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9. 一快递员需要在规定的时间内骑摩托车把快递送到某地。若每小时行驶 40 km，就早到 12 min；若每小时行驶 30 km，就会迟到 8 min。设快递员所要骑行的路程为 $x$ km，则可列方程为
$\frac{x}{40} + \frac{12}{60} = \frac{x}{30} - \frac{8}{60}$
。答案
9. $\frac{x}{40} + \frac{12}{60} = \frac{x}{30} - \frac{8}{60}$
解析
【分析】
我们首先要找到题目中固定不变的量，也就是快递员的规定送达时间，这是列方程的核心等量关系。已知设骑行路程为$x\ \mathrm{km}$，结合行程问题基本公式：时间=路程÷速度来推导：第一种情况速度为40km/h时早到12分钟，说明实际行驶时间比规定时间少12分钟，反过来规定时间就等于40km/h走完全程的时间加上少花的12分钟；第二种情况速度为30km/h时迟到8分钟，说明实际行驶时间比规定时间多8分钟，反过来规定时间就等于30km/h走完全程的时间减去多花的8分钟。注意速度单位是km每小时，必须把分钟统一换算成小时，最后让两个表示规定时间的式子相等，就能列出对应方程。
【解析】
解：第一步先统一时间单位，将分钟换算为小时，和速度的时间单位保持一致：
$12\ \mathrm{min} = \frac{12}{60}\ \mathrm{h}$，$8\ \mathrm{min} = \frac{8}{60}\ \mathrm{h}$
1. 速度为40km/h时，全程行驶时间为$\frac{x}{40}\ \mathrm{h}$，因为早到12min，因此规定时间可表示为：$(\frac{x}{40} + \frac{12}{60})\ \mathrm{h}$
2. 速度为30km/h时，全程行驶时间为$\frac{x}{30}\ \mathrm{h}$，因为迟到8min，因此规定时间可表示为：$(\frac{x}{30} - \frac{8}{60})\ \mathrm{h}$
由于规定送达时间是固定值，两个表达式等价，因此可列方程。
【答案】
$\frac{x}{40} + \frac{12}{60} = \frac{x}{30} - \frac{8}{60}$
【知识点】
行程问题等量关系；时间单位换算；一元一次方程列法
【点评】
本题核心是抓住“规定送达时间不变”的隐藏等量关系，最容易出错的地方是忽略速度的时间单位是小时，直接把12、8分钟代入方程导致单位不匹配出错，属于基础行程类列方程题型，重点考察学生对行程公式的应用和单位统一的解题习惯。
【难度系数】
0.6
我们首先要找到题目中固定不变的量，也就是快递员的规定送达时间，这是列方程的核心等量关系。已知设骑行路程为$x\ \mathrm{km}$，结合行程问题基本公式：时间=路程÷速度来推导：第一种情况速度为40km/h时早到12分钟，说明实际行驶时间比规定时间少12分钟，反过来规定时间就等于40km/h走完全程的时间加上少花的12分钟；第二种情况速度为30km/h时迟到8分钟，说明实际行驶时间比规定时间多8分钟，反过来规定时间就等于30km/h走完全程的时间减去多花的8分钟。注意速度单位是km每小时，必须把分钟统一换算成小时，最后让两个表示规定时间的式子相等，就能列出对应方程。
【解析】
解：第一步先统一时间单位，将分钟换算为小时，和速度的时间单位保持一致：
$12\ \mathrm{min} = \frac{12}{60}\ \mathrm{h}$，$8\ \mathrm{min} = \frac{8}{60}\ \mathrm{h}$
1. 速度为40km/h时，全程行驶时间为$\frac{x}{40}\ \mathrm{h}$，因为早到12min，因此规定时间可表示为：$(\frac{x}{40} + \frac{12}{60})\ \mathrm{h}$
2. 速度为30km/h时，全程行驶时间为$\frac{x}{30}\ \mathrm{h}$，因为迟到8min，因此规定时间可表示为：$(\frac{x}{30} - \frac{8}{60})\ \mathrm{h}$
由于规定送达时间是固定值，两个表达式等价，因此可列方程。
【答案】
$\frac{x}{40} + \frac{12}{60} = \frac{x}{30} - \frac{8}{60}$
【知识点】
行程问题等量关系；时间单位换算；一元一次方程列法
【点评】
本题核心是抓住“规定送达时间不变”的隐藏等量关系，最容易出错的地方是忽略速度的时间单位是小时，直接把12、8分钟代入方程导致单位不匹配出错，属于基础行程类列方程题型，重点考察学生对行程公式的应用和单位统一的解题习惯。
【难度系数】
0.6
10. 已知 $mx^2 + (m + 1)x = 1$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $m =$
0
。答案
10. 0
解析
因为方程$mx^2 + (m + 1)x = 1$是关于$x$的一元一次方程，所以二次项系数必须为$0$，即$m = 0$，此时一次项系数为$m + 1 = 0 + 1 = 1 ≠ 0$，满足一元一次方程的定义。故$m = 0$。
11. 已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $ax + b = 4$ 的解，求代数式 $(2a + b)^2 + 3(2a + b) - 1$ 的值。
答案
11. 解：把 $x = 2$ 代入方程 $ax + b = 4$，得 $2a + b = 4$，
所以 $(2a + b)^2 + 3(2a + b) - 1 = 4^2 + 3×4 - 1 = 27$。
所以 $(2a + b)^2 + 3(2a + b) - 1 = 4^2 + 3×4 - 1 = 27$。
解析
【分析】
首先我们要明确方程的解的性质：将方程的解代入原方程，等式左右两边完全相等。题目已知x=2是方程ax+b=4的解，第一步就可以把x=2代入该方程，直接得到2a+b=4的结果。再观察待求的代数式，所有含未知量的部分都是2a+b，完全不需要单独计算a和b的具体数值，直接把2a+b=4作为一个整体代入待求式，就能快速算出结果，省去多余的运算步骤。
【解析】
解：
1. 把x=2代入一元一次方程ax + b = 4，可得：
$2a + b = 4$
2. 将$2a + b = 4$整体代入代数式$(2a + b)^2 + 3(2a + b) - 1$中计算：
$\begin{aligned}原式&=4^2 + 3×4 -1\\&=16 + 12 -1\\&=27\end{aligned}$
【答案】27
【知识点】方程的解，整体代入求值
【点评】本题是代数式求值的基础题型，核心考察整体代换的数学思想，不需要单独求解参数a、b的具体数值，通过方程解的性质直接获取代数式中重复出现的整体的值，简化了计算流程，引导学生建立整体看待代数式的思维，避免走入强行求解单个参数的误区。
【难度系数】0.8
首先我们要明确方程的解的性质：将方程的解代入原方程，等式左右两边完全相等。题目已知x=2是方程ax+b=4的解，第一步就可以把x=2代入该方程，直接得到2a+b=4的结果。再观察待求的代数式，所有含未知量的部分都是2a+b，完全不需要单独计算a和b的具体数值，直接把2a+b=4作为一个整体代入待求式，就能快速算出结果，省去多余的运算步骤。
【解析】
解：
1. 把x=2代入一元一次方程ax + b = 4，可得：
$2a + b = 4$
2. 将$2a + b = 4$整体代入代数式$(2a + b)^2 + 3(2a + b) - 1$中计算：
$\begin{aligned}原式&=4^2 + 3×4 -1\\&=16 + 12 -1\\&=27\end{aligned}$
【答案】27
【知识点】方程的解，整体代入求值
【点评】本题是代数式求值的基础题型，核心考察整体代换的数学思想，不需要单独求解参数a、b的具体数值，通过方程解的性质直接获取代数式中重复出现的整体的值，简化了计算流程，引导学生建立整体看待代数式的思维，避免走入强行求解单个参数的误区。
【难度系数】0.8
12. 已知 $(k - 1)x^{|k|} + 5 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程。
(1) 求 $k$ 的值，并写出这个方程；
(2) 判断 $x = 1$，$x = 2.5$ 是否是这个方程的解。
(1) 求 $k$ 的值，并写出这个方程；
(2) 判断 $x = 1$，$x = 2.5$ 是否是这个方程的解。
答案
12. 解：(1) 因为 $(k - 1)x^{|k|} + 5 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，所以 $|k| = 1$，且 $k - 1 ≠ 0$，所以 $k = -1$。
(2) 由(1)知，一元一次方程为 $-2x + 5 = 0$。
把 $x = 1$ 代入方程 $-2x + 5 = 0$ 中，可得 $-2 + 5 = 3 ≠ 0$，
所以 $x = 1$ 不是方程的解；
把 $x = 2.5$ 代入方程 $-2x + 5 = 0$ 中，可得 $-5 + 5 = 0$，
所以 $x = 2.5$ 是这个方程的解。
(2) 由(1)知，一元一次方程为 $-2x + 5 = 0$。
把 $x = 1$ 代入方程 $-2x + 5 = 0$ 中，可得 $-2 + 5 = 3 ≠ 0$，
所以 $x = 1$ 不是方程的解；
把 $x = 2.5$ 代入方程 $-2x + 5 = 0$ 中，可得 $-5 + 5 = 0$，
所以 $x = 2.5$ 是这个方程的解。
解析
【分析】
这道题的解题思路分两部分推进：第一问求k的值，首先紧扣一元一次方程的核心定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且未知数的一次项系数不能为0。先根据未知数次数为1得到|k|=1，解出k的候选值为1和-1，再结合一次项系数不为0的条件k-1≠0，排除k=1的情况，就能得到k的正确取值，代入原式即可写出对应的一元一次方程。第二问判断x是否为方程的解，只需把待检验的x值代入方程左侧计算结果，和方程右侧的0对比，相等就是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
(1) 已知$(k - 1)x^{|k|} + 5 = 0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得两个约束条件：
① 未知数x的次数为1，即$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$；
② 一次项系数不为0，即$k-1≠0$，也就是$k≠1$；
综合两个条件可得$k=-1$，将$k=-1$代入原式，得到对应的方程为$(-1-1)x +5=0$，化简得$-2x+5=0$。
(2) 按代入检验法判断方程的解：
把$x=1$代入方程$-2x+5=0$的左侧，计算得：$-2×1 +5 = 3$，$3≠0$，和方程右侧不相等，因此$x=1$不是该方程的解；
把$x=2.5$代入方程$-2x+5=0$的左侧，计算得：$-2×2.5 +5 = -5+5=0$，和方程右侧相等，因此$x=2.5$是该方程的解。
【答案】
(1) $k=-1$，对应的一元一次方程为$-2x+5=0$；(2) $x=1$不是该方程的解，$x=2.5$是该方程的解。
【知识点】
一元一次方程定义，方程的解的检验
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础题型，核心考察一元一次方程的定义，最常见的易错点是遗漏“一次项系数不能为0”的限制条件，直接由$|k|=1$得到k=±1的错误结果，后续的解的检验操作是方程类题目的基础必备技能，能帮助学生加深对方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路分两部分推进：第一问求k的值，首先紧扣一元一次方程的核心定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且未知数的一次项系数不能为0。先根据未知数次数为1得到|k|=1，解出k的候选值为1和-1，再结合一次项系数不为0的条件k-1≠0，排除k=1的情况，就能得到k的正确取值，代入原式即可写出对应的一元一次方程。第二问判断x是否为方程的解，只需把待检验的x值代入方程左侧计算结果，和方程右侧的0对比，相等就是方程的解，不相等就不是方程的解。
【解析】
(1) 已知$(k - 1)x^{|k|} + 5 = 0$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得两个约束条件：
① 未知数x的次数为1，即$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$；
② 一次项系数不为0，即$k-1≠0$，也就是$k≠1$；
综合两个条件可得$k=-1$，将$k=-1$代入原式，得到对应的方程为$(-1-1)x +5=0$，化简得$-2x+5=0$。
(2) 按代入检验法判断方程的解：
把$x=1$代入方程$-2x+5=0$的左侧，计算得：$-2×1 +5 = 3$，$3≠0$，和方程右侧不相等，因此$x=1$不是该方程的解；
把$x=2.5$代入方程$-2x+5=0$的左侧，计算得：$-2×2.5 +5 = -5+5=0$，和方程右侧相等，因此$x=2.5$是该方程的解。
【答案】
(1) $k=-1$，对应的一元一次方程为$-2x+5=0$；(2) $x=1$不是该方程的解，$x=2.5$是该方程的解。
【知识点】
一元一次方程定义，方程的解的检验
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础题型，核心考察一元一次方程的定义，最常见的易错点是遗漏“一次项系数不能为0”的限制条件，直接由$|k|=1$得到k=±1的错误结果，后续的解的检验操作是方程类题目的基础必备技能，能帮助学生加深对方程解的概念的理解。
【难度系数】
0.8
