【学以致用3】(1)函数$y=x^{\frac{1}{3}}$的图象是（）

(2)已知幂函数$f(x)=(a^2 -4a +4)x^{a^2 -a -2}$的图象不经过原点，则实数$a=$

(1)B (2)1
(1)由函数过定点$(1,1)$可排除选项A,D.再根据$y=x^{\frac{1}{3}}$的图象在第一象限内上凸(抛物线型,开口向右),排除选项C.
(2)由幂函数的定义及其性质可得,$\begin{cases}a^2-4a+4=1,\\a^2-a-2≤0,\end{cases}$(幂函数的解析式需满足其系数为1;当其指数小于或等于0时,幂函数的图象不经过原点)解得$a=1$.

【典例1】利用幂函数的性质，比较下列各题中值的大小：
(1)$2.3^{\frac{1}{2}}$与$2.4^{\frac{1}{2}}$；
(2)$0.6^{6}$与$0.35^{3}$；
(3)$4.1^{\frac{2}{5}},3.8^{-\frac{2}{3}},(-1.9)^{3}$。
解题指导 (1)根据幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$的单调性进行判断。
(2)先将幂指数统一，再根据幂函数的单调性进行判断。
(3)判断各数与0或1的大小关系，通过比较得出答案。
答案 解:(1)因为幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$在$(0,+∞)$上单调递增，且$2.3＜2.4$，
所以$2.3^{\frac{1}{2}}＜2.4^{\frac{1}{2}}$。
(2)因为$0.6^{6}=0.36^{3}$，幂函数$y=x^{3}$在$(0,+∞)$上单调递增，且$0.36＞0.35$，
所以$0.36^{3}＞0.35^{3}$，即$0.6^{6}＞0.35^{3}$。
(3)由题意，得$4.1^{\frac{2}{5}}＞1^{\frac{2}{5}}=1,0＜3.8^{-\frac{2}{3}}＜1^{-\frac{2}{3}}=1,(-1.9)^{3}＜0$，
所以$(-1.9)^{3}＜3.8^{-\frac{2}{3}}＜4.1^{\frac{2}{5}}$。

解：
(1) 幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$在$(0,+∞)$上单调递增，且$2.3＜2.4$，
所以$2.3^{\frac{1}{2}}＜2.4^{\frac{1}{2}}$。
(2) 因为$0.6^6=(0.6^2)^3=0.36^3$，幂函数$y=x^3$在$(0,+∞)$上单调递增，且$0.36＞0.35$，
所以$0.36^3＞0.35^3$，即$0.6^6＞0.35^3$。
(3) 幂函数$y=x^{\frac{2}{5}}$在$(0,+∞)$上单调递增，$4.1＞1$，因此$4.1^{\frac{2}{5}}＞1^{\frac{2}{5}}=1$；
幂函数$y=x^{-\frac{2}{3}}$在$(0,+∞)$上单调递减，$3.8＞1$，因此$0＜3.8^{-\frac{2}{3}}＜1^{-\frac{2}{3}}=1$；
显然$(-1.9)^3＜0$。
所以$(-1.9)^3＜3.8^{-\frac{2}{3}}＜4.1^{\frac{2}{5}}$。