登录
变式训练4 如果☆×△=100,那么(☆×8)×△=(
800
);如果☆+△=25,那么☆×3+ △×3=(75
)。答案
变式训练4 800 75
解析
【分析】
我们做这道题不需要分别求出☆和△的具体数值，直接利用乘法运算定律对要求的式子变形，再整体代入已知条件的结果计算即可：
1. 第一空：观察式子(☆×8)×△，可以利用乘法结合律调整运算顺序，把☆和△优先相乘，已知☆×△=100，代入后就能快速算出结果。
2. 第二空：观察式子☆×3+△×3，符合乘法分配律逆运算的形式，提取公因数3后，就可以把☆+△=25整体代入计算。
【解析】
解：
1. 计算第一空：
根据乘法结合律$(a×b)×c = a×(b×c)$，对式子变形：
$(☆×8)×△ = ☆×8×△ = (☆×△)×8$
将$☆×△=100$代入，得：$100×8 = 800$
2. 计算第二空：
根据乘法分配律逆运算$a×c + b×c = (a+b)×c$，对式子变形：
$☆×3 + △×3 = (☆+△)×3$
将$☆+△=25$代入，得：$25×3 = 75$
【答案】800；75
【知识点】乘法结合律，乘法分配律
【点评】本题属于基础的运算定律应用题型，无需计算两个未知符号的具体取值，通过整体代入的思路简化计算，能够帮助学生加深对乘法运算定律的理解，掌握整体代换的解题技巧。
【难度系数】0.8
我们做这道题不需要分别求出☆和△的具体数值，直接利用乘法运算定律对要求的式子变形，再整体代入已知条件的结果计算即可：
1. 第一空：观察式子(☆×8)×△，可以利用乘法结合律调整运算顺序，把☆和△优先相乘，已知☆×△=100，代入后就能快速算出结果。
2. 第二空：观察式子☆×3+△×3，符合乘法分配律逆运算的形式，提取公因数3后，就可以把☆+△=25整体代入计算。
【解析】
解：
1. 计算第一空：
根据乘法结合律$(a×b)×c = a×(b×c)$，对式子变形：
$(☆×8)×△ = ☆×8×△ = (☆×△)×8$
将$☆×△=100$代入，得：$100×8 = 800$
2. 计算第二空：
根据乘法分配律逆运算$a×c + b×c = (a+b)×c$，对式子变形：
$☆×3 + △×3 = (☆+△)×3$
将$☆+△=25$代入，得：$25×3 = 75$
【答案】800；75
【知识点】乘法结合律，乘法分配律
【点评】本题属于基础的运算定律应用题型，无需计算两个未知符号的具体取值，通过整体代入的思路简化计算，能够帮助学生加深对乘法运算定律的理解，掌握整体代换的解题技巧。
【难度系数】0.8
变式训练5 小军把$124×(□+6)$错算成了$124×□+6$,他算出的结果与正确的结果相差多少?
答案
变式训练5 $124×6-6=738$
答:相差738。
答:相差738。
解析
【分析】
这道题不需要求出方框代表的具体数值，我们可以利用乘法分配律先把正确的算式展开，再将正确结果和错算的结果做差，两个式子中相同的“124×□”部分会直接抵消，剩下的部分就可以直接计算出两者的差值，不需要额外求解未知量，计算过程非常简便。
【解析】
1. 首先根据乘法分配律，将正确的算式展开：
正确结果 = $124×(□+6) = 124×□ + 124×6$
2. 已知小军错算得到的结果为：$124×□ + 6$
3. 计算两个结果的差值，用正确结果减去错误结果：
$\begin{align}&(124×□ + 124×6) - (124×□ + 6)\\=&124×□ + 124×6 - 124×□ -6\\=&124×6 -6\\=&744 -6\\=&738\end{align}$
【答案】
他算出的结果与正确的结果相差738。
【知识点】
乘法分配律，整数四则运算
【点评】
本题是乘法分配律的典型易错题，巧妙规避了未知的□的数值，通过抵消相同项快速得到差值，能够帮助学生加深对乘法分配律运算规则的理解，明确带括号的算式展开后漏乘常数项带来的结果差异。
【难度系数】
0.7
这道题不需要求出方框代表的具体数值，我们可以利用乘法分配律先把正确的算式展开，再将正确结果和错算的结果做差，两个式子中相同的“124×□”部分会直接抵消，剩下的部分就可以直接计算出两者的差值，不需要额外求解未知量，计算过程非常简便。
【解析】
1. 首先根据乘法分配律，将正确的算式展开：
正确结果 = $124×(□+6) = 124×□ + 124×6$
2. 已知小军错算得到的结果为：$124×□ + 6$
3. 计算两个结果的差值，用正确结果减去错误结果：
$\begin{align}&(124×□ + 124×6) - (124×□ + 6)\\=&124×□ + 124×6 - 124×□ -6\\=&124×6 -6\\=&744 -6\\=&738\end{align}$
【答案】
他算出的结果与正确的结果相差738。
【知识点】
乘法分配律，整数四则运算
【点评】
本题是乘法分配律的典型易错题，巧妙规避了未知的□的数值，通过抵消相同项快速得到差值，能够帮助学生加深对乘法分配律运算规则的理解，明确带括号的算式展开后漏乘常数项带来的结果差异。
【难度系数】
0.7
例3 甲、乙两辆卡车同时从一个工厂出发,驶向同一方向。甲车的速度是75千米/时,乙车的速度是90千米/时。经过4小时,甲、乙两辆卡车相距多少千米?
【错解】(90+75)×4=660(千米)
【分析】学生误以为“相距多少千米”就是求路程之和。题目中甲、乙两车从同一地点出发,驶向同一方向,求4小时后两车相距多少千米,可以先算出两车的速度差,再乘4。
【答案】(90-75)×4=60(千米)
答:甲、乙两辆卡车相距60千米。
【错解】(90+75)×4=660(千米)
【分析】学生误以为“相距多少千米”就是求路程之和。题目中甲、乙两车从同一地点出发,驶向同一方向,求4小时后两车相距多少千米,可以先算出两车的速度差,再乘4。
【答案】(90-75)×4=60(千米)
答:甲、乙两辆卡车相距60千米。
答案
(90-75)×4=60(千米)
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
解析
【分析】
首先审题明确两车的运动特征：两车同时从同一地点出发、向同一方向行驶，并非相向或者背向行驶，因此求相距距离不能用速度和乘时间。正确的思考逻辑是：同向行驶时，相同时间内快车比慢车多行驶的路程就是两车的距离，我们可以先算出两车每小时的速度差，也就是每小时乙车比甲车多走的路程，再乘总行驶时间4小时，就能直接得到4小时后两车的相距距离，也可以分别算出两车4小时的总路程再相减，结果一致。
【解析】
步骤1：判断运动关系：同地同时同向行驶的两车，相距距离等于两车的路程差
步骤2：计算两车的速度差：乙车速度减去甲车速度，即90 - 75 = 15（千米/时），代表每小时乙车比甲车多走15千米
步骤3：计算4小时的总路程差，也就是两车的相距距离，用速度差乘行驶时间：
$\begin{align}(90-75)×4&=15×4\\&=60（千米）\end{align}$
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
【答案】
(90-75)×4=60(千米)
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
【知识点】
1. 同向行程问题
2. 路程速度时间关系
【点评】
本题的典型易错点是学生看到“相距”就直接套用相向/背向行程的速度和公式，忽略了题目给出的“同地点、同方向行驶”的前提。解题时先梳理清楚两车的出发地点、出发时刻、行驶方向三个核心要素，再选择对应的行程公式，就能有效规避这类概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
首先审题明确两车的运动特征：两车同时从同一地点出发、向同一方向行驶，并非相向或者背向行驶，因此求相距距离不能用速度和乘时间。正确的思考逻辑是：同向行驶时，相同时间内快车比慢车多行驶的路程就是两车的距离，我们可以先算出两车每小时的速度差，也就是每小时乙车比甲车多走的路程，再乘总行驶时间4小时，就能直接得到4小时后两车的相距距离，也可以分别算出两车4小时的总路程再相减，结果一致。
【解析】
步骤1：判断运动关系：同地同时同向行驶的两车，相距距离等于两车的路程差
步骤2：计算两车的速度差：乙车速度减去甲车速度，即90 - 75 = 15（千米/时），代表每小时乙车比甲车多走15千米
步骤3：计算4小时的总路程差，也就是两车的相距距离，用速度差乘行驶时间：
$\begin{align}(90-75)×4&=15×4\\&=60（千米）\end{align}$
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
【答案】
(90-75)×4=60(千米)
答：甲、乙两辆卡车相距60千米。
【知识点】
1. 同向行程问题
2. 路程速度时间关系
【点评】
本题的典型易错点是学生看到“相距”就直接套用相向/背向行程的速度和公式，忽略了题目给出的“同地点、同方向行驶”的前提。解题时先梳理清楚两车的出发地点、出发时刻、行驶方向三个核心要素，再选择对应的行程公式，就能有效规避这类概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
变式训练6 环湖路全长4000米,欢欢和乐乐同时从环湖路的某地出发,沿相反方向步行。欢欢的速度是65米/分,乐乐的速度是55米/分,经过30分钟两人能相遇吗?
答案
变式训练6 $(65+55)×30=3600$(米)
$3600＜4000$ 答:30分钟后两人不能相遇。
$3600＜4000$ 答:30分钟后两人不能相遇。
解析
【分析】
这是典型的反向行走的相遇判定问题，解题思路非常清晰：两人沿相反方向步行时，单位时间内两人共同行进的距离就是两人的速度之和，我们先计算出30分钟内两人一共行走的总路程，再把这个总路程和环湖路的全长4000米做对比：如果总路程≥4000米，说明两人走完了环湖路全程，就会相遇；如果总路程小于4000米，说明两人还没走完总长度，就不能相遇，通过这个对比就能直接得出结论。
【解析】
第一步：计算两人的速度和
欢欢速度为65米/分，乐乐速度为55米/分，反向步行的速度和为：
65 + 55 = 120（米/分）
第二步：计算30分钟两人的总行进路程
根据路程=速度×时间，可得两人30分钟一共走的路程为：
120 × 30 = 3600（米）
第三步：和环湖路全长对比判断是否相遇
已知环湖路全长4000米，3600 ＜ 4000，说明两人30分钟走的总路程还不足环湖路全程，因此两人不能相遇。
【答案】
经过30分钟两人不能相遇。
【知识点】
1.相遇问题判定
2.路程速度时间关系
【点评】
本题属于行程问题的入门基础题型，核心考查反向运动的路程计算逻辑，没有复杂的条件变形，只需要通过速度和求出指定时间内的总路程，再和全程对比即可完成判定，适合刚接触相遇问题的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.8
这是典型的反向行走的相遇判定问题，解题思路非常清晰：两人沿相反方向步行时，单位时间内两人共同行进的距离就是两人的速度之和，我们先计算出30分钟内两人一共行走的总路程，再把这个总路程和环湖路的全长4000米做对比：如果总路程≥4000米，说明两人走完了环湖路全程，就会相遇；如果总路程小于4000米，说明两人还没走完总长度，就不能相遇，通过这个对比就能直接得出结论。
【解析】
第一步：计算两人的速度和
欢欢速度为65米/分，乐乐速度为55米/分，反向步行的速度和为：
65 + 55 = 120（米/分）
第二步：计算30分钟两人的总行进路程
根据路程=速度×时间，可得两人30分钟一共走的路程为：
120 × 30 = 3600（米）
第三步：和环湖路全长对比判断是否相遇
已知环湖路全长4000米，3600 ＜ 4000，说明两人30分钟走的总路程还不足环湖路全程，因此两人不能相遇。
【答案】
经过30分钟两人不能相遇。
【知识点】
1.相遇问题判定
2.路程速度时间关系
【点评】
本题属于行程问题的入门基础题型，核心考查反向运动的路程计算逻辑，没有复杂的条件变形，只需要通过速度和求出指定时间内的总路程，再和全程对比即可完成判定，适合刚接触相遇问题的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.8
变式训练7 两个工程队合作开凿一条隧道,分别从隧道的两端同时向中间开凿。第一队每天开凿68米,第二队每天开凿73米,经过7天正好凿通。这条隧道长多少米?
答案
变式训练7 $(68+73)×7=987$(米)
答:这条隧道长987米。
答:这条隧道长987米。
解析
【分析】
这是典型的合作类工程问题，我们可以这样思考：两个工程队同时从两端向中间开凿隧道，7天凿通，说明两队的工作时间都是7天，隧道的总长度就等于两队7天开凿的长度之和。我们可以先算出两个队每天一共能开凿多少米（也就是两队的效率和），再用效率和乘共同的工作天数，就能快速算出隧道总长度；也可以分别算出第一队7天开凿的长度、第二队7天开凿的长度，再把两个结果相加，两种方法还可以互相验算。
【解析】
方法一：利用效率和计算总长度
1. 先计算两队每天的开凿效率之和：
两队每天一共开凿的长度 = 第一队日开凿长度 + 第二队日开凿长度
即：$68 + 73 = 141$（米）
2. 用效率和乘合作的工作天数，得到隧道总长度：
总长度 = 日效率和 × 合作天数
即：$141 × 7 = 987$（米）
列综合算式为：$(68+73)×7=987$（米）
方法二：分别计算两队工作量再求和（验算用）
第一队7天开凿长度：$68×7=476$（米）
第二队7天开凿长度：$73×7=511$（米）
总长度：$476+511=987$（米）
答：这条隧道长987米。
【答案】
987米
【知识点】
工程问题基本关系，整数四则运算
【点评】
本题是非常基础的合作工程应用题，核心逻辑是总工作量等于所有合作方的工作量之和，使用效率和乘合作时间的思路可以大幅简化计算，做完后也可以用分别求两队工作量再相加的方法验证结果，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
这是典型的合作类工程问题，我们可以这样思考：两个工程队同时从两端向中间开凿隧道，7天凿通，说明两队的工作时间都是7天，隧道的总长度就等于两队7天开凿的长度之和。我们可以先算出两个队每天一共能开凿多少米（也就是两队的效率和），再用效率和乘共同的工作天数，就能快速算出隧道总长度；也可以分别算出第一队7天开凿的长度、第二队7天开凿的长度，再把两个结果相加，两种方法还可以互相验算。
【解析】
方法一：利用效率和计算总长度
1. 先计算两队每天的开凿效率之和：
两队每天一共开凿的长度 = 第一队日开凿长度 + 第二队日开凿长度
即：$68 + 73 = 141$（米）
2. 用效率和乘合作的工作天数，得到隧道总长度：
总长度 = 日效率和 × 合作天数
即：$141 × 7 = 987$（米）
列综合算式为：$(68+73)×7=987$（米）
方法二：分别计算两队工作量再求和（验算用）
第一队7天开凿长度：$68×7=476$（米）
第二队7天开凿长度：$73×7=511$（米）
总长度：$476+511=987$（米）
答：这条隧道长987米。
【答案】
987米
【知识点】
工程问题基本关系，整数四则运算
【点评】
本题是非常基础的合作工程应用题，核心逻辑是总工作量等于所有合作方的工作量之和，使用效率和乘合作时间的思路可以大幅简化计算，做完后也可以用分别求两队工作量再相加的方法验证结果，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
