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(2)“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。”要想说明这句话是错误的,可以用(
A.27和28
B.1和6
C.2和10
D.3和14
C
)为例进行反驳。A.27和28
B.1和6
C.2和10
D.3和14
答案
(2)C
解析此题需要注意两点:
选项中是不是一个质数和一个合数。A选项是两个合数；B选项中1既不是质数，也不是合数，不符合条件，排除。
选项中的最大公因数是不是1。D选项中3和14的最大公因数是1，故不能说明题干中的话是错误的，排除。
解析此题需要注意两点:
选项中是不是一个质数和一个合数。A选项是两个合数；B选项中1既不是质数，也不是合数，不符合条件，排除。
选项中的最大公因数是不是1。D选项中3和14的最大公因数是1，故不能说明题干中的话是错误的，排除。
解析
【分析】
要反驳题干中“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1”的说法，需分两步筛选选项：第一步，依据质数、合数的定义，先排除不符合“一个质数和一个合数”条件的选项；第二步，在符合条件的选项里，找出最大公因数不是1的选项，因为只有这样的例子才能证明题干结论错误。首先明确：质数是只有1和自身两个因数的数，合数是除了1和自身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。接着逐个分析选项：A选项两个都是合数，B选项包含既非质数也非合数的1，均不符合前提；D选项的质数和合数最大公因数是1，无法反驳题干；只有C选项的质数2和合数10最大公因数是2，能证明题干错误。
【解析】
1. 明确相关概念：
质数：只有1和它本身两个因数的数；
合数：除了1和它本身还有其他因数的数；
1既不是质数，也不是合数。
2. 逐一分析选项：
A选项：27是合数，28是合数，两个都是合数，不符合“一个质数和一个合数”的条件，排除；
B选项：1既不是质数也不是合数，6是合数，不符合条件，排除；
C选项：2是质数，10是合数，它们的最大公因数是2，不是1，可证明题干说法错误；
D选项：3是质数，14是合数，它们的最大公因数是1，无法反驳题干，排除。
【答案】
C
【知识点】
质数与合数的定义、最大公因数的判断
【点评】
本题重点考查质数、合数的概念及最大公因数的应用，解题关键是先筛选出符合“一个质数和一个合数”的选项，再判断其最大公因数是否不为1，需准确区分质数、合数及1的特殊性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
要反驳题干中“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1”的说法，需分两步筛选选项：第一步，依据质数、合数的定义，先排除不符合“一个质数和一个合数”条件的选项；第二步，在符合条件的选项里，找出最大公因数不是1的选项，因为只有这样的例子才能证明题干结论错误。首先明确：质数是只有1和自身两个因数的数，合数是除了1和自身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。接着逐个分析选项：A选项两个都是合数，B选项包含既非质数也非合数的1，均不符合前提；D选项的质数和合数最大公因数是1，无法反驳题干；只有C选项的质数2和合数10最大公因数是2，能证明题干错误。
【解析】
1. 明确相关概念：
质数：只有1和它本身两个因数的数；
合数：除了1和它本身还有其他因数的数；
1既不是质数，也不是合数。
2. 逐一分析选项：
A选项：27是合数，28是合数，两个都是合数，不符合“一个质数和一个合数”的条件，排除；
B选项：1既不是质数也不是合数，6是合数，不符合条件，排除；
C选项：2是质数，10是合数，它们的最大公因数是2，不是1，可证明题干说法错误；
D选项：3是质数，14是合数，它们的最大公因数是1，无法反驳题干，排除。
【答案】
C
【知识点】
质数与合数的定义、最大公因数的判断
【点评】
本题重点考查质数、合数的概念及最大公因数的应用，解题关键是先筛选出符合“一个质数和一个合数”的选项，再判断其最大公因数是否不为1，需准确区分质数、合数及1的特殊性，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6
(3)如果$a÷ b=7$,那么$a$和$b$的最大公因数是(
A.1
B.$a$
C.$b$
D.7
智慧加油站
C
);如果$a-b=1$,那么$a$和$b$的最大公因数是(A
)。($a$、$b$均是非零自然数)A.1
B.$a$
C.$b$
D.7
智慧加油站
答案
(3)C A
解析解题关键是从算式中抽出字母之间的关系。根据$a÷b=7$，可知a是b的倍数，因此a和b 的最大公因数是a和b中较小的数b。
根据$a - b = 1$，可知a和b是相邻自然数，因此a和b的最大公因数是1。
解析解题关键是从算式中抽出字母之间的关系。根据$a÷b=7$，可知a是b的倍数，因此a和b 的最大公因数是a和b中较小的数b。
根据$a - b = 1$，可知a和b是相邻自然数，因此a和b的最大公因数是1。
解析
【分析】
这道题需要分两种情况分析，先根据算式判断a和b的关系，再利用最大公因数的相关规律求解。
1. 对于$a÷b=7$（a、b是非零自然数），可知a是b的倍数，根据“当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数”，所以要找a和b中较小的数，也就是b。
2. 对于$a-b=1$，可知a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数是互质数，互质数的最大公因数是1。
【解析】
1. 当$a÷b=7$（a、b均为非零自然数）时，说明a是b的倍数，根据两个数成倍数关系时，最大公因数为较小数的规律，a和b中较小的数是b，所以它们的最大公因数是b，对应选项C。
2. 当$a-b=1$时，a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1，所以它们的最大公因数是1，对应选项A。
【答案】
C；A
【知识点】
倍数关系求最大公因数、互质数的最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数的相关规律应用，解题关键是从给定算式中准确判断出a和b的数量关系，再运用对应的最大公因数规律得出结果，属于基础题型，有助于巩固对最大公因数概念的理解。
【难度系数】
0.8
这道题需要分两种情况分析，先根据算式判断a和b的关系，再利用最大公因数的相关规律求解。
1. 对于$a÷b=7$（a、b是非零自然数），可知a是b的倍数，根据“当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数”，所以要找a和b中较小的数，也就是b。
2. 对于$a-b=1$，可知a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数是互质数，互质数的最大公因数是1。
【解析】
1. 当$a÷b=7$（a、b均为非零自然数）时，说明a是b的倍数，根据两个数成倍数关系时，最大公因数为较小数的规律，a和b中较小的数是b，所以它们的最大公因数是b，对应选项C。
2. 当$a-b=1$时，a和b是相邻的非零自然数，相邻的非零自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1，所以它们的最大公因数是1，对应选项A。
【答案】
C；A
【知识点】
倍数关系求最大公因数、互质数的最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数的相关规律应用，解题关键是从给定算式中准确判断出a和b的数量关系，再运用对应的最大公因数规律得出结果，属于基础题型，有助于巩固对最大公因数概念的理解。
【难度系数】
0.8
6我们可以用短除法分解质因数,来求两个数的最大公因数,如下图。
(1)请你按照上面的“简便写法”分别求出下面三组数的最大公因数。
12和30 60和100 12、18和24
(2)已知$A=2×3×3×5$,$B=2×3×5×7$。你能求出$A$和$B$的最大公因数吗? 算一算。
(1)请你按照上面的“简便写法”分别求出下面三组数的最大公因数。
12和30 60和100 12、18和24
(2)已知$A=2×3×3×5$,$B=2×3×5×7$。你能求出$A$和$B$的最大公因数吗? 算一算。
答案
$6. (1)$
$12$和$30$的最大公因数$:2×3=6。$
$60$和$100$的最大公因数$:2×2×5=20。$
$12、$$18$和$24$的最大公因数$:2×3=6。$
$(2)A$和$B$公有的质因数有$2,3,5。$
$A$和$B$的最大公因数$:2×3×5=30。$
答：$A$和$B$的最大公因数是$30。$
解析$(1)$按照题中的$“$简便写法$”$求两个数的最大公因数，左侧的数都是两个数公有的质因数，要除到两个商只有公因数$1$为止，然后将这些公有的质因数相乘，即为两个数的最大公因数。
同理，可求出三个数的最大公因数。
$(2)$本题呈现了另一种分解质因数的方式，$A、$$B $的质因数中相同的部分即为它们公有的质因数。
$12$和$30$的最大公因数$:2×3=6。$
$60$和$100$的最大公因数$:2×2×5=20。$
$12、$$18$和$24$的最大公因数$:2×3=6。$
$(2)A$和$B$公有的质因数有$2,3,5。$
$A$和$B$的最大公因数$:2×3×5=30。$
答：$A$和$B$的最大公因数是$30。$
解析$(1)$按照题中的$“$简便写法$”$求两个数的最大公因数，左侧的数都是两个数公有的质因数，要除到两个商只有公因数$1$为止，然后将这些公有的质因数相乘，即为两个数的最大公因数。
同理，可求出三个数的最大公因数。
$(2)$本题呈现了另一种分解质因数的方式，$A、$$B $的质因数中相同的部分即为它们公有的质因数。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，求两个或三个数的最大公因数，可采用短除法的简便写法：先用几个数公有的质因数依次去除，直到除得的商只有公因数1（三个数需商两两互质），再把所有用来除的公有质因数相乘，结果就是它们的最大公因数。
2. 对于第(2)问，已知两个数分解质因数的形式，最大公因数就是这两个数公有的质因数的乘积，只需找出A和B中相同的质因数，再将它们相乘即可。
【解析】
(1) ① 求12和30的最大公因数：
用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\ \ 30}\end{array}$，得到商6和15；
再用公有的质因数3除：$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {6\ \ 15}\end{array}$，得到商2和5，此时2和5只有公因数1；
将公有质因数相乘：$2×3=6$，即12和30的最大公因数是6。
② 求60和100的最大公因数：
用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {60\ \ 100}\end{array}$，得到商30和50；
再用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {30\ \ 50}\end{array}$，得到商15和25；
再用公有的质因数5除：$\begin{array}{r} 5\enclose{longdiv} {15\ \ 25}\end{array}$，得到商3和5，此时3和5只有公因数1；
将公有质因数相乘：$2×2×5=20$，即60和100的最大公因数是20。
③ 求12、18和24的最大公因数：
用三个数公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\ \ 18\ \ 24}\end{array}$，得到商6、9和12；
再用三个数公有的质因数3除：$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {6\ \ \ 9\ \ 12}\end{array}$，得到商2、3和4，此时2、3、4两两互质；
将公有质因数相乘：$2×3=6$，即12、18和24的最大公因数是6。
(2) 观察$A=2×3×3×5$和$B=2×3×5×7$，可知A和B公有的质因数是2、3、5；
将这些公有质因数相乘：$2×3×5=30$，即A和B的最大公因数是30。
【答案】
(1) 12和30的最大公因数是6；60和100的最大公因数是20；12、18和24的最大公因数是6。
(2) A和B的最大公因数是30。
【知识点】
短除法求最大公因数、分解质因数求最大公因数
【点评】
本题主要考查最大公因数的求法，核心是找准几个数公有的质因数，无论是短除法还是直接利用分解质因数的结果，都是通过公有质因数的乘积得到最大公因数，需注意多个数的最大公因数是所有数共有的质因数的乘积。
【难度系数】
0.8
1. 对于第(1)问，求两个或三个数的最大公因数，可采用短除法的简便写法：先用几个数公有的质因数依次去除，直到除得的商只有公因数1（三个数需商两两互质），再把所有用来除的公有质因数相乘，结果就是它们的最大公因数。
2. 对于第(2)问，已知两个数分解质因数的形式，最大公因数就是这两个数公有的质因数的乘积，只需找出A和B中相同的质因数，再将它们相乘即可。
【解析】
(1) ① 求12和30的最大公因数：
用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\ \ 30}\end{array}$，得到商6和15；
再用公有的质因数3除：$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {6\ \ 15}\end{array}$，得到商2和5，此时2和5只有公因数1；
将公有质因数相乘：$2×3=6$，即12和30的最大公因数是6。
② 求60和100的最大公因数：
用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {60\ \ 100}\end{array}$，得到商30和50；
再用公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {30\ \ 50}\end{array}$，得到商15和25；
再用公有的质因数5除：$\begin{array}{r} 5\enclose{longdiv} {15\ \ 25}\end{array}$，得到商3和5，此时3和5只有公因数1；
将公有质因数相乘：$2×2×5=20$，即60和100的最大公因数是20。
③ 求12、18和24的最大公因数：
用三个数公有的质因数2除：$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\ \ 18\ \ 24}\end{array}$，得到商6、9和12；
再用三个数公有的质因数3除：$\begin{array}{r} 3\enclose{longdiv} {6\ \ \ 9\ \ 12}\end{array}$，得到商2、3和4，此时2、3、4两两互质；
将公有质因数相乘：$2×3=6$，即12、18和24的最大公因数是6。
(2) 观察$A=2×3×3×5$和$B=2×3×5×7$，可知A和B公有的质因数是2、3、5；
将这些公有质因数相乘：$2×3×5=30$，即A和B的最大公因数是30。
【答案】
(1) 12和30的最大公因数是6；60和100的最大公因数是20；12、18和24的最大公因数是6。
(2) A和B的最大公因数是30。
【知识点】
短除法求最大公因数、分解质因数求最大公因数
【点评】
本题主要考查最大公因数的求法，核心是找准几个数公有的质因数，无论是短除法还是直接利用分解质因数的结果，都是通过公有质因数的乘积得到最大公因数，需注意多个数的最大公因数是所有数共有的质因数的乘积。
【难度系数】
0.8
