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9. 如图，$∠ AFD = ∠ 1, AC // DE.$
(1)试说明:$DF // BC$;
(2)若$∠ 1 = 70°, DF$平分$∠ ADE$,求$∠ B$的度数.
(1)试说明:$DF // BC$;
(2)若$∠ 1 = 70°, DF$平分$∠ ADE$,求$∠ B$的度数.
答案
9.解:(1)因为$AC// DE$,所以$∠C=∠1$.
又因为$∠AFD=∠1$,所以$∠C=∠AFD$,所以$DF// BC$.
(2)因为$∠1=70^{\circ },DF// BC$,所以$∠EDF=∠1=70^{\circ }$.
又因为$DF$平分$∠ADE$,所以$∠ADF=∠EDF=70^{\circ }$.
因为$DF// BC$,所以$∠B=∠ADF=70^{\circ }.$
又因为$∠AFD=∠1$,所以$∠C=∠AFD$,所以$DF// BC$.
(2)因为$∠1=70^{\circ },DF// BC$,所以$∠EDF=∠1=70^{\circ }$.
又因为$DF$平分$∠ADE$,所以$∠ADF=∠EDF=70^{\circ }$.
因为$DF// BC$,所以$∠B=∠ADF=70^{\circ }.$
解析
【分析】
要解决本题，需运用平行线的性质与判定定理、角平分线的定义：第(1)问中，先由AC//DE得到∠C与∠1的关系，结合已知∠AFD=∠1，通过等量代换得到同位角相等，进而判定DF//BC；第(2)问中，利用DF//BC的性质得到∠EDF，再结合角平分线定义求出∠ADF，最后由DF//BC的性质得到∠B与∠ADF相等，从而算出∠B的度数。
【解析】
(1) 因为 $ AC // DE $，根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ C = ∠ 1 $。
又因为 $ ∠ AFD = ∠ 1 $，通过等量代换得 $ ∠ C = ∠ AFD $，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出 $ DF // BC $。
(2) 已知 $ ∠ 1 = 70° $，且 $ DF // BC $，根据“两直线平行，内错角相等”，所以 $ ∠ EDF = ∠ 1 = 70° $。
因为 $ DF $ 平分 $ ∠ ADE $，根据角平分线的定义，得 $ ∠ ADF = ∠ EDF = 70° $。
又因为 $ DF // BC $，根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ B = ∠ ADF = 70° $。
【答案】
(1) $ DF // BC $；(2) $ ∠ B = 70° $
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关知识的基础应用题，综合考查平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质和判定进行角的转化，难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需运用平行线的性质与判定定理、角平分线的定义：第(1)问中，先由AC//DE得到∠C与∠1的关系，结合已知∠AFD=∠1，通过等量代换得到同位角相等，进而判定DF//BC；第(2)问中，利用DF//BC的性质得到∠EDF，再结合角平分线定义求出∠ADF，最后由DF//BC的性质得到∠B与∠ADF相等，从而算出∠B的度数。
【解析】
(1) 因为 $ AC // DE $，根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ C = ∠ 1 $。
又因为 $ ∠ AFD = ∠ 1 $，通过等量代换得 $ ∠ C = ∠ AFD $，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出 $ DF // BC $。
(2) 已知 $ ∠ 1 = 70° $，且 $ DF // BC $，根据“两直线平行，内错角相等”，所以 $ ∠ EDF = ∠ 1 = 70° $。
因为 $ DF $ 平分 $ ∠ ADE $，根据角平分线的定义，得 $ ∠ ADF = ∠ EDF = 70° $。
又因为 $ DF // BC $，根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ B = ∠ ADF = 70° $。
【答案】
(1) $ DF // BC $；(2) $ ∠ B = 70° $
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关知识的基础应用题，综合考查平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质和判定进行角的转化，难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
10. 如图,点 B,E 分别在 AC,DF 上,AF 分别交 BD,CE 于点 M,N,$AC// DF$,$∠ C=∠ D$. 试说明:$∠ 1=∠ 2$.
答案
10.解:因为$AC// DF$,所以$∠DBA=∠D$.
因为$∠C=∠D$,所以$∠DBA=∠C$,
所以$DB// CE$,所以$∠1=∠2.$
因为$∠C=∠D$,所以$∠DBA=∠C$,
所以$DB// CE$,所以$∠1=∠2.$
解析
【分析】要证明∠1=∠2，需先推导DB与CE平行。已知AC//DF，根据平行线的性质可得∠DBA=∠D；结合已知∠C=∠D，通过等量代换得到∠DBA=∠C，再依据平行线的判定定理推出DB//CE，最后利用平行线的性质即可得到∠1=∠2。
【解析】解：
∵ AC//DF（已知），
∴ ∠DBA = ∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠C = ∠D（已知），
∴ ∠DBA = ∠C（等量代换），
∴ DB//CE（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）。
【答案】∠1=∠2，证明过程如上。
【知识点】平行线的性质、平行线的判定
【点评】本题是平行线性质与判定的基础综合应用，解题时需逐步推导，利用已知条件建立角的等量关系，进而完成证明，逻辑清晰，属于几何证明的基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：
∵ AC//DF（已知），
∴ ∠DBA = ∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠C = ∠D（已知），
∴ ∠DBA = ∠C（等量代换），
∴ DB//CE（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠1 = ∠2（两直线平行，同位角相等）。
【答案】∠1=∠2，证明过程如上。
【知识点】平行线的性质、平行线的判定
【点评】本题是平行线性质与判定的基础综合应用，解题时需逐步推导，利用已知条件建立角的等量关系，进而完成证明，逻辑清晰，属于几何证明的基础题型。
【难度系数】0.5
11. 把一块含 $60°$ 角的直角三角尺 $EFG(∠ EFG=90°,∠ EGF=60°)$ 放在两条平行线 $AB,CD$ 之间.
(1)如图①,若把三角尺的 $60°$ 角的顶点 $G$ 放在 $CD$ 上,且 $∠ 2=2∠ 1$,求 $∠ 1$ 的度数;
(2)如图②,若把三角尺的两个锐角的顶点 $E,G$ 分别放在 $AB$ 和 $CD$ 上,请你探索并说明$∠ AEF$ 与 $∠ FGC$ 之间的数量关系;
(3)如图③,若把三角尺的直角顶点 $F$ 放在 $CD$ 上,$30°$ 角的顶点 $E$ 放在 $AB$ 上,请直接写出$∠ AEG$ 与 $∠ CFG$ 之间的数量关系.
(1)如图①,若把三角尺的 $60°$ 角的顶点 $G$ 放在 $CD$ 上,且 $∠ 2=2∠ 1$,求 $∠ 1$ 的度数;
(2)如图②,若把三角尺的两个锐角的顶点 $E,G$ 分别放在 $AB$ 和 $CD$ 上,请你探索并说明$∠ AEF$ 与 $∠ FGC$ 之间的数量关系;
(3)如图③,若把三角尺的直角顶点 $F$ 放在 $CD$ 上,$30°$ 角的顶点 $E$ 放在 $AB$ 上,请直接写出$∠ AEG$ 与 $∠ CFG$ 之间的数量关系.
答案
11.解:(1)因为$AB// CD$,所以$∠1=∠EGD$.
因为$∠2=2∠1$,所以$∠2=2∠EGD$.
又因为$∠FGE=60^{\circ }$,
所以$∠EGD=\frac{1}{3}×(180^{\circ }-60^{\circ })=40^{\circ }$,所以$∠1=40^{\circ }$.
(2)因为$AB// CD$,所以$∠AEG+∠CGE=180^{\circ }$,
即$∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180^{\circ }$.
又因为$∠FEG+∠EGF=90^{\circ }$,
所以$∠AEF+∠FGC=90^{\circ }$.
(3)因为$AB// CD$,所以$∠AEF+∠CFE=180^{\circ }$,
所以$∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180^{\circ }$.
因为$∠FEG=30^{\circ },∠EFG=90^{\circ }$,
所以$∠AEG-30^{\circ }+∠CFG-90^{\circ }=180^{\circ }$,
所以$∠AEG+∠CFG=300^{\circ }.$
因为$∠2=2∠1$,所以$∠2=2∠EGD$.
又因为$∠FGE=60^{\circ }$,
所以$∠EGD=\frac{1}{3}×(180^{\circ }-60^{\circ })=40^{\circ }$,所以$∠1=40^{\circ }$.
(2)因为$AB// CD$,所以$∠AEG+∠CGE=180^{\circ }$,
即$∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180^{\circ }$.
又因为$∠FEG+∠EGF=90^{\circ }$,
所以$∠AEF+∠FGC=90^{\circ }$.
(3)因为$AB// CD$,所以$∠AEF+∠CFE=180^{\circ }$,
所以$∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180^{\circ }$.
因为$∠FEG=30^{\circ },∠EFG=90^{\circ }$,
所以$∠AEG-30^{\circ }+∠CFG-90^{\circ }=180^{\circ }$,
所以$∠AEG+∠CFG=300^{\circ }.$
解析
【分析】
本题主要利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补），结合直角三角尺的固定角度，通过分析各角之间的和差关系，逐步推导求解。每个小问需先明确平行线带来的角度关联，再结合三角尺的角度，建立所求角与已知角的等式，进而计算或推导数量关系。
【解析】
(1) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，得 $ ∠ 1 = ∠ EGD $。
已知 $ ∠ 2 = 2∠ 1 $，故 $ ∠ 2 = 2∠ EGD $。
又因为 $ ∠ FGE = 60° $，且 $ ∠ 2 + ∠ FGE + ∠ EGD = 180° $（平角定义），代入得：
$ 2∠ EGD + 60° + ∠ EGD = 180° $，解得 $ ∠ EGD = 40° $，因此 $ ∠ 1 = 40° $。
(2) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $ ∠ AEG + ∠ CGE = 180° $。
又 $ ∠ AEG = ∠ AEF + ∠ FEG $，$ ∠ CGE = ∠ FGC + ∠ EGF $，代入得：
$ ∠ AEF + ∠ FEG + ∠ EGF + ∠ FGC = 180° $。
已知三角尺中 $ ∠ FEG + ∠ EGF = 90° $，因此 $ ∠ AEF + ∠ FGC = 180° - 90° = 90° $。
(3) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $ ∠ AEF + ∠ CFE = 180° $。
又 $ ∠ AEF = ∠ AEG - ∠ FEG $，$ ∠ CFE = ∠ CFG - ∠ EFG $，代入得：
$ (∠ AEG - ∠ FEG) + (∠ CFG - ∠ EFG) = 180° $。
已知三角尺中 $ ∠ FEG = 30° $，$ ∠ EFG = 90° $，因此：
$ ∠ AEG - 30° + ∠ CFG - 90° = 180° $，整理得 $ ∠ AEG + ∠ CFG = 300° $。
【答案】
(1) $ ∠ 1 = 40° $；(2) $ ∠ AEF + ∠ FGC = 90° $；(3) $ ∠ AEG + ∠ CFG = 300° $
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合平行线性质与直角三角尺的固定角度，考查几何角度关系的推导，需要学生熟练运用平行线性质拆分、组合角度，难度适中，适合巩固初中几何基础。
【难度系数】
0.6
本题主要利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补），结合直角三角尺的固定角度，通过分析各角之间的和差关系，逐步推导求解。每个小问需先明确平行线带来的角度关联，再结合三角尺的角度，建立所求角与已知角的等式，进而计算或推导数量关系。
【解析】
(1) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，得 $ ∠ 1 = ∠ EGD $。
已知 $ ∠ 2 = 2∠ 1 $，故 $ ∠ 2 = 2∠ EGD $。
又因为 $ ∠ FGE = 60° $，且 $ ∠ 2 + ∠ FGE + ∠ EGD = 180° $（平角定义），代入得：
$ 2∠ EGD + 60° + ∠ EGD = 180° $，解得 $ ∠ EGD = 40° $，因此 $ ∠ 1 = 40° $。
(2) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $ ∠ AEG + ∠ CGE = 180° $。
又 $ ∠ AEG = ∠ AEF + ∠ FEG $，$ ∠ CGE = ∠ FGC + ∠ EGF $，代入得：
$ ∠ AEF + ∠ FEG + ∠ EGF + ∠ FGC = 180° $。
已知三角尺中 $ ∠ FEG + ∠ EGF = 90° $，因此 $ ∠ AEF + ∠ FGC = 180° - 90° = 90° $。
(3) 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $ ∠ AEF + ∠ CFE = 180° $。
又 $ ∠ AEF = ∠ AEG - ∠ FEG $，$ ∠ CFE = ∠ CFG - ∠ EFG $，代入得：
$ (∠ AEG - ∠ FEG) + (∠ CFG - ∠ EFG) = 180° $。
已知三角尺中 $ ∠ FEG = 30° $，$ ∠ EFG = 90° $，因此：
$ ∠ AEG - 30° + ∠ CFG - 90° = 180° $，整理得 $ ∠ AEG + ∠ CFG = 300° $。
【答案】
(1) $ ∠ 1 = 40° $；(2) $ ∠ AEF + ∠ FGC = 90° $；(3) $ ∠ AEG + ∠ CFG = 300° $
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合平行线性质与直角三角尺的固定角度，考查几何角度关系的推导，需要学生熟练运用平行线性质拆分、组合角度，难度适中，适合巩固初中几何基础。
【难度系数】
0.6
