题属于趣味探究类计算题型，既巩固了学生基础四则运算的计算能力，又重点锻炼学生观察、归纳数字变化特征的能力，不需要复杂的高难度计算，只要找准前后算式的数字变化逻辑，就能快速推导后续结果，适合培养学生的数学探究思维。
【难度系数】
0.8
4. 用在数表里框出5个数,算一算,这5个数的和与中间的数有什么关系? 如果要使这5个数的和为90,你能在下图中框出这5个数吗?
答案
4. 5个数的和是中间的数的5倍 中间的
数为$90÷5=18$,这5个数分别是11、17、
18、19、25。
解析
【分析】
我们可以先观察这类数表十字形框的排列规律：常规自然数数表每行排列7个连续数，十字框里中间数的左侧数比它小1，右侧数比它大1，上侧数是上一行同列的数、比它小7，下侧数是下一行同列的数、比它大7。我们先把5个数相加，就能直接推导出总和和中间数的倍数关系。得到规律后，已知总和是90，就可以反向算出中间数，再验证这个中间数的上下左右是否都存在有效数，就能判断能不能框出对应的5个数了。
【解析】
1. 推导5个数的和与中间数的关系
设中间的数为x，十字框其余4个数分别为：左侧数x-1，右侧数x+1，上侧数x-7，下侧数x+7。
将5个数求和：$(x-1)+(x+1)+x+(x-7)+(x+7) = 5x$
由此可得：这5个数的和是中间数的5倍。
2. 计算和为90时的对应数
根据得到的倍数关系，和为90时，中间数 = $90÷5=18$。
以18为中间数，其余四个数分别为：$18-1=17$，$18+1=19$，$18-7=11$，$18+7=25$。
这五个数11、17、18、19、25都在数表范围内，因此可以框出这5个数。
【答案】
5个数的和是中间的数的5倍 中间的数为$90÷5=18$,这5个数分别是11、17、18、19、25。
【知识点】
数表规律探索，倍数关系应用
【点评】
本题是小学数表探索的经典十字框题型，核心是利用数表中左右相邻数差1、上下同列数差每行元素个数的规律，通过代数求和快速推导出总和与中间数的固定倍数关系，反向求解后还需要验证中间数的位置是否满足十字框的取值要求，避免出现在数表边缘无法框出的情况。
【难度系数】
0.7
我们可以先观察这类数表十字形框的排列规律：常规自然数数表每行排列7个连续数，十字框里中间数的左侧数比它小1，右侧数比它大1，上侧数是上一行同列的数、比它小7，下侧数是下一行同列的数、比它大7。我们先把5个数相加，就能直接推导出总和和中间数的倍数关系。得到规律后，已知总和是90，就可以反向算出中间数，再验证这个中间数的上下左右是否都存在有效数，就能判断能不能框出对应的5个数了。
【解析】
1. 推导5个数的和与中间数的关系
设中间的数为x，十字框其余4个数分别为：左侧数x-1，右侧数x+1，上侧数x-7，下侧数x+7。
将5个数求和：$(x-1)+(x+1)+x+(x-7)+(x+7) = 5x$
由此可得：这5个数的和是中间数的5倍。
2. 计算和为90时的对应数
根据得到的倍数关系，和为90时，中间数 = $90÷5=18$。
以18为中间数，其余四个数分别为：$18-1=17$，$18+1=19$，$18-7=11$，$18+7=25$。
这五个数11、17、18、19、25都在数表范围内，因此可以框出这5个数。
【答案】
5个数的和是中间的数的5倍 中间的数为$90÷5=18$,这5个数分别是11、17、18、19、25。
【知识点】
数表规律探索，倍数关系应用
【点评】
本题是小学数表探索的经典十字框题型，核心是利用数表中左右相邻数差1、上下同列数差每行元素个数的规律，通过代数求和快速推导出总和与中间数的固定倍数关系，反向求解后还需要验证中间数的位置是否满足十字框的取值要求，避免出现在数表边缘无法框出的情况。
【难度系数】
0.7
5. 用计算器计算,并找规律填出计算结果。(最后一空为选择题)
$9×9=$
$99×99=$
$999×999=$
$999999×999999=$
$\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}×\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}=( )$
A. $\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}8\underset{2009个0}{\underbrace{00··· 0}}1$
B. $\underset{2008个9}{\underbrace{99··· 9}}8\underset{2008个0}{\underbrace{00··· 0}}1$
$9×9=$
$99×99=$
$999×999=$
$999999×999999=$
$\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}×\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}=( )$
A. $\underset{2009个9}{\underbrace{99··· 9}}8\underset{2009个0}{\underbrace{00··· 0}}1$
B. $\underset{2008个9}{\underbrace{99··· 9}}8\underset{2008个0}{\underbrace{00··· 0}}1$
答案
5. 81 9801 998001 999998000001 B
解析
【分析】
我们的解题思路是先通过计算器算出前几个简单算式的结果，再对比因数中9的个数和乘积的数字组成特征，归纳出通用规律，最后直接套用规律得到大数相乘的结果，选出正确选项。首先先计算小数值的9的自乘：1个9乘1个9得81，2个9乘2个9得9801，3个9乘3个9得998001，观察数字结构可以发现，乘积里9的数量、0的数量都和因数的9的个数有固定的差，验证规律成立后，代入对应n的数值就能快速得到所有结果。
【解析】
1. 计算前3个基础算式：
$9×9=81$
$99×99=9801$
$999×999=998001$
2. 总结通用规律：当两个因数都由n个9组成时，乘积的数字结构为：从左到右先有(n-1)个连续的9，紧接着是数字8，之后是(n-1)个连续的0，末尾最后一位是数字1。
3. 计算6个9相乘的结果：此时n=6，代入规律可得乘积有6-1=5个连续的9，接着是8，之后5个连续的0，末尾是1，即$999999×999999=999998000001$。
4. 计算2009个9相乘的结果：此时n=2009，代入规律可得乘积有2009-1=2008个连续的9，接着是8，之后2008个连续的0，末尾是1，对应选项B。
【答案】
81；9801；998001；999998000001；B
【知识点】
算式规律探索，整数乘法
【点评】
本题是典型的归纳推理类找规律题目，不需要直接计算超大数的乘法，通过小规模运算总结规律就能快速得到复杂结果，易错点是容易误以为乘积里9和0的个数和因数的9的个数相等，实际二者都比因数的9的个数少1。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是先通过计算器算出前几个简单算式的结果，再对比因数中9的个数和乘积的数字组成特征，归纳出通用规律，最后直接套用规律得到大数相乘的结果，选出正确选项。首先先计算小数值的9的自乘：1个9乘1个9得81，2个9乘2个9得9801，3个9乘3个9得998001，观察数字结构可以发现，乘积里9的数量、0的数量都和因数的9的个数有固定的差，验证规律成立后，代入对应n的数值就能快速得到所有结果。
【解析】
1. 计算前3个基础算式：
$9×9=81$
$99×99=9801$
$999×999=998001$
2. 总结通用规律：当两个因数都由n个9组成时，乘积的数字结构为：从左到右先有(n-1)个连续的9，紧接着是数字8，之后是(n-1)个连续的0，末尾最后一位是数字1。
3. 计算6个9相乘的结果：此时n=6，代入规律可得乘积有6-1=5个连续的9，接着是8，之后5个连续的0，末尾是1，即$999999×999999=999998000001$。
4. 计算2009个9相乘的结果：此时n=2009，代入规律可得乘积有2009-1=2008个连续的9，接着是8，之后2008个连续的0，末尾是1，对应选项B。
【答案】
81；9801；998001；999998000001；B
【知识点】
算式规律探索，整数乘法
【点评】
本题是典型的归纳推理类找规律题目，不需要直接计算超大数的乘法，通过小规模运算总结规律就能快速得到复杂结果，易错点是容易误以为乘积里9和0的个数和因数的9的个数相等，实际二者都比因数的9的个数少1。
【难度系数】
0.7
