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9.(1)在$-(-4),(-4)^2,-|-4|,-4^2$中,负数有________个；
(2)在$(-1)^3,(-1)^2,-2^2,(-3)^2$这四个数中,最大的数与最小的数的差是________；
(3)若$2^4+2^4=2^a,3^5+3^5+3^5=3^b$,则$a-b$的值为________；
(2)在$(-1)^3,(-1)^2,-2^2,(-3)^2$这四个数中,最大的数与最小的数的差是________；
(3)若$2^4+2^4=2^a,3^5+3^5+3^5=3^b$,则$a-b$的值为________；
答案
(1)2 (2)13 (3)$-1$
解析
【分析】
本题分为3个小问，解题思路如下：
(1) 先根据去括号法则、乘方运算规则、绝对值的性质分别计算出四个数的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）统计负数的个数；注意区分带括号和不带括号的乘方运算的底数差异，避免符号计算错误。
(2) 先分别计算四个乘方的结果，再从中找出最大的数和最小的数，用最大数减去最小数即可得到差值，计算减法时注意负号的处理。
(3) 先将左边相同加数的和转化为乘法形式，再根据乘方的意义（几个相同因数相乘可以写成幂的形式）化简得到等号右边的幂，进而求出a、b的值，最后计算a-b的结果。
【解析】
(1) 分别计算各数：
$-(-4)=4$，是正数；
$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，是正数；
$-|-4|=-4$，是负数；
$-4^2=-(4×4)=-16$，是负数；
因此负数共有2个。
(2) 分别计算各数：
$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$；
$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$；
$-2^2=-(2×2)=-4$；
$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$；
四个数中最大的数是9，最小的数是-4，二者的差为：$9 - (-4)=9+4=13$。
(3) 计算a的值：
$2^4+2^4=2×2^4=2^5$，对比$2^4+2^4=2^a$，可得$a=5$；
计算b的值：
$3^5+3^5+3^5=3×3^5=3^6$，对比$3^5+3^5+3^5=3^b$，可得$b=6$；
因此$a-b=5-6=-1$。
【答案】
(1)2；(2)13；(3)$-1$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较；乘方的意义
【点评】
本题侧重考查有理数乘方相关的基础运算，解题的核心是准确区分带括号与不带括号的乘方的底数，运算时注意符号的处理，只要掌握基本运算法则、细心计算即可得分，是乘方章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题分为3个小问，解题思路如下：
(1) 先根据去括号法则、乘方运算规则、绝对值的性质分别计算出四个数的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）统计负数的个数；注意区分带括号和不带括号的乘方运算的底数差异，避免符号计算错误。
(2) 先分别计算四个乘方的结果，再从中找出最大的数和最小的数，用最大数减去最小数即可得到差值，计算减法时注意负号的处理。
(3) 先将左边相同加数的和转化为乘法形式，再根据乘方的意义（几个相同因数相乘可以写成幂的形式）化简得到等号右边的幂，进而求出a、b的值，最后计算a-b的结果。
【解析】
(1) 分别计算各数：
$-(-4)=4$，是正数；
$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$，是正数；
$-|-4|=-4$，是负数；
$-4^2=-(4×4)=-16$，是负数；
因此负数共有2个。
(2) 分别计算各数：
$(-1)^3=(-1)×(-1)×(-1)=-1$；
$(-1)^2=(-1)×(-1)=1$；
$-2^2=-(2×2)=-4$；
$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$；
四个数中最大的数是9，最小的数是-4，二者的差为：$9 - (-4)=9+4=13$。
(3) 计算a的值：
$2^4+2^4=2×2^4=2^5$，对比$2^4+2^4=2^a$，可得$a=5$；
计算b的值：
$3^5+3^5+3^5=3×3^5=3^6$，对比$3^5+3^5+3^5=3^b$，可得$b=6$；
因此$a-b=5-6=-1$。
【答案】
(1)2；(2)13；(3)$-1$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较；乘方的意义
【点评】
本题侧重考查有理数乘方相关的基础运算，解题的核心是准确区分带括号与不带括号的乘方的底数，运算时注意符号的处理，只要掌握基本运算法则、细心计算即可得分，是乘方章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(4)若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，且$a≠0$，则$(a+b)^{2026}+(cd)^{2026}-(\dfrac{a}{b})^{2026}=$______.
答案
(4)0
解析
【分析】
解题首先要回忆相反数、倒数的相关性质：互为相反数的两个数和为0，且非零的互为相反数的两个数商为-1；互为倒数的两个数乘积为1。我们先根据这些性质求出式子中各部分的值，再代入进行乘方运算，最后合并计算结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数且$a≠0$，
∴$a+b=0$，$\dfrac{a}{b}=-1$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
将上述值代入原式计算：
$(a+b)^{2026}+(cd)^{2026}-(\dfrac{a}{b})^{2026}$
$=0^{2026}+1^{2026}-(-1)^{2026}$
$=0+1-1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的定义，倒数的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握相反数、倒数的基本性质，结合乘方的运算规则就能正确求解，做题时注意负数的偶次幂为正数这一要点即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆相反数、倒数的相关性质：互为相反数的两个数和为0，且非零的互为相反数的两个数商为-1；互为倒数的两个数乘积为1。我们先根据这些性质求出式子中各部分的值，再代入进行乘方运算，最后合并计算结果即可。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数且$a≠0$，
∴$a+b=0$，$\dfrac{a}{b}=-1$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
将上述值代入原式计算：
$(a+b)^{2026}+(cd)^{2026}-(\dfrac{a}{b})^{2026}$
$=0^{2026}+1^{2026}-(-1)^{2026}$
$=0+1-1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的定义，倒数的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握相反数、倒数的基本性质，结合乘方的运算规则就能正确求解，做题时注意负数的偶次幂为正数这一要点即可避免出错。
【难度系数】
0.8
10.(2025·南京期中)$10^{100}$是$100^{10}$的________倍.
答案
$10^{80}$
解析
【分析】
要计算$10^{100}$是$100^{10}$的多少倍，首先根据倍数的计算逻辑，用前者除以后者列出算式。观察两个乘方的底数不同，可将100转化为$10×10$，再结合乘方的意义把$100^{10}$改写为底数是10的乘方，统一底数后即可通过计算相同因数的个数差求出结果。
【解析】
求倍数用除法计算，列式为：$10^{100} ÷ 100^{10}$
根据乘方的意义：
$10^{100}$表示100个10相乘的积；
$100^{10}$表示10个100相乘的积，又因为$100=10×10$，所以10个100相乘等价于10组（2个10相乘）相乘，即总共有$10×2=20$个10相乘，因此$100^{10}=10^{20}$。
将其代入原式可得：
$10^{100} ÷ 10^{20}$，即100个10相乘的积除以20个10相乘的积，剩余$100-20=80$个10相乘，结果为$10^{80}$。
【答案】
$10^{80}$
【知识点】
有理数的乘方，乘方的意义，倍数计算
【点评】
本题考查乘方意义的灵活应用，解题核心是将不同底数的乘方转化为同底数乘方再计算，能够锻炼学生的转化思维，加深对乘方含义的理解。
【难度系数】
0.7
要计算$10^{100}$是$100^{10}$的多少倍，首先根据倍数的计算逻辑，用前者除以后者列出算式。观察两个乘方的底数不同，可将100转化为$10×10$，再结合乘方的意义把$100^{10}$改写为底数是10的乘方，统一底数后即可通过计算相同因数的个数差求出结果。
【解析】
求倍数用除法计算，列式为：$10^{100} ÷ 100^{10}$
根据乘方的意义：
$10^{100}$表示100个10相乘的积；
$100^{10}$表示10个100相乘的积，又因为$100=10×10$，所以10个100相乘等价于10组（2个10相乘）相乘，即总共有$10×2=20$个10相乘，因此$100^{10}=10^{20}$。
将其代入原式可得：
$10^{100} ÷ 10^{20}$，即100个10相乘的积除以20个10相乘的积，剩余$100-20=80$个10相乘，结果为$10^{80}$。
【答案】
$10^{80}$
【知识点】
有理数的乘方，乘方的意义，倍数计算
【点评】
本题考查乘方意义的灵活应用，解题核心是将不同底数的乘方转化为同底数乘方再计算，能够锻炼学生的转化思维，加深对乘方含义的理解。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$-1^3 - 3×(-1)^3$；
(2)$-2^3 + (-3)^2$；
(3)$-(-3)^2×(-2)^3$；
(4)$-2^2 - 2^3 - (-3^2) + (-2)^3$。
(1)$-1^3 - 3×(-1)^3$；
(2)$-2^3 + (-3)^2$；
(3)$-(-3)^2×(-2)^3$；
(4)$-2^2 - 2^3 - (-3^2) + (-2)^3$。
答案
解:(1)原式$=-1-3×(-1)=-1+3=2.$
(2)原式$=-8+9=1.$
(3)原式$=-9×(-8)=72.$
(4)原式$=-4-8+9-8=-11.$
(2)原式$=-8+9=1.$
(3)原式$=-9×(-8)=72.$
(4)原式$=-4-8+9-8=-11.$
解析
【分析】
解决有理数乘方混合运算类题目，需按以下思路进行：首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；其次要区分易混的乘方形式：$-a^n$是$a^n$的相反数，$(-a)^n$是$n$个$-a$相乘，符号由$n$的奇偶性决定，$n$为奇得负、$n$为偶得正；最后每一步先定符号再算绝对值，避免符号出错，按规则逐个计算小题即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减：
原式$=-1-3×(-1)=-1+3=2$
(2) 先计算乘方，再计算加法：
原式$=-8+9=1$
(3) 先计算乘方，再计算乘法：
原式$=-9×(-8)=72$
(4) 先计算所有乘方项，再依次计算加减：
原式$=-4-8+9-8=-11$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{1}$；(3) $\boxed{72}$；(4) $\boxed{-11}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
3. 有理数符号法则
【点评】
本题属于有理数乘方的基础考查题，核心易错点是混淆乘方的相反数和负数的乘方的符号，计算时严格遵循运算顺序，先确定每一项的符号再计算绝对值，就能规避常见错误。
【难度系数】
0.8
解决有理数乘方混合运算类题目，需按以下思路进行：首先牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；其次要区分易混的乘方形式：$-a^n$是$a^n$的相反数，$(-a)^n$是$n$个$-a$相乘，符号由$n$的奇偶性决定，$n$为奇得负、$n$为偶得正；最后每一步先定符号再算绝对值，避免符号出错，按规则逐个计算小题即可。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减：
原式$=-1-3×(-1)=-1+3=2$
(2) 先计算乘方，再计算加法：
原式$=-8+9=1$
(3) 先计算乘方，再计算乘法：
原式$=-9×(-8)=72$
(4) 先计算所有乘方项，再依次计算加减：
原式$=-4-8+9-8=-11$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{1}$；(3) $\boxed{72}$；(4) $\boxed{-11}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
3. 有理数符号法则
【点评】
本题属于有理数乘方的基础考查题，核心易错点是混淆乘方的相反数和负数的乘方的符号，计算时严格遵循运算顺序，先确定每一项的符号再计算绝对值，就能规避常见错误。
【难度系数】
0.8
12.将一张长方形纸片连续对折，对折的次数越多，折痕的条数也就越多，如第1次对折后，有1条折痕，第2次对折后，共有3条折痕.
(1)第3次对折后共有多少条折痕？第4次对折后呢？
(2)至少对折多少次后折痕会超过100条？
(1)第3次对折后共有多少条折痕？第4次对折后呢？
(2)至少对折多少次后折痕会超过100条？
答案
解:(1)因为第1次对折后折痕条数为$2^1-1=1$,
第2次对折后折痕条数为$2^2-1=3$,
第3次对折后折痕条数为$2^3-1=7$,
第4次对折后折痕条数为$2^4-1=15$,
……
第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$,
所以第3次对折后共有7条折痕,第4次对折后共有15条折痕.
(2)设对折$n$次后折痕会超过100条,
则$2^n-1＞100.$
因为$2^6=64,2^7=128,$所以$n≥7,$
即至少对折7次后折痕会超过100条.
第2次对折后折痕条数为$2^2-1=3$,
第3次对折后折痕条数为$2^3-1=7$,
第4次对折后折痕条数为$2^4-1=15$,
……
第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$,
所以第3次对折后共有7条折痕,第4次对折后共有15条折痕.
(2)设对折$n$次后折痕会超过100条,
则$2^n-1＞100.$
因为$2^6=64,2^7=128,$所以$n≥7,$
即至少对折7次后折痕会超过100条.
解析
【分析】
先从题目给出的前两次对折的折痕条数入手，寻找对折次数和折痕条数的数量规律：第1次折痕数为$2^1-1=1$，第2次折痕数为$2^2-1=3$，可归纳出第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$的通用规律。第(1)问直接将$n=3$、$n=4$代入规律公式计算即可；第(2)问根据规律列不等式，结合乘方运算找到满足不等式的最小正整数$n$即可。
【解析】
(1) 根据已知对折情况推导规律：
第1次对折后折痕条数为$2^1-1=1$，
第2次对折后折痕条数为$2^2-1=3$，
归纳可得第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$，
则第3次对折后折痕条数为$2^3-1=8-1=7$，
第4次对折后折痕条数为$2^4-1=16-1=15$。
(2) 设对折$n$次后折痕超过100条，根据规律列不等式：
$2^n-1＞100$
整理得$2^n＞101$，
计算乘方可知：$2^6=64＜101$，$2^7=128＞101$，
因此满足条件的最小正整数$n=7$。
【答案】
(1) 第3次对折后共有7条折痕，第4次对折后共有15条折痕；
(2) 至少对折7次后折痕会超过100条。
【知识点】
有理数乘方运算，数字规律探究，不等式简单应用
【点评】
本题结合折纸操作考查规律归纳能力与乘方的实际应用，需要先通过已知条件归纳出通用公式，再结合乘方运算求解不等式，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
先从题目给出的前两次对折的折痕条数入手，寻找对折次数和折痕条数的数量规律：第1次折痕数为$2^1-1=1$，第2次折痕数为$2^2-1=3$，可归纳出第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$的通用规律。第(1)问直接将$n=3$、$n=4$代入规律公式计算即可；第(2)问根据规律列不等式，结合乘方运算找到满足不等式的最小正整数$n$即可。
【解析】
(1) 根据已知对折情况推导规律：
第1次对折后折痕条数为$2^1-1=1$，
第2次对折后折痕条数为$2^2-1=3$，
归纳可得第$n$次对折后折痕条数为$2^n-1$，
则第3次对折后折痕条数为$2^3-1=8-1=7$，
第4次对折后折痕条数为$2^4-1=16-1=15$。
(2) 设对折$n$次后折痕超过100条，根据规律列不等式：
$2^n-1＞100$
整理得$2^n＞101$，
计算乘方可知：$2^6=64＜101$，$2^7=128＞101$，
因此满足条件的最小正整数$n=7$。
【答案】
(1) 第3次对折后共有7条折痕，第4次对折后共有15条折痕；
(2) 至少对折7次后折痕会超过100条。
【知识点】
有理数乘方运算，数字规律探究，不等式简单应用
【点评】
本题结合折纸操作考查规律归纳能力与乘方的实际应用，需要先通过已知条件归纳出通用公式，再结合乘方运算求解不等式，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
13. 问题:你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗? 为了解决这个问题,我们首先写出它的一般形式,即比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小($n$是正整数),然后再从分析$n=1,n=2,n=3$的情况入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算,比较下列各组数的大小:(填“＞”“＜”或“=”)
$1^2$
(2)从(1)的结果中,经过归纳,可以猜想出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是什么?
(3)根据上面的归纳、猜想得到的一般结论,比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小.
(1)通过计算,比较下列各组数的大小:(填“＞”“＜”或“=”)
$1^2$
＜
$2^1$,$2^3$＜
$3^2$,$3^4$＞
$4^3$,$4^5$＞
$5^4$,$5^6$＞
$6^5$;(2)从(1)的结果中,经过归纳,可以猜想出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是什么?
(3)根据上面的归纳、猜想得到的一般结论,比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小.
答案
(1)$＜$ $＜$ $＞$ $＞$ $＞$
(2)解:当$n≤2$($n$是正整数)时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$,
当$n＞2$($n$是正整数)时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)解:因为$2024＞2$,
所以$2024^{2025}＞2025^{2024}.$
(2)解:当$n≤2$($n$是正整数)时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$,
当$n＞2$($n$是正整数)时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)解:因为$2024＞2$,
所以$2024^{2025}＞2025^{2024}.$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步解决第(1)问时，直接计算每组两个乘方的结果，再比较大小填空即可；第二步解决第(2)问时，观察(1)中不同n值对应的大小关系，按n的取值范围分类归纳，总结出普遍规律；第三步解决第(3)问时，判断2024属于哪个规律的适用范围，直接套用总结的规律即可得出两个大数的大小关系，无需计算具体数值，避免复杂运算。
【解析】
(1) 分别计算各组数的值后比较大小：
$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 观察(1)的结果可发现：当n取1、2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当n取3、4、5时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$，因此归纳可得：当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 由于$2024＞2$，符合n＞2的规律，因此$2024^{2025}＞2025^{2024}$。
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$；$＞$
(2) 当$n≤2$（n是正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$（n是正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) $2024^{2025}＞2025^{2024}$
【知识点】
有理数乘方运算；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，遵循从特殊到一般的探究思路，通过简单的乘方计算发现规律，再利用规律解决无法直接计算的大数比较问题，有助于提升归纳总结和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步解决第(1)问时，直接计算每组两个乘方的结果，再比较大小填空即可；第二步解决第(2)问时，观察(1)中不同n值对应的大小关系，按n的取值范围分类归纳，总结出普遍规律；第三步解决第(3)问时，判断2024属于哪个规律的适用范围，直接套用总结的规律即可得出两个大数的大小关系，无需计算具体数值，避免复杂运算。
【解析】
(1) 分别计算各组数的值后比较大小：
$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 观察(1)的结果可发现：当n取1、2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当n取3、4、5时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$，因此归纳可得：当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 由于$2024＞2$，符合n＞2的规律，因此$2024^{2025}＞2025^{2024}$。
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$；$＞$
(2) 当$n≤2$（n是正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$（n是正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) $2024^{2025}＞2025^{2024}$
【知识点】
有理数乘方运算；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，遵循从特殊到一般的探究思路，通过简单的乘方计算发现规律，再利用规律解决无法直接计算的大数比较问题，有助于提升归纳总结和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
