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9. (1)如图①,∠AOB是钝角,OC,OD,OE是三条射线,若OC⊥OA,OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,那么∠DOE的度数为
(2)如图②,直线AB,CD相交于点O,射线OF垂直于OD,且OF平分∠AOE.若∠BOC + ∠EOF=210°,则∠DOE的度数为
45°
.(2)如图②,直线AB,CD相交于点O,射线OF垂直于OD,且OF平分∠AOE.若∠BOC + ∠EOF=210°,则∠DOE的度数为
30°
.答案
9. (1)45° 解析:设 ∠BOC = x°,则 ∠AOB = 90°+x°.因为 OD 平分 ∠AOB,所以 ∠BOD = $\frac{1}{2}$(90+x)°.因为 OE 平分 ∠BOC,所以 ∠BOE = $\frac{1}{2}$x°,所以 ∠DOE = ∠BOD-∠BOE = $\frac{1}{2}$(90+x)°-$\frac{1}{2}$x°=45°.
(2)30° 解析:因为 OF ⊥ CD,所以 ∠COF = ∠DOF = 90°,所以 ∠AOC+∠AOF = ∠DOE+∠EOF = 90°.因为 OF 平分 ∠AOE,所以 ∠AOF = ∠EOF,所以 ∠AOC = ∠DOE.因为 ∠AOC = ∠BOD,所以 ∠BOD = ∠DOE.设 ∠BOD = ∠DOE = x,所以 ∠EOF = 90°-x,∠BOC = 180°-x.因为 ∠BOC+∠EOF = 210°,所以 180°-x+90°-x = 210°,解得 x = 30°,所以 ∠DOE = 30°.
(2)30° 解析:因为 OF ⊥ CD,所以 ∠COF = ∠DOF = 90°,所以 ∠AOC+∠AOF = ∠DOE+∠EOF = 90°.因为 OF 平分 ∠AOE,所以 ∠AOF = ∠EOF,所以 ∠AOC = ∠DOE.因为 ∠AOC = ∠BOD,所以 ∠BOD = ∠DOE.设 ∠BOD = ∠DOE = x,所以 ∠EOF = 90°-x,∠BOC = 180°-x.因为 ∠BOC+∠EOF = 210°,所以 180°-x+90°-x = 210°,解得 x = 30°,所以 ∠DOE = 30°.
10. (1)已知$OA ⊥ OB$,垂足为点$O$,若$∠ AOC:∠ AOB=2:3$,则$∠ BOC=$
(2)(2026·上海期中)仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是$60°$,就称这两条直线互为“完美交线”,交点叫“完美点”.已知直线$AB,CD$互为“完美交线”,$O$为它们的“完美点”,$OE ⊥ AB$,则$∠ EOC$的度数为
30°或150°
.(2)(2026·上海期中)仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是$60°$,就称这两条直线互为“完美交线”,交点叫“完美点”.已知直线$AB,CD$互为“完美交线”,$O$为它们的“完美点”,$OE ⊥ AB$,则$∠ EOC$的度数为
30°或150°
.答案
10. (1)30°或150° 解析:如图,OC的位置有两种情况:一种是在∠AOB内,一种是在∠AOB外。
因为 OA ⊥ OB,所以 ∠AOB = 90°.因为 ∠AOC : ∠AOB = 2 : 3,所以 ∠AOC = $\frac{2}{3}$∠AOB = $\frac{2}{3}$×90° = 60°.①若 OC 在 ∠AOB 内,则 ∠BOC = 90°-∠AOC = 90°-60° = 30°;
②若 OC 在 ∠AOB 外,则 ∠BOC = 90°+∠AOC = 90°+60° = 150°.故答案为 30°或 150°.
(2)30°或150° 解析:如图①,当 OE 在直线 AB 的上方时,由题意可得 ∠BOC = 60°.因为 OE ⊥ AB,所以 ∠BOE = 90°,所以 ∠COE = ∠BOE-∠BOC = 90°-60° = 30°;
如图②,当 OE 在直线 AB 的下方时,由题意可得 ∠BOC = 60°.因为 OE ⊥ AB,所以 ∠BOE = 90°,所以 ∠COE = ∠BOE+∠BOC = 90°+60° = 150°.故答案为 30°或 150°.11. 如图①,OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线,OE平分∠AOC,沿顺时针方向作∠EOF,使得∠EOF=135°,以点O为端点引射线OD,使得OF是∠BOD的平分线.
(1)判断OC与OD的位置关系,并说明理由.
(2)如图②所示,若∠EOF=45°,OC与OD的位置关系是否发生变化?并说明理由.
(1)判断OC与OD的位置关系,并说明理由.
(2)如图②所示,若∠EOF=45°,OC与OD的位置关系是否发生变化?并说明理由.
答案
11. (1)OC ⊥ OD. 理由如下:因为 ∠BOE+∠AOE = 180°,∠BOE+∠BOF = 135°,所以 ∠AOE-∠BOF = 45°.又 OE 平分 ∠AOC,OF 平分 ∠BOD,所以 ∠COE-∠DOF = 45°,所以 ∠COD = ∠EOF-∠COE+∠DOF = 135°-45° = 90°,所以 OC ⊥ OD.
(2)OC 与 OD 的位置关系不变. 理由如下:因为 OE 平分 ∠AOC,OF 是 ∠BOD 的平分线,所以 $\frac{1}{2}$∠BOD+∠EOF+$\frac{1}{2}$∠AOC = 180°,所以 ∠BOD+∠AOC = 270°.因为 ∠AOD+∠DOC+∠BOC = 180°,∠AOD+∠BOC = 180°-∠BOD+180°-∠AOC = 360°-270° = 90°,所以 ∠COD = 90°,所以 OC ⊥ OD,所以 OC 与 OD 的位置关系不变.
(2)OC 与 OD 的位置关系不变. 理由如下:因为 OE 平分 ∠AOC,OF 是 ∠BOD 的平分线,所以 $\frac{1}{2}$∠BOD+∠EOF+$\frac{1}{2}$∠AOC = 180°,所以 ∠BOD+∠AOC = 270°.因为 ∠AOD+∠DOC+∠BOC = 180°,∠AOD+∠BOC = 180°-∠BOD+180°-∠AOC = 360°-270° = 90°,所以 ∠COD = 90°,所以 OC ⊥ OD,所以 OC 与 OD 的位置关系不变.
12.（广州中考）一副三角尺按如图所示的方式放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α（$0°＜α＜90°$），使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为
15°或60°
。答案
12. 15°或60° 解析:分三种情况讨论:①当 DE ⊥ BC 时,如图①,此时 ∠DHB = 90°.因为 ∠ADE = 45°,所以 ∠DGH = 180°-90°-45° = 45°,所以 ∠BGA = 45°.又 ∠CBA = 60°,由三角形的内角和为 180°,可得 ∠DAB = 180°-45°-60° = 75°,所以 ∠DAF = α = 90°-75° = 15°.②当 AD ⊥ BC 时,如图②,此时 ∠AGB = 90°.因为 ∠CBA = 60°,所以 ∠DAB = 90°-60° = 30°,所以 ∠DAC = α = 90°-30° = 60°.③当 AE ⊥ BC 时,如图③,此时 α＞90°,不符合题意,舍去.综上所述,α 的度数为 15°或 60°。
13.已知直线$CD ⊥ AB$于点$O$，$∠ EOF=90°$，射线$OP$平分$∠ COF$.
(1)如图①，$∠ EOF$在直线$CD$的右侧.
①若$∠ COE = 30°$，求$∠ BOF$和$∠ POE$的度数；
②请判断$∠ POE$与$∠ BOP$之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，$∠ EOF$在直线$CD$的左侧，且点$E$在点$F$的下方.
①请直接写出$∠ POE$与$∠ BOP$之间的数量关系；
②请直接写出$∠ POE$与$∠ DOP$之间的数量关系.
(1)如图①，$∠ EOF$在直线$CD$的右侧.
①若$∠ COE = 30°$，求$∠ BOF$和$∠ POE$的度数；
②请判断$∠ POE$与$∠ BOP$之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，$∠ EOF$在直线$CD$的左侧，且点$E$在点$F$的下方.
①请直接写出$∠ POE$与$∠ BOP$之间的数量关系；
②请直接写出$∠ POE$与$∠ DOP$之间的数量关系.
答案
13. (1) ①因为 CD ⊥ AB,所以 ∠COB = 90°. 因为 ∠EOF = 90°,所以 ∠COE+∠BOE = ∠BOE+∠BOF = 90°,所以 ∠BOF = ∠COE = 30°,所以 ∠COF = 90°+30° = 120°. 因为 OP 平分 ∠COF,所以 ∠COP = $\frac{1}{2}$∠COF = $\frac{1}{2}$×120° = 60°,所以 ∠POE = ∠COP-∠COE = 60°-30° = 30°.
②∠POE = ∠BOP. 理由如下:因为 CD ⊥ AB,所以 ∠COB = 90°. 因为 ∠EOF = 90°,所以 ∠COE+∠BOE = ∠BOE+∠BOF = 90°,所以 ∠BOF = ∠COE. 因为 OP 平分 ∠COF,所以 ∠COP = ∠POF,所以 ∠POE = ∠COP-∠COE,∠BOP = ∠POF-∠BOF,所以 ∠POE = ∠BOP.
(2) ①∠POE = ∠BOP. ②∠POE+∠DOP = 270°.
解析:①因为 ∠EOF = ∠BOC = 90°,PO 平分 ∠COF,所以 ∠COP = ∠POF,所以 ∠POE = 90°+∠POF,∠BOP = 90°+∠COP,所以 ∠POE = ∠BOP. ②因为 ∠POE = ∠BOP,∠DOP+∠BOP = 270°,所以 ∠POE+∠DOP = 270°.
②∠POE = ∠BOP. 理由如下:因为 CD ⊥ AB,所以 ∠COB = 90°. 因为 ∠EOF = 90°,所以 ∠COE+∠BOE = ∠BOE+∠BOF = 90°,所以 ∠BOF = ∠COE. 因为 OP 平分 ∠COF,所以 ∠COP = ∠POF,所以 ∠POE = ∠COP-∠COE,∠BOP = ∠POF-∠BOF,所以 ∠POE = ∠BOP.
(2) ①∠POE = ∠BOP. ②∠POE+∠DOP = 270°.
解析:①因为 ∠EOF = ∠BOC = 90°,PO 平分 ∠COF,所以 ∠COP = ∠POF,所以 ∠POE = 90°+∠POF,∠BOP = 90°+∠COP,所以 ∠POE = ∠BOP. ②因为 ∠POE = ∠BOP,∠DOP+∠BOP = 270°,所以 ∠POE+∠DOP = 270°.
