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12. 把$\frac{5}{9}$的分母扩大3倍，要使分数的大小不变，分子应该（
A.扩大3倍
B.加上3
C.不变
D.无法确定
A
）A.扩大3倍
B.加上3
C.不变
D.无法确定
答案
12. A
解析
【分析】
解题时首先回忆分数的基本性质，题目要求分母扩大3倍后分数大小不变，我们就可以依据性质判断分子的变化：分数的分子和分母要同时乘或除以相同的非0数，分数大小才不变。分母扩大3倍就是乘3，那么分子也要做相同的变化，之后再逐一验证其他选项是否符合要求就能得出答案。
【解析】
根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
本题中分母扩大3倍，即分母乘3，要使分数大小不变，分子也需要乘3，也就是扩大3倍。
我们再验证其他选项：
B选项：分子加上3后是5+3=8，此时分数为$\frac{8}{9×3}=\frac{8}{27}$，$\frac{8}{27}≠\frac{5}{9}$，不符合要求；
C选项：分子不变的话，分数为$\frac{5}{27}≠\frac{5}{9}$，不符合要求；
D选项明显错误。
因此正确选项是A。
【答案】
A
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对分数基本性质的掌握和简单应用，牢记性质内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分数的基本性质，题目要求分母扩大3倍后分数大小不变，我们就可以依据性质判断分子的变化：分数的分子和分母要同时乘或除以相同的非0数，分数大小才不变。分母扩大3倍就是乘3，那么分子也要做相同的变化，之后再逐一验证其他选项是否符合要求就能得出答案。
【解析】
根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
本题中分母扩大3倍，即分母乘3，要使分数大小不变，分子也需要乘3，也就是扩大3倍。
我们再验证其他选项：
B选项：分子加上3后是5+3=8，此时分数为$\frac{8}{9×3}=\frac{8}{27}$，$\frac{8}{27}≠\frac{5}{9}$，不符合要求；
C选项：分子不变的话，分数为$\frac{5}{27}≠\frac{5}{9}$，不符合要求；
D选项明显错误。
因此正确选项是A。
【答案】
A
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对分数基本性质的掌握和简单应用，牢记性质内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 下面选项中说法正确的一项是 （
A.体积单位比面积单位大
B.若$\frac{a}{5}$是假分数，那么$a$一定大于5
C.两个自然数的积一定是质数
D.正方形有四条对称轴
D
）A.体积单位比面积单位大
B.若$\frac{a}{5}$是假分数，那么$a$一定大于5
C.两个自然数的积一定是质数
D.正方形有四条对称轴
答案
13. D
解析
【分析】
这是一道基础概念综合选择题，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应知识点判断对错，最终选出正确选项。首先回忆每个选项关联的定义、性质，对错误选项可以通过举反例或者直接依据定义排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：体积单位用来计量物体所占空间的大小，面积单位用来计量平面的大小，二者计量的是不同类型的量，没有可比性，所以A说法错误。
选项B：假分数的定义是分子大于或等于分母的分数，因此若$\frac{a}{5}$是假分数，则$a≥5$，$a$也可以等于5，不是一定大于5，所以B说法错误。
选项C：质数是指只有1和它本身两个因数的数，举反例：自然数2和3的积是6，6的因数有1、2、3、6，是合数，因此两个自然数的积不一定是质数，C说法错误。
选项D：正方形沿上下对边中点连线、左右对边中点连线、两条对角线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，这四条直线都是它的对称轴，所以正方形有四条对称轴，D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
假分数的定义、质数的概念、轴对称图形特征
【点评】
本题考查多个基础数学概念的掌握情况，难度不大，易错点在于容易忽略假分数分子等于分母的情况、混淆不同类型单位不能比较的规则，平时学习要注意准确识记概念的完整内容。
【难度系数】
0.8
这是一道基础概念综合选择题，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应知识点判断对错，最终选出正确选项。首先回忆每个选项关联的定义、性质，对错误选项可以通过举反例或者直接依据定义排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：体积单位用来计量物体所占空间的大小，面积单位用来计量平面的大小，二者计量的是不同类型的量，没有可比性，所以A说法错误。
选项B：假分数的定义是分子大于或等于分母的分数，因此若$\frac{a}{5}$是假分数，则$a≥5$，$a$也可以等于5，不是一定大于5，所以B说法错误。
选项C：质数是指只有1和它本身两个因数的数，举反例：自然数2和3的积是6，6的因数有1、2、3、6，是合数，因此两个自然数的积不一定是质数，C说法错误。
选项D：正方形沿上下对边中点连线、左右对边中点连线、两条对角线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，这四条直线都是它的对称轴，所以正方形有四条对称轴，D说法正确。
【答案】
D
【知识点】
假分数的定义、质数的概念、轴对称图形特征
【点评】
本题考查多个基础数学概念的掌握情况，难度不大，易错点在于容易忽略假分数分子等于分母的情况、混淆不同类型单位不能比较的规则，平时学习要注意准确识记概念的完整内容。
【难度系数】
0.8
14. 分数单位是$\frac{1}{9}$的真分数一共有 （
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
B
）A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
答案
14. B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：第一，分数单位是$\frac{1}{9}$的分数，分母固定为9；第二，真分数是分子小于分母、数值小于1的分数。接下来我们只需要找出所有分母为9、分子符合真分数要求的数，统计个数即可得到答案。
【解析】
1. 确定分母：分数单位是$\frac{1}{9}$，说明符合要求的分数分母为9。
2. 确定分子范围：根据真分数的定义，真分数的分子必须小于分母，且分子是大于0的正整数，因此分子可以取1、2、3、4、5、6、7、8，共8个不同的取值。
3. 对应得到的真分数分别是$\frac{1}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{3}{9}$、$\frac{4}{9}$、$\frac{5}{9}$、$\frac{6}{9}$、$\frac{7}{9}$、$\frac{8}{9}$，总计8个。
【答案】
B
【知识点】
分数单位的定义，真分数的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分数单位和真分数定义的理解，牢记相关概念即可快速解题，出错点多为容易误将分子等于分母的假分数算入其中。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心概念：第一，分数单位是$\frac{1}{9}$的分数，分母固定为9；第二，真分数是分子小于分母、数值小于1的分数。接下来我们只需要找出所有分母为9、分子符合真分数要求的数，统计个数即可得到答案。
【解析】
1. 确定分母：分数单位是$\frac{1}{9}$，说明符合要求的分数分母为9。
2. 确定分子范围：根据真分数的定义，真分数的分子必须小于分母，且分子是大于0的正整数，因此分子可以取1、2、3、4、5、6、7、8，共8个不同的取值。
3. 对应得到的真分数分别是$\frac{1}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{3}{9}$、$\frac{4}{9}$、$\frac{5}{9}$、$\frac{6}{9}$、$\frac{7}{9}$、$\frac{8}{9}$，总计8个。
【答案】
B
【知识点】
分数单位的定义，真分数的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对分数单位和真分数定义的理解，牢记相关概念即可快速解题，出错点多为容易误将分子等于分母的假分数算入其中。
【难度系数】
0.8
15. 下面的算式中，得数大于1的是 （
A.$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}$
B.$\frac{9}{10}-\frac{1}{8}$
C.$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{8}+\frac{4}{7}$
C
）A.$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}$
B.$\frac{9}{10}-\frac{1}{8}$
C.$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{8}+\frac{4}{7}$
答案
15. C
解析
【分析】
要判断哪个算式的得数大于1，我们可以分别计算每个选项中异分母分数加减法的结果，再将结果与1比较大小即可。计算异分母分数加减法时，先找到两个分母的最小公倍数进行通分，转化为同分母分数后再加减，最后比较结果和1的大小。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A选项：$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}$，分母7和5的最小公倍数是35，通分后得$\frac{15}{35}+\frac{14}{35}=\frac{29}{35}$，$\frac{29}{35}＜1$，不符合要求；
B选项：$\frac{9}{10}-\frac{1}{8}$，分母10和8的最小公倍数是40，通分后得$\frac{36}{40}-\frac{5}{40}=\frac{31}{40}$，$\frac{31}{40}＜1$，不符合要求；
C选项：$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}$，分母5和3的最小公倍数是15，通分后得$\frac{12}{15}+\frac{5}{15}=\frac{17}{15}$，$\frac{17}{15}＞1$，符合要求；
D选项：$\frac{2}{8}+\frac{4}{7}$，先化简$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，分母4和7的最小公倍数是28，通分后得$\frac{7}{28}+\frac{16}{28}=\frac{23}{28}$，$\frac{23}{28}＜1$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分数加减法、分数大小比较
【点评】
本题考查基础的分数运算和大小判断，计算时要注意通分准确，按照运算规则计算即可得出正确结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断哪个算式的得数大于1，我们可以分别计算每个选项中异分母分数加减法的结果，再将结果与1比较大小即可。计算异分母分数加减法时，先找到两个分母的最小公倍数进行通分，转化为同分母分数后再加减，最后比较结果和1的大小。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A选项：$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}$，分母7和5的最小公倍数是35，通分后得$\frac{15}{35}+\frac{14}{35}=\frac{29}{35}$，$\frac{29}{35}＜1$，不符合要求；
B选项：$\frac{9}{10}-\frac{1}{8}$，分母10和8的最小公倍数是40，通分后得$\frac{36}{40}-\frac{5}{40}=\frac{31}{40}$，$\frac{31}{40}＜1$，不符合要求；
C选项：$\frac{4}{5}+\frac{1}{3}$，分母5和3的最小公倍数是15，通分后得$\frac{12}{15}+\frac{5}{15}=\frac{17}{15}$，$\frac{17}{15}＞1$，符合要求；
D选项：$\frac{2}{8}+\frac{4}{7}$，先化简$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，分母4和7的最小公倍数是28，通分后得$\frac{7}{28}+\frac{16}{28}=\frac{23}{28}$，$\frac{23}{28}＜1$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分数加减法、分数大小比较
【点评】
本题考查基础的分数运算和大小判断，计算时要注意通分准确，按照运算规则计算即可得出正确结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
16. 异分母分数不能直接相加减，是因为它们的 （
A.分子不同
B.分数单位不同
C.分数值不同
D.分数性质不同
B
）A.分子不同
B.分数单位不同
C.分数值不同
D.分数性质不同
答案
16. B
解析
【分析】
解题时首先回忆分数加减法的计算逻辑：分数加减法本质是相同分数单位的个数相加减。首先思考同分母分数能直接相加减的原因是它们的分数单位相同，反过来异分母分数不能直接相加减，核心原因就是分数单位不一样，再逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们知道，分数的分数单位由分母决定，大小是分母分之一：
1. 同分母分数的分数单位相同，比如$\frac{2}{5}$和$\frac{1}{5}$的分数单位都是$\frac{1}{5}$，计算时可以直接把分子相加，得到3个$\frac{1}{5}$也就是$\frac{3}{5}$。
2. 异分母分数分母不同，分数单位就不同，比如$\frac{1}{2}$的分数单位是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$的分数单位是$\frac{1}{3}$，单位不统一就不能直接把分子相加减，必须先通分统一分数单位后再计算。
接下来分析选项：
A. 分子不同不是根本原因，同分母分数分子也可能不同，但可以直接加减，错误；
B. 分数单位不同是异分母分数不能直接相加减的根本原因，正确；
C. 分数值不同与能否直接加减无关，比如$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$分数值不同，但可以直接加减，错误；
D. 所有分数的基本性质都相同，错误。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分数单位的概念、异分母分数加减法法则
【点评】
本题考查分数加减法的本质逻辑，属于基础概念类题目，只要理解分数加减法是相同计数单位的累加，就可以快速判断，不需要死记硬背规则。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆分数加减法的计算逻辑：分数加减法本质是相同分数单位的个数相加减。首先思考同分母分数能直接相加减的原因是它们的分数单位相同，反过来异分母分数不能直接相加减，核心原因就是分数单位不一样，再逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们知道，分数的分数单位由分母决定，大小是分母分之一：
1. 同分母分数的分数单位相同，比如$\frac{2}{5}$和$\frac{1}{5}$的分数单位都是$\frac{1}{5}$，计算时可以直接把分子相加，得到3个$\frac{1}{5}$也就是$\frac{3}{5}$。
2. 异分母分数分母不同，分数单位就不同，比如$\frac{1}{2}$的分数单位是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$的分数单位是$\frac{1}{3}$，单位不统一就不能直接把分子相加减，必须先通分统一分数单位后再计算。
接下来分析选项：
A. 分子不同不是根本原因，同分母分数分子也可能不同，但可以直接加减，错误；
B. 分数单位不同是异分母分数不能直接相加减的根本原因，正确；
C. 分数值不同与能否直接加减无关，比如$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$分数值不同，但可以直接加减，错误；
D. 所有分数的基本性质都相同，错误。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分数单位的概念、异分母分数加减法法则
【点评】
本题考查分数加减法的本质逻辑，属于基础概念类题目，只要理解分数加减法是相同计数单位的累加，就可以快速判断，不需要死记硬背规则。
【难度系数】
0.85
17. 如果$\frac{x}{15}$是假分数，$\frac{x}{16}$是真分数，则（
A.$x=15$
B.$x＞15$
C.$x=16$
D.$x=14$
A
）A.$x=15$
B.$x＞15$
C.$x=16$
D.$x=14$
答案
17. A
解析
【分析】
解题时首先要明确真分数和假分数的定义，先根据第一个条件“$\frac{x}{15}$是假分数”求出x的取值范围，再根据第二个条件“$\frac{x}{16}$是真分数”求出x的取值范围，最后找两个范围的公共值，就是符合要求的x的值。
【解析】
1. 回忆概念：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，分子小于分母的分数叫做真分数，且分数的分子为正整数。
2. 由$\frac{x}{15}$是假分数可得：$x≥15$；
3. 由$\frac{x}{16}$是真分数可得：$x＜16$；
4. 结合x是正整数，同时满足$x≥15$和$x＜16$的x只能是15，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 真分数的定义
2. 假分数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对真分数、假分数定义的理解与应用，解题关键是分别根据两个分数的属性求出x的取值范围，再锁定符合要求的x值。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确真分数和假分数的定义，先根据第一个条件“$\frac{x}{15}$是假分数”求出x的取值范围，再根据第二个条件“$\frac{x}{16}$是真分数”求出x的取值范围，最后找两个范围的公共值，就是符合要求的x的值。
【解析】
1. 回忆概念：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，分子小于分母的分数叫做真分数，且分数的分子为正整数。
2. 由$\frac{x}{15}$是假分数可得：$x≥15$；
3. 由$\frac{x}{16}$是真分数可得：$x＜16$；
4. 结合x是正整数，同时满足$x≥15$和$x＜16$的x只能是15，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 真分数的定义
2. 假分数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对真分数、假分数定义的理解与应用，解题关键是分别根据两个分数的属性求出x的取值范围，再锁定符合要求的x值。
【难度系数】
0.8
三、解答题
18. 化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得$\frac{3}{8}$，原来的分数是多少？
18. 化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得$\frac{3}{8}$，原来的分数是多少？
答案
18. 原来的分数是$\frac{36}{96}$
解析
【分析】
约分的依据是分数的基本性质，也就是分数的分子和分母同时除以同一个不为0的数，分数的大小不变。要求原来的分数，我们需要做逆操作：把现在得到的$\frac{3}{8}$的分子和分母，同时乘回之前约掉的所有因数。已知用2约了两次就是先后除以了2两次，用3约了一次就是除以了3一次，所以要给分子、分母分别乘2两次、乘3一次就能还原出原分数。
【解析】
根据分数的基本性质，将约分后的分数的分子、分母分别乘所有约去的因数：
原来的分子：$3×2×2×3=36$
原来的分母：$8×2×2×3=96$
因此原来的分数是$\frac{36}{96}$。
【答案】
$\frac{36}{96}$
【知识点】
分数的基本性质、约分的应用
【点评】
本题需要结合逆向思维解题，核心是理解约分的本质是分子分母同时除以相同的非零数，反向还原时只要把约掉的因数依次乘回分子分母即可，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
约分的依据是分数的基本性质，也就是分数的分子和分母同时除以同一个不为0的数，分数的大小不变。要求原来的分数，我们需要做逆操作：把现在得到的$\frac{3}{8}$的分子和分母，同时乘回之前约掉的所有因数。已知用2约了两次就是先后除以了2两次，用3约了一次就是除以了3一次，所以要给分子、分母分别乘2两次、乘3一次就能还原出原分数。
【解析】
根据分数的基本性质，将约分后的分数的分子、分母分别乘所有约去的因数：
原来的分子：$3×2×2×3=36$
原来的分母：$8×2×2×3=96$
因此原来的分数是$\frac{36}{96}$。
【答案】
$\frac{36}{96}$
【知识点】
分数的基本性质、约分的应用
【点评】
本题需要结合逆向思维解题，核心是理解约分的本质是分子分母同时除以相同的非零数，反向还原时只要把约掉的因数依次乘回分子分母即可，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
19. 月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨今天给这两种花同时浇了水，至少多少天以后再给这两种花同时浇水？
答案
19. 至少12天
解析
【分析】
要解决“至少多少天后再次同时给两种花浇水”的问题，首先要明确：再次同时浇水的天数，必须既是月季浇水间隔4天的倍数，也是君子兰浇水间隔6天的倍数，也就是这个天数是4和6的公共倍数；题目要求“至少多少天”，本质就是求4和6的最小公倍数，求出二者的最小公倍数即可得到答案。
【解析】
我们可以用列举法求解：
1. 先列出4的倍数：4、8、12、16、20、24……
2. 再列出6的倍数：6、12、18、24、30……
3. 找出4和6公有的倍数里最小的数，为12。
也可以用短除法计算：
把4和6同时除以公因数2，得到商2和3，2和3互质，因此最小公倍数=2×2×3=12。
【答案】
至少12天
【知识点】
公倍数概念，最小公倍数计算，最小公倍数应用
【点评】
这道题是最小公倍数在生活中的典型应用，解题核心是把实际场景问题转化为求两个数最小公倍数的数学问题，理解题意后难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决“至少多少天后再次同时给两种花浇水”的问题，首先要明确：再次同时浇水的天数，必须既是月季浇水间隔4天的倍数，也是君子兰浇水间隔6天的倍数，也就是这个天数是4和6的公共倍数；题目要求“至少多少天”，本质就是求4和6的最小公倍数，求出二者的最小公倍数即可得到答案。
【解析】
我们可以用列举法求解：
1. 先列出4的倍数：4、8、12、16、20、24……
2. 再列出6的倍数：6、12、18、24、30……
3. 找出4和6公有的倍数里最小的数，为12。
也可以用短除法计算：
把4和6同时除以公因数2，得到商2和3，2和3互质，因此最小公倍数=2×2×3=12。
【答案】
至少12天
【知识点】
公倍数概念，最小公倍数计算，最小公倍数应用
【点评】
这道题是最小公倍数在生活中的典型应用，解题核心是把实际场景问题转化为求两个数最小公倍数的数学问题，理解题意后难度较低。
【难度系数】
0.8
