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21. 有70多个鸡蛋，如果装进4个或6个一排的蛋托，都正好装完。这些鸡蛋有多少个？
答案
21. 72个
解析
【分析】
这是一道公倍数的实际应用问题，解题思路清晰：首先要理解“装进4个或6个一排的蛋托都正好装完”的含义，说明鸡蛋总个数是4和6的公倍数；接下来先求出4和6的最小公倍数，再依次列出它的倍数；最后结合“70多个鸡蛋”的限定条件，找出符合取值范围的数值就是最终答案。
【解析】
1. 求4和6的最小公倍数：
分解质因数可得：$4=2×2$，$6=2×3$
4和6的最小公倍数为$2×2×3=12$
2. 列出12的倍数：12、24、36、48、60、72、84……
3. 已知鸡蛋有70多个，即数量在70~80之间，上述倍数中只有72符合要求。
【答案】
72个
【知识点】
公倍数的应用，最小公倍数计算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的相关知识，解题核心是读懂题意，把“正好装完”的实际描述转化为求两个数公倍数的数学问题，再结合限定范围筛选出正确结果，属于基础的应用型题目。
【难度系数】
0.8
这是一道公倍数的实际应用问题，解题思路清晰：首先要理解“装进4个或6个一排的蛋托都正好装完”的含义，说明鸡蛋总个数是4和6的公倍数；接下来先求出4和6的最小公倍数，再依次列出它的倍数；最后结合“70多个鸡蛋”的限定条件，找出符合取值范围的数值就是最终答案。
【解析】
1. 求4和6的最小公倍数：
分解质因数可得：$4=2×2$，$6=2×3$
4和6的最小公倍数为$2×2×3=12$
2. 列出12的倍数：12、24、36、48、60、72、84……
3. 已知鸡蛋有70多个，即数量在70~80之间，上述倍数中只有72符合要求。
【答案】
72个
【知识点】
公倍数的应用，最小公倍数计算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的相关知识，解题核心是读懂题意，把“正好装完”的实际描述转化为求两个数公倍数的数学问题，再结合限定范围筛选出正确结果，属于基础的应用型题目。
【难度系数】
0.8
22. 8路车每隔8分钟发一次车，12路车每隔6分钟发一次车。在某一时刻，这两路车同时从一个车站发车，这两路车至少再过多少分钟才能同时发车？
答案
22. 24分
解析
【分析】
要解决两路车至少再过多久同时发车的问题，首先明确：8路车的发车间隔是8的倍数，12路车的发车间隔是6的倍数，两车再次同时发车的时间就是8和6的公共倍数，要求“至少”的时间，本质就是求8和6的最小公倍数。
【解析】
我们可以用分解质因数的方法计算最小公倍数：
第一步，分别分解8和6的质因数：
$8=2×2×2$
$6=2×3$
第二步，两个数的最小公倍数等于共有的质因数乘各自独有的质因数，因此8和6的最小公倍数为：
$2×2×2×3=24$
也可以用列举法验证：8的倍数有8、16、24、32……，6的倍数有6、12、18、24……，二者最小的公共倍数是24。
因此这两路车至少再过24分钟才能同时发车。
【答案】
24分
【知识点】
最小公倍数的应用、最小公倍数的计算
【点评】
这是公倍数在实际生活中的典型应用题型，解题核心是把实际场景中的问题转化为求两个数最小公倍数的数学问题，掌握最小公倍数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决两路车至少再过多久同时发车的问题，首先明确：8路车的发车间隔是8的倍数，12路车的发车间隔是6的倍数，两车再次同时发车的时间就是8和6的公共倍数，要求“至少”的时间，本质就是求8和6的最小公倍数。
【解析】
我们可以用分解质因数的方法计算最小公倍数：
第一步，分别分解8和6的质因数：
$8=2×2×2$
$6=2×3$
第二步，两个数的最小公倍数等于共有的质因数乘各自独有的质因数，因此8和6的最小公倍数为：
$2×2×2×3=24$
也可以用列举法验证：8的倍数有8、16、24、32……，6的倍数有6、12、18、24……，二者最小的公共倍数是24。
因此这两路车至少再过24分钟才能同时发车。
【答案】
24分
【知识点】
最小公倍数的应用、最小公倍数的计算
【点评】
这是公倍数在实际生活中的典型应用题型，解题核心是把实际场景中的问题转化为求两个数最小公倍数的数学问题，掌握最小公倍数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
23. 有一叠数学本子，平均分给5个人，还多1本；平均分给8个人，还剩6本。这叠数学本子至少有多少本？
答案
23. 46本
解析
【分析】
本题要求同时满足两个分配条件的最少本子数，本质是找同时符合“除以5余1”“除以8余6”的最小正整数。解题时可以先从小到大列出满足其中一个条件的所有数，再逐一验证是否满足另一个条件，找到第一个同时符合两个条件的数即为答案；也可以通过转化条件，结合公倍数的知识快速求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：列举法
1. 先列出所有满足“平均分给5人多1本”的数（即除以5余1的数），从小到大依次为：1、6、11、16、21、26、31、36、41、46、51……
2. 从上述数中筛选满足“平均分给8人剩6本”（即除以8余6）的数：
6除以8余6，但6本不够分给8个人每人至少1本，不符合实际分配要求，排除；
后续数依次验证：11÷8=1……3，16÷8=2……0，21÷8=2……5，26÷8=3……2，31÷8=3……7，36÷8=4……4，41÷8=5……1，均不符合要求；
验证到46时：46÷8=5……6，满足除以8余6的要求，同时46÷5=9……1，也满足第一个分配条件。
方法二：公倍数法
设本子数为x，根据题意可得：
x=5k+1（k为正整数，对应分给5人多1本），x=8m+6（m为正整数，对应分给8人剩6本）
联立得5k+1=8m+6，整理为5(k-1)=8m。
因为5和8互质，所以8m必须是5的倍数，即m最小取5，此时x=8×5+6=46。
【答案】
46本
【知识点】
有余数的除法、倍数的应用、最小公倍数
【点评】
这道题是因数与倍数单元的常见应用题，核心是结合有余数除法的意义理解分配条件，解题时既可以用直观的列举筛选法，也可以通过转化条件结合公倍数知识快速求解，有助于锻炼学生的逻辑推理和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题要求同时满足两个分配条件的最少本子数，本质是找同时符合“除以5余1”“除以8余6”的最小正整数。解题时可以先从小到大列出满足其中一个条件的所有数，再逐一验证是否满足另一个条件，找到第一个同时符合两个条件的数即为答案；也可以通过转化条件，结合公倍数的知识快速求解，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：列举法
1. 先列出所有满足“平均分给5人多1本”的数（即除以5余1的数），从小到大依次为：1、6、11、16、21、26、31、36、41、46、51……
2. 从上述数中筛选满足“平均分给8人剩6本”（即除以8余6）的数：
6除以8余6，但6本不够分给8个人每人至少1本，不符合实际分配要求，排除；
后续数依次验证：11÷8=1……3，16÷8=2……0，21÷8=2……5，26÷8=3……2，31÷8=3……7，36÷8=4……4，41÷8=5……1，均不符合要求；
验证到46时：46÷8=5……6，满足除以8余6的要求，同时46÷5=9……1，也满足第一个分配条件。
方法二：公倍数法
设本子数为x，根据题意可得：
x=5k+1（k为正整数，对应分给5人多1本），x=8m+6（m为正整数，对应分给8人剩6本）
联立得5k+1=8m+6，整理为5(k-1)=8m。
因为5和8互质，所以8m必须是5的倍数，即m最小取5，此时x=8×5+6=46。
【答案】
46本
【知识点】
有余数的除法、倍数的应用、最小公倍数
【点评】
这道题是因数与倍数单元的常见应用题，核心是结合有余数除法的意义理解分配条件，解题时既可以用直观的列举筛选法，也可以通过转化条件结合公倍数知识快速求解，有助于锻炼学生的逻辑推理和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
24. 将27,35,45,49,105,125这六个数分成乘积相等的两组,该怎么分？
答案
24. (35,45,105)和(27,49,125)
解析
【分析】
要将六个数分成乘积相等的两组，核心是两组数包含的质因数种类完全相同，且每种质因数的数量相等。解题时先把每个数分解质因数，统计所有质因数的总个数，算出每组需要包含的每种质因数的数量，再根据各数的质因数特征进行分组，确保两组的质因数数量对应相等即可。
【解析】
步骤1：将六个数分别分解质因数：
$27=3×3×3$
$35=5×7$
$45=3×3×5$
$49=7×7$
$105=3×5×7$
$125=5×5×5$
步骤2：统计所有质因数的总个数：
质因数3共有$3+2+1=6$个，质因数5共有$1+1+1+3=6$个，质因数7共有$1+2+1=4$个，因此每组需要包含3个3、3个5、2个7。
步骤3：分组：
125含有3个5，已经占满一组需要的5的数量，因此和125同组的数不能再含有质因数5，剩余不含质因数5的数是27和49。27含有3个3，49含有2个7，三个数的质因数相加刚好符合每组的质因数数量要求，即第一组为27、49、125；剩余的35、45、105为第二组。
验证：$27×49×125=165375$，$35×45×105=165375$，两组乘积相等，分组正确。
【答案】
(35,45,105)和(27,49,125)
【知识点】
分解质因数，因数与乘积的关系
【点评】
本题不需要盲目计算各组乘积试错，只需抓住乘积相等的两组数质因数构成完全相同的规律，通过分解质因数后按需分配即可快速解题，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要将六个数分成乘积相等的两组，核心是两组数包含的质因数种类完全相同，且每种质因数的数量相等。解题时先把每个数分解质因数，统计所有质因数的总个数，算出每组需要包含的每种质因数的数量，再根据各数的质因数特征进行分组，确保两组的质因数数量对应相等即可。
【解析】
步骤1：将六个数分别分解质因数：
$27=3×3×3$
$35=5×7$
$45=3×3×5$
$49=7×7$
$105=3×5×7$
$125=5×5×5$
步骤2：统计所有质因数的总个数：
质因数3共有$3+2+1=6$个，质因数5共有$1+1+1+3=6$个，质因数7共有$1+2+1=4$个，因此每组需要包含3个3、3个5、2个7。
步骤3：分组：
125含有3个5，已经占满一组需要的5的数量，因此和125同组的数不能再含有质因数5，剩余不含质因数5的数是27和49。27含有3个3，49含有2个7，三个数的质因数相加刚好符合每组的质因数数量要求，即第一组为27、49、125；剩余的35、45、105为第二组。
验证：$27×49×125=165375$，$35×45×105=165375$，两组乘积相等，分组正确。
【答案】
(35,45,105)和(27,49,125)
【知识点】
分解质因数，因数与乘积的关系
【点评】
本题不需要盲目计算各组乘积试错，只需抓住乘积相等的两组数质因数构成完全相同的规律，通过分解质因数后按需分配即可快速解题，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
