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1 有一面长方形墙,长40 dm,宽24 dm。要用一种边长是整分米数的正方形瓷砖把这面墙贴满(用的瓷砖都是整块的),可以选择边长是多少分米的瓷砖? 边长最长是多少分米?
【分析】要使所用的正方形瓷砖都是整块的,瓷砖的边长必须是40和24的(
【解答】
【验证】下面就是这面墙,请用符合要求的最大的正方形瓷砖画一画,验一验。
【分析】要使所用的正方形瓷砖都是整块的,瓷砖的边长必须是40和24的(
公因数
)。【解答】
【验证】下面就是这面墙,请用符合要求的最大的正方形瓷砖画一画,验一验。
答案
1.分析:公因数
解答:
40的因数 24的因数
40和24的公因数
(最大公因数是8)
答:可以选择边长是1dm、2dm、4dm或8dm的瓷砖，边长最长是8dm。
验证:
解析:要使所用的瓷砖都是整块的，瓷砖的边长必须既是40的因数，又是24的因数。因此选择的正方形瓷砖的边长需是40和24的公因数。
正方形瓷砖边长的最大值是40和24的最大公因数。最后画一画，进行检验即可。
解析
【分析】
要解决用整块正方形瓷砖贴满长方形墙的问题，首先要明确：只有瓷砖的边长能同时整除长方形的长40dm和宽24dm，才能保证使用的瓷砖都是整块的，所以瓷砖的边长必须是40和24的公因数。接下来我们可以先分别找出40和24的所有因数，再从中找出它们的公因数，其中最大的公因数就是边长最长的瓷砖。
【解析】
1. 列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
2. 列举24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
3. 找出40和24的公因数：1、2、4、8，其中最大公因数是8；
4. 验证：
【答案】
可以选择边长是1dm、2dm、4dm或8dm的瓷砖，边长最长是8dm。
【知识点】
公因数、最大公因数
【点评】
本题结合生活实际考查公因数和最大公因数的应用，核心是理解“整块瓷砖贴满墙面”的数学本质，即瓷砖边长需是长方形长和宽的公因数，通过列举法找因数和公因数的方法直观易懂，验证环节能加深对知识点的理解与应用。
【难度系数】
0.7
要解决用整块正方形瓷砖贴满长方形墙的问题，首先要明确：只有瓷砖的边长能同时整除长方形的长40dm和宽24dm，才能保证使用的瓷砖都是整块的，所以瓷砖的边长必须是40和24的公因数。接下来我们可以先分别找出40和24的所有因数，再从中找出它们的公因数，其中最大的公因数就是边长最长的瓷砖。
【解析】
1. 列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
2. 列举24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
3. 找出40和24的公因数：1、2、4、8，其中最大公因数是8；
4. 验证：
【答案】
可以选择边长是1dm、2dm、4dm或8dm的瓷砖，边长最长是8dm。
【知识点】
公因数、最大公因数
【点评】
本题结合生活实际考查公因数和最大公因数的应用，核心是理解“整块瓷砖贴满墙面”的数学本质，即瓷砖边长需是长方形长和宽的公因数，通过列举法找因数和公因数的方法直观易懂，验证环节能加深对知识点的理解与应用。
【难度系数】
0.7
2 为促进学生脊柱健康,培养良好的身体姿态,实验小学决定编排“护脊课间操”,并选择42名男生和35名女生拍摄教学视频。如下图,每排最多站多少人? 这时男、女生分别站了几排?
答案
2.42的因数:1,2,3,6,7,14,21,42。
35的因数:1,5,7,35。
42和35的最大公因数是7。
42÷7 = 6(排) 35÷7 = 5(排)
答:每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
解析:下面呈现了此题的思考过程。
每排的人数相同→每排的人数是42和35的公因数。每排最多站几人→求42和35的最大公因数。
这时男、女生分别站了几排→男、女生人数分别除以每排最多站的人数。
35的因数:1,5,7,35。
42和35的最大公因数是7。
42÷7 = 6(排) 35÷7 = 5(排)
答:每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
解析:下面呈现了此题的思考过程。
每排的人数相同→每排的人数是42和35的公因数。每排最多站几人→求42和35的最大公因数。
这时男、女生分别站了几排→男、女生人数分别除以每排最多站的人数。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理清题目核心要求：男、女生分别站成若干排且每排人数相同，求每排最多站多少人，本质是要找能同时整除男生人数42和女生人数35的最大数，也就是求42和35的最大公因数。找到这个最大公因数后，再用男、女生各自的总人数除以每排人数，就能得到对应的排数。
【解析】
1. 列举42的因数：1,2,3,6,7,14,21,42。
2. 列举35的因数：1,5,7,35。
3. 找出42和35的最大公因数：对比两个数的因数，共同因数为1和7，其中最大的是7，即每排最多站7人。
4. 计算男生站的排数：$42÷7=6$（排）
5. 计算女生站的排数：$35÷7=5$（排）
答：每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
【答案】
每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
【知识点】
最大公因数的应用、因数的求法
【点评】
本题是最大公因数的实际应用问题，解题关键是将“每排人数相同且最多”转化为求两个数的最大公因数，再通过除法运算求出排数，考查了对公因数、最大公因数概念的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要理清题目核心要求：男、女生分别站成若干排且每排人数相同，求每排最多站多少人，本质是要找能同时整除男生人数42和女生人数35的最大数，也就是求42和35的最大公因数。找到这个最大公因数后，再用男、女生各自的总人数除以每排人数，就能得到对应的排数。
【解析】
1. 列举42的因数：1,2,3,6,7,14,21,42。
2. 列举35的因数：1,5,7,35。
3. 找出42和35的最大公因数：对比两个数的因数，共同因数为1和7，其中最大的是7，即每排最多站7人。
4. 计算男生站的排数：$42÷7=6$（排）
5. 计算女生站的排数：$35÷7=5$（排）
答：每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
【答案】
每排最多站7人，这时男生站了6排，女生站了5排。
【知识点】
最大公因数的应用、因数的求法
【点评】
本题是最大公因数的实际应用问题，解题关键是将“每排人数相同且最多”转化为求两个数的最大公因数，再通过除法运算求出排数，考查了对公因数、最大公因数概念的理解与实际运用能力。
【难度系数】
0.8
3 六一国际儿童节到了,五(3)班同学买了65个苹果,98颗奶糖,平均分给班里的全体同学,结果苹果还剩1个,奶糖还剩2颗。五(3)班最多有多少名同学?
答案
3.65 - 1 = 64(个) 98 - 2 = 96(颗)
64的因数有1,2,4,8,16,32,64。
64的因数中是96的因数的有1,2,4,8,16,32。64和96的最大公因数是32。
答:五(3)班最多有32名同学。
解析:平均分给班里的全体同学，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗，说明班里全体同学的人数既是65 - 1 = 64的因数，又是98 - 2 = 96的因数。求五(3)班最多有多少名同学，就是求64与96的最大公因数。
64的因数有1,2,4,8,16,32,64。
64的因数中是96的因数的有1,2,4,8,16,32。64和96的最大公因数是32。
答:五(3)班最多有32名同学。
解析:平均分给班里的全体同学，结果苹果还剩1个，奶糖还剩2颗，说明班里全体同学的人数既是65 - 1 = 64的因数，又是98 - 2 = 96的因数。求五(3)班最多有多少名同学，就是求64与96的最大公因数。
解析
【分析】
首先梳理题目中的数量关系：苹果剩余1个，说明实际分给同学的苹果数量是65-1=64个；奶糖剩余2颗，说明实际分给同学的奶糖数量是98-2=96颗。因为是平均分配，所以班级同学人数是64和96的公因数，题目要求最多的同学人数，本质就是求64和96的最大公因数。我们可以先列出64的所有因数，再从中筛选出同时是96的因数的数，其中最大的就是答案。
【解析】
1. 计算实际分配的苹果和奶糖数量：
苹果：$65 - 1 = 64$（个）
奶糖：$98 - 2 = 96$（颗）
2. 列举64的所有因数：1、2、4、8、16、32、64
3. 从64的因数中筛选出96的因数：1、2、4、8、16、32
4. 确定64和96的最大公因数：32
答：五(3)班最多有32名同学。
【答案】
32名
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查最大公因数的应用，解题关键是将实际问题转化为求两个数的最大公因数的问题，通过列举因数的方法求解，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先梳理题目中的数量关系：苹果剩余1个，说明实际分给同学的苹果数量是65-1=64个；奶糖剩余2颗，说明实际分给同学的奶糖数量是98-2=96颗。因为是平均分配，所以班级同学人数是64和96的公因数，题目要求最多的同学人数，本质就是求64和96的最大公因数。我们可以先列出64的所有因数，再从中筛选出同时是96的因数的数，其中最大的就是答案。
【解析】
1. 计算实际分配的苹果和奶糖数量：
苹果：$65 - 1 = 64$（个）
奶糖：$98 - 2 = 96$（颗）
2. 列举64的所有因数：1、2、4、8、16、32、64
3. 从64的因数中筛选出96的因数：1、2、4、8、16、32
4. 确定64和96的最大公因数：32
答：五(3)班最多有32名同学。
【答案】
32名
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查最大公因数的应用，解题关键是将实际问题转化为求两个数的最大公因数的问题，通过列举因数的方法求解，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
4 花园小学为运动会布置场地,打算在长方形操场(如图)的每条边上以相等的距离插彩旗(四个角各插一面)。相邻两面彩旗之间的距离最大是多少米? 这时学校需要准备多少面彩旗?
答案
$4.$
$120$和$90$的最大公因数是$2×3×5 = 30。$
$(120 + 90)×2 = 420(m)$
$420÷30 = 14($面$)$
答$:$相邻两面彩旗之间的距离最大是$30m，$这时学校需要准备$14$面彩旗。
解析$:$此题结合了在封闭图形上植树的问题。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：
1. 求相邻两面彩旗之间的最大距离：因为要在每条边上以相等距离插彩旗且四个角都插，所以相邻距离必须能同时整除长方形的长和宽，这个最大距离就是长120m和宽90m的最大公因数。
2. 求需要的彩旗数量：长方形是封闭图形，在封闭图形上插彩旗，彩旗的数量等于图形的周长除以相邻彩旗的间隔距离，所以先计算操场的周长，再除以最大间隔距离即可得到彩旗数量。
【解析】
1. 求120和90的最大公因数：
分解质因数可得：
$120 = 2×2×2×3×5$
$90 = 2×3×3×5$
它们公有的质因数是2、3、5，所以最大公因数为$2×3×5 = 30$，即相邻两面彩旗之间的最大距离是30m。
2. 计算操场的周长：
$(120 + 90)×2 = 420(m)$
3. 计算彩旗数量：
因为是封闭图形植树，彩旗数 = 周长÷间隔距离，即$420÷30 = 14$（面）
答：相邻两面彩旗之间的距离最大是30m，这时学校需要准备14面彩旗。
【答案】
相邻两面彩旗之间的距离最大是30m，这时学校需要准备14面彩旗。
【知识点】
最大公因数的应用、封闭图形植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数的应用和封闭图形的植树问题，需要先理解“最大相等距离”的本质是长与宽的最大公因数，再结合封闭图形植树的规律（棵数=周长÷间隔距离）来求解，考验学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以分两步思考：
1. 求相邻两面彩旗之间的最大距离：因为要在每条边上以相等距离插彩旗且四个角都插，所以相邻距离必须能同时整除长方形的长和宽，这个最大距离就是长120m和宽90m的最大公因数。
2. 求需要的彩旗数量：长方形是封闭图形，在封闭图形上插彩旗，彩旗的数量等于图形的周长除以相邻彩旗的间隔距离，所以先计算操场的周长，再除以最大间隔距离即可得到彩旗数量。
【解析】
1. 求120和90的最大公因数：
分解质因数可得：
$120 = 2×2×2×3×5$
$90 = 2×3×3×5$
它们公有的质因数是2、3、5，所以最大公因数为$2×3×5 = 30$，即相邻两面彩旗之间的最大距离是30m。
2. 计算操场的周长：
$(120 + 90)×2 = 420(m)$
3. 计算彩旗数量：
因为是封闭图形植树，彩旗数 = 周长÷间隔距离，即$420÷30 = 14$（面）
答：相邻两面彩旗之间的距离最大是30m，这时学校需要准备14面彩旗。
【答案】
相邻两面彩旗之间的距离最大是30m，这时学校需要准备14面彩旗。
【知识点】
最大公因数的应用、封闭图形植树问题
【点评】
本题综合考查了最大公因数的应用和封闭图形的植树问题，需要先理解“最大相等距离”的本质是长与宽的最大公因数，再结合封闭图形植树的规律（棵数=周长÷间隔距离）来求解，考验学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5 有一块长方体木料,长72 cm,宽60 cm,高36 cm。要把它锯成同样大小的正方体木块,且木料不能有剩余。最少可以锯成多少块? 这时正方体的棱长是多少厘米?
答案
5.72 = 2×2×2×3×3 60 = 2×2×3×5
36 = 2×2×3×3
72、60和36的最大公因数是2×2×3 = 12。
(72÷12)×(60÷12)×(36÷12)=90(块)
答:最少可以锯成90块，这时正方体的棱长是12cm。
解析:锯成同样大小的正方体木块，且木料不能有剩余，说明正方体的棱长是长方体长、宽、高的公因数。锯成的块数最少时，也就是正方体的棱长最长时，如下图。
正方体棱长:2×2×3 = 12(cm)
解析
【分析】
要解决这个问题，需理清两个核心逻辑：一是锯成的正方体木块棱长必须能整除长方体的长、宽、高，即棱长是长、宽、高的公因数，这样木料才不会有剩余；二是要使锯成的块数最少，就需要让正方体的棱长尽可能长，也就是求长、宽、高的最大公因数。具体思考步骤如下：
1. 确定正方体棱长的取值范围：必须是72、60、36的公因数；
2. 找到最长的正方体棱长：通过分解质因数的方法求出72、60、36的最大公因数；
3. 计算总块数：用长方体的长、宽、高分别除以最大公因数，得到三个方向上能锯出的正方体个数，三者相乘即为总块数。
【解析】
1. 分解质因数求最大公因数：
$72 = 2×2×2×3×3$
$60 = 2×2×3×5$
$36 = 2×2×3×3$
72、60和36公有的质因数为2、2、3，因此它们的最大公因数是$2×2×3 = 12$，即正方体的棱长为12厘米。
2. 计算锯成的总块数：
长方向可锯出：$72÷12 = 6$（块）
宽方向可锯出：$60÷12 = 5$（块）
高方向可锯出：$36÷12 = 3$（块）
总块数：$6×5×3 = 90$（块）
【答案】
最少可以锯成90块，这时正方体的棱长是12cm。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 长方体与正方体切割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“锯成最少块数”对应“正方体棱长最长”的逻辑，需掌握分解质因数求最大公因数的方法，同时结合长方体的维度计算切割后的总块数，培养学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需理清两个核心逻辑：一是锯成的正方体木块棱长必须能整除长方体的长、宽、高，即棱长是长、宽、高的公因数，这样木料才不会有剩余；二是要使锯成的块数最少，就需要让正方体的棱长尽可能长，也就是求长、宽、高的最大公因数。具体思考步骤如下：
1. 确定正方体棱长的取值范围：必须是72、60、36的公因数；
2. 找到最长的正方体棱长：通过分解质因数的方法求出72、60、36的最大公因数；
3. 计算总块数：用长方体的长、宽、高分别除以最大公因数，得到三个方向上能锯出的正方体个数，三者相乘即为总块数。
【解析】
1. 分解质因数求最大公因数：
$72 = 2×2×2×3×3$
$60 = 2×2×3×5$
$36 = 2×2×3×3$
72、60和36公有的质因数为2、2、3，因此它们的最大公因数是$2×2×3 = 12$，即正方体的棱长为12厘米。
2. 计算锯成的总块数：
长方向可锯出：$72÷12 = 6$（块）
宽方向可锯出：$60÷12 = 5$（块）
高方向可锯出：$36÷12 = 3$（块）
总块数：$6×5×3 = 90$（块）
【答案】
最少可以锯成90块，这时正方体的棱长是12cm。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 长方体与正方体切割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“锯成最少块数”对应“正方体棱长最长”的逻辑，需掌握分解质因数求最大公因数的方法，同时结合长方体的维度计算切割后的总块数，培养学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
