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11.矩形的周长是8 cm，设一边长为x cm，与其相邻的另一边长为y cm.求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
答案
解:由 $2x+2y=8$ 得 $y=4-x(0＜x＜4)$.
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的周长计算公式，结合题目给出的周长数值，先列出包含x、y的周长等式，再通过等式变形得到y关于x的函数解析式；接下来要结合实际意义确定自变量x的取值范围：矩形的边长必须为正数，因此x本身要大于0，和x相邻的边长y也要大于0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知矩形的周长为8cm，根据矩形周长公式：周长=2×(长+宽)，代入边长x、y可得：
$2(x + y) = 8$
等式两边同时除以2，得：
$x + y = 4$
移项整理得y关于x的函数解析式：$y = 4 - x$
再根据矩形边长为正的实际意义，可得：
$\begin{cases}x ＞ 0 \\y = 4 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$4 - x ＞ 0$，得$x ＜ 4$
因此自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 4$
【答案】
$y=4-x(0＜x＜4)$
【知识点】
矩形周长计算；函数解析式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是熟练掌握矩形周长公式，同时要注意结合几何图形的实际意义，不能忽略边长为正的隐含条件，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆矩形的周长计算公式，结合题目给出的周长数值，先列出包含x、y的周长等式，再通过等式变形得到y关于x的函数解析式；接下来要结合实际意义确定自变量x的取值范围：矩形的边长必须为正数，因此x本身要大于0，和x相邻的边长y也要大于0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知矩形的周长为8cm，根据矩形周长公式：周长=2×(长+宽)，代入边长x、y可得：
$2(x + y) = 8$
等式两边同时除以2，得：
$x + y = 4$
移项整理得y关于x的函数解析式：$y = 4 - x$
再根据矩形边长为正的实际意义，可得：
$\begin{cases}x ＞ 0 \\y = 4 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$4 - x ＞ 0$，得$x ＜ 4$
因此自变量x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 4$
【答案】
$y=4-x(0＜x＜4)$
【知识点】
矩形周长计算；函数解析式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是熟练掌握矩形周长公式，同时要注意结合几何图形的实际意义，不能忽略边长为正的隐含条件，避免自变量取值范围求解错误。
【难度系数】
0.9
12.已知 $ y = y_1 + y_2 $，其中 $ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x-1 $ 成正比例.当 $ x=-1 $ 时，$ y=2 $；当 $ x=2 $ 时，$ y=5 $.求当 $ x=3 $ 时，$ y $ 的值.
答案
解:$\because y_1$ 与 $x$ 成正比例，
$\therefore$ 可设 $y_1=k_1x$.
$\because y_2$ 与 $x-1$ 成正比例，
$\therefore y_2=k_2(x-1)$.
$\because y=y_1+y_2$,
$\therefore y=k_1x+k_2(x-1)$.
$\because$ 当 $x=-1$ 时,$y=2$ 且当 $x=2$ 时,$y=5$,
$\therefore \begin{cases}-k_1-2k_2=2,\\2k_1+k_2=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-3.\end{cases}$
$\therefore y=4x-3(x-1)$,即 $y=x+3$,
$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=6$.
$\therefore$ 可设 $y_1=k_1x$.
$\because y_2$ 与 $x-1$ 成正比例，
$\therefore y_2=k_2(x-1)$.
$\because y=y_1+y_2$,
$\therefore y=k_1x+k_2(x-1)$.
$\because$ 当 $x=-1$ 时,$y=2$ 且当 $x=2$ 时,$y=5$,
$\therefore \begin{cases}-k_1-2k_2=2,\\2k_1+k_2=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=4,\\k_2=-3.\end{cases}$
$\therefore y=4x-3(x-1)$,即 $y=x+3$,
$\therefore$ 当 $x=3$ 时,$y=6$.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例的定义：若两个量成正比例关系，则可表示为“因变量=比例系数×自变量”的形式。本题中y由两部分组成，第一步分别对y₁、y₂按照正比例关系设表达式，注意两个比例系数要区分开，设为不同的未知数；第二步将两个表达式代入y=y₁+y₂，得到y与x的含未知系数的关系式；第三步把题目给出的两组x、y的对应值代入关系式，得到二元一次方程组，解方程组求出两个比例系数；第四步将系数代回得到y与x的确定解析式，最后把x=3代入解析式即可求出对应的y值。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，
$\therefore$可设$y_1=k_1x$（$k_1\ne0$），
$\because y_2$与$x-1$成正比例，
$\therefore$可设$y_2=k_2(x-1)$（$k_2\ne0$），
又$\because y=y_1+y_2$，
$\therefore y=k_1x + k_2(x-1)$。
将$x=-1$，$y=2$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1-2k_2=2\\2k_1+k_2=5\end{cases}$
解这个方程组：
由第二个方程得$k_2=5-2k_1$，代入第一个方程，得$-k_1-2(5-2k_1)=2$，解得$k_1=4$，再代入得$k_2=-3$，即$\begin{cases}k_1=4\\k_2=-3\end{cases}$。
将$k_1$、$k_2$代入$y$的表达式，得$y=4x-3(x-1)$，化简得$y=x+3$。
当$x=3$时，$y=3+3=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
正比例的定义，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是正比例概念与方程结合的基础综合题，解题核心是准确根据正比例关系设出含不同比例系数的表达式，再利用已知条件列方程组求解，需要注意两个正比例关系的比例系数不能混淆为同一个值，这类题型是后续学习函数的重要基础，应熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正比例的定义：若两个量成正比例关系，则可表示为“因变量=比例系数×自变量”的形式。本题中y由两部分组成，第一步分别对y₁、y₂按照正比例关系设表达式，注意两个比例系数要区分开，设为不同的未知数；第二步将两个表达式代入y=y₁+y₂，得到y与x的含未知系数的关系式；第三步把题目给出的两组x、y的对应值代入关系式，得到二元一次方程组，解方程组求出两个比例系数；第四步将系数代回得到y与x的确定解析式，最后把x=3代入解析式即可求出对应的y值。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，
$\therefore$可设$y_1=k_1x$（$k_1\ne0$），
$\because y_2$与$x-1$成正比例，
$\therefore$可设$y_2=k_2(x-1)$（$k_2\ne0$），
又$\because y=y_1+y_2$，
$\therefore y=k_1x + k_2(x-1)$。
将$x=-1$，$y=2$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}-k_1-2k_2=2\\2k_1+k_2=5\end{cases}$
解这个方程组：
由第二个方程得$k_2=5-2k_1$，代入第一个方程，得$-k_1-2(5-2k_1)=2$，解得$k_1=4$，再代入得$k_2=-3$，即$\begin{cases}k_1=4\\k_2=-3\end{cases}$。
将$k_1$、$k_2$代入$y$的表达式，得$y=4x-3(x-1)$，化简得$y=x+3$。
当$x=3$时，$y=3+3=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
正比例的定义，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是正比例概念与方程结合的基础综合题，解题核心是准确根据正比例关系设出含不同比例系数的表达式，再利用已知条件列方程组求解，需要注意两个正比例关系的比例系数不能混淆为同一个值，这类题型是后续学习函数的重要基础，应熟练掌握。
【难度系数】
0.7
13.标准大气压下,声音在空气中的传播速度v(单位:m/s)与温度t(单位:℃)之间的函数解析式是$v=331+0.6t$.
(1)画出此函数的图象;
(2)求当$t=-5\ ℃$时声音的传播速度;
(3)当声音传播的速度是$340\ m/s$时,温度是多少?
(1)画出此函数的图象;
(2)求当$t=-5\ ℃$时声音的传播速度;
(3)当声音传播的速度是$340\ m/s$时,温度是多少?
答案
解:(1)图象如图所示.
(2)当 $t=-5$ 时,$v=331+0.6×(-5)=328(\mathrm{m/s})$.
所以当 $t=-5\ ℃$ 时,声音的传播速度是 328 m/s.
(3)当 $v=340$ 时,$331+0.6t=340$,解得$t=15$.
所以当声音传播的速度是 340 m/s 时,温度是 $15\ ℃$.
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 画一次函数图象：一次函数的图象是直线，只需找到2组满足解析式的对应值确定两个点，描点连线即可，本题可选取计算简便的t=0和t=5对应的点，和题目给出的图象对应；
2. 求t=-5℃时的声速：属于已知自变量的值求函数值，直接将t=-5代入函数解析式计算即可得到v的值；
3. 已知声速求温度：属于已知函数值求自变量的值，将v=340代入解析式，得到关于t的一元一次方程，解方程即可得到t的值。
【解析】
(1) 函数$v=331+0.6t$是一次函数，图象为直线：
① 取点：当$t=0$时，$v=331$，对应点$(0,331)$；当$t=5$时，$v=331+0.6×5=334$，对应点$(5,334)$；
② 在平面直角坐标系中描出上述两个点，过两点画直线，即为该函数的图象。
(2) 将$t=-5$代入解析式$v=331+0.6t$：
$v=331+0.6×(-5)=331-3=328\ \mathrm{m/s}$
(3) 将$v=340$代入解析式$v=331+0.6t$，得方程：
$331+0.6t=340$
移项得：$0.6t=9$
解得：$t=15$
【答案】
(1) 图象如图所示.
(2) 当$t=-5\ ℃$时声音的传播速度是 328 m/s；
(3) 当声音传播的速度是 340 m/s时，温度是$15\ ℃$.
【知识点】
一次函数的图象；一次函数求值；一元一次方程解法
【点评】
本题结合声速的生活实际场景考查一次函数的基础应用，核心是掌握一次函数中自变量和函数值的对应关系，代入计算时注意符号，解方程时运算要准确。
【难度系数】
0.85
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
1. 画一次函数图象：一次函数的图象是直线，只需找到2组满足解析式的对应值确定两个点，描点连线即可，本题可选取计算简便的t=0和t=5对应的点，和题目给出的图象对应；
2. 求t=-5℃时的声速：属于已知自变量的值求函数值，直接将t=-5代入函数解析式计算即可得到v的值；
3. 已知声速求温度：属于已知函数值求自变量的值，将v=340代入解析式，得到关于t的一元一次方程，解方程即可得到t的值。
【解析】
(1) 函数$v=331+0.6t$是一次函数，图象为直线：
① 取点：当$t=0$时，$v=331$，对应点$(0,331)$；当$t=5$时，$v=331+0.6×5=334$，对应点$(5,334)$；
② 在平面直角坐标系中描出上述两个点，过两点画直线，即为该函数的图象。
(2) 将$t=-5$代入解析式$v=331+0.6t$：
$v=331+0.6×(-5)=331-3=328\ \mathrm{m/s}$
(3) 将$v=340$代入解析式$v=331+0.6t$，得方程：
$331+0.6t=340$
移项得：$0.6t=9$
解得：$t=15$
【答案】
(1) 图象如图所示.
(2) 当$t=-5\ ℃$时声音的传播速度是 328 m/s；
(3) 当声音传播的速度是 340 m/s时，温度是$15\ ℃$.
【知识点】
一次函数的图象；一次函数求值；一元一次方程解法
【点评】
本题结合声速的生活实际场景考查一次函数的基础应用，核心是掌握一次函数中自变量和函数值的对应关系，代入计算时注意符号，解方程时运算要准确。
【难度系数】
0.85
14.已知一次函数$y=mx+|m+1|$的图象与y轴交于点(0,3)，且y值随x值的增大而增大，求m的值.
答案
解:由一次函数 $y=mx+|m+1|$ 的图象与 $y$ 轴交于点$(0,3)$,把 $x=0,y=3$ 代入 $y=mx+|m+1|$ 得 $m=2$ 或 $-4$. 又由 $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大,得 $m＞0$,所以 $m=2$.
解析
【分析】
解题时先从题目给出的两个已知条件入手：①函数图象过点(0,3)，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可将点坐标代入函数式得到关于m的绝对值方程，求解得到m的两个可能取值；②y随x的增大而增大，根据一次函数的增减性规律，一次项系数大于0时满足该性质，据此对求出的m的取值进行筛选，即可得到最终符合要求的m值。
【解析】
第一步：将点(0,3)代入一次函数解析式$y=mx+|m+1|$，
当$x=0$，$y=3$时，可得：
$3 = m×0 + |m+1|$
即$|m+1|=3$
根据绝对值的性质，得：
$m+1=3$ 或 $m+1=-3$
分别解得：$m=2$ 或 $m=-4$
第二步：根据一次函数的增减性，$y$值随$x$值的增大而增大时，一次项系数$m＞0$，
因此$m=-4$不符合要求，舍去，
综上，$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征；绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数参数求解的基础题型，需要同时结合点坐标特征和函数增减性两个条件确定参数，解题时要注意不要遗漏增减性对一次项系数的限制，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先从题目给出的两个已知条件入手：①函数图象过点(0,3)，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可将点坐标代入函数式得到关于m的绝对值方程，求解得到m的两个可能取值；②y随x的增大而增大，根据一次函数的增减性规律，一次项系数大于0时满足该性质，据此对求出的m的取值进行筛选，即可得到最终符合要求的m值。
【解析】
第一步：将点(0,3)代入一次函数解析式$y=mx+|m+1|$，
当$x=0$，$y=3$时，可得：
$3 = m×0 + |m+1|$
即$|m+1|=3$
根据绝对值的性质，得：
$m+1=3$ 或 $m+1=-3$
分别解得：$m=2$ 或 $m=-4$
第二步：根据一次函数的增减性，$y$值随$x$值的增大而增大时，一次项系数$m＞0$，
因此$m=-4$不符合要求，舍去，
综上，$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征；绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数参数求解的基础题型，需要同时结合点坐标特征和函数增减性两个条件确定参数，解题时要注意不要遗漏增减性对一次项系数的限制，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
15.如图，直线AB过点A(-1,5)，P(2,a)，B(3,-3)。
(1)求直线AB的函数解析式和a的值；
(2)直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D，请写出点C，D的坐标；
(3)求△AOP的面积。
(1)求直线AB的函数解析式和a的值；
(2)直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D，请写出点C，D的坐标；
(3)求△AOP的面积。
答案
解:(1)设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $A(-1,5),B(3,-3)$ 的坐标代入,
得 $\begin{cases}-k+b=5,\\3k+b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=-2x+3$.
把 $P(2,a)$ 代入 $y=-2x+3$,得
$a=-2×2+3=-1$,$\therefore a$ 的值是 $-1$.
(2)在 $y=-2x+3$ 中,令 $x=0$ 得 $y=3$,
$\therefore D(0,3)$.
在 $y=-2x+3$ 中,令 $y=0$ 得 $x=\frac{3}{2}$,
$\therefore C(\frac{3}{2},0)$.
(3)如图,
$\because D(0,3),A(-1,5),P(2,-1)$,
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$,$S_{△ POD}=\frac{1}{2}×3×2=3$,
$\therefore S_{△ AOP}=S_{△ AOD}+S_{△ POD}=\frac{9}{2}$,
$\therefore △ AOP$ 的面积为 $\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求直线的函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，将已知的A、B两点坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定解析式；再将点P的横坐标代入解析式，就能求出a的值。
(2) 直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，分别代入解析式求解对应的横、纵坐标，即可得到C、D两点的坐标。
(3) △AOP没有直接在坐标轴上的底和高，可通过割补法将其拆分为△AOD和△POD，两个三角形共底OD，高分别为点A横坐标的绝对值和点P的横坐标，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到△AOP的面积。
【解析】
(1) 设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$，
将 $A(-1,5),B(3,-3)$ 的坐标代入，
得 $\begin{cases}-k+b=5,\\3k+b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=-2x+3$。
把 $P(2,a)$ 代入 $y=-2x+3$，得
$a=-2×2+3=-1$，$\therefore a$ 的值是 $-1$。
(2) 在 $y=-2x+3$ 中，令 $x=0$ 得 $y=3$，
$\therefore D(0,3)$。
在 $y=-2x+3$ 中，令 $y=0$ 得 $x=\frac{3}{2}$，
$\therefore C(\frac{3}{2},0)$。
(3) 如图，
$\because D(0,3),A(-1,5),P(2,-1)$，
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$S_{△ POD}=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$\therefore S_{△ AOP}=S_{△ AOD}+S_{△ POD}=\frac{9}{2}$，
$\therefore △ AOP$ 的面积为 $\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 直线AB的函数解析式为$y=-2x+3$，$a=-1$；
(2) $C(\frac{3}{2},0)$，$D(0,3)$；
(3)△AOP的面积为$\frac{9}{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，覆盖了一次函数章节的核心常规考点，解题的关键是熟练掌握待定系数法的运算步骤，以及灵活使用割补法简化坐标系内不规则图形的面积计算，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线的函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，将已知的A、B两点坐标代入得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定解析式；再将点P的横坐标代入解析式，就能求出a的值。
(2) 直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，分别代入解析式求解对应的横、纵坐标，即可得到C、D两点的坐标。
(3) △AOP没有直接在坐标轴上的底和高，可通过割补法将其拆分为△AOD和△POD，两个三角形共底OD，高分别为点A横坐标的绝对值和点P的横坐标，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到△AOP的面积。
【解析】
(1) 设直线 $AB$ 的解析式为 $y=kx+b$，
将 $A(-1,5),B(3,-3)$ 的坐标代入，
得 $\begin{cases}-k+b=5,\\3k+b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=-2x+3$。
把 $P(2,a)$ 代入 $y=-2x+3$，得
$a=-2×2+3=-1$，$\therefore a$ 的值是 $-1$。
(2) 在 $y=-2x+3$ 中，令 $x=0$ 得 $y=3$，
$\therefore D(0,3)$。
在 $y=-2x+3$ 中，令 $y=0$ 得 $x=\frac{3}{2}$，
$\therefore C(\frac{3}{2},0)$。
(3) 如图，
$\because D(0,3),A(-1,5),P(2,-1)$，
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$S_{△ POD}=\frac{1}{2}×3×2=3$，
$\therefore S_{△ AOP}=S_{△ AOD}+S_{△ POD}=\frac{9}{2}$，
$\therefore △ AOP$ 的面积为 $\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) 直线AB的函数解析式为$y=-2x+3$，$a=-1$；
(2) $C(\frac{3}{2},0)$，$D(0,3)$；
(3)
△AOP的面积为$\frac{9}{2}$。【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，覆盖了一次函数章节的核心常规考点，解题的关键是熟练掌握待定系数法的运算步骤，以及灵活使用割补法简化坐标系内不规则图形的面积计算，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
