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1. 一个表面涂色的长方体，像右图这样把它切开，能切成(
8
)个同样大的小长方体，每个小长方体有(3
)个面涂色。答案
8
3
3
解析
【分析】
首先观察图形，确定大长方体的切割方式：长、宽、高方向均被平均分成2份，通过乘法计算可得出小长方体的总数；接着分析每个小长方体的位置，这些小长方体都位于大长方体的顶点处，顶点处的小长方体有3个面是原大长方体的涂色表面，由此确定每个小长方体的涂色面数量。
【解析】
1. 计算小长方体的数量：
从图中可知，大长方体在长、宽、高方向均被分成2份，因此小长方体的总数为 $2×2×2=8$（个）。
2. 分析每个小长方体的涂色面数量：
每个小长方体都处于大长方体的顶点位置，每个顶点处的小长方体有3个面属于原大长方体的涂色表面，所以每个小长方体有3个面涂色。
【答案】
8；3
【知识点】
长方体的切割；立体图形表面涂色问题
【点评】
本题考查长方体切割与表面涂色的相关知识，需要结合图形观察切割份数，利用空间想象分析小长方体的位置特征，锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，确定大长方体的切割方式：长、宽、高方向均被平均分成2份，通过乘法计算可得出小长方体的总数；接着分析每个小长方体的位置，这些小长方体都位于大长方体的顶点处，顶点处的小长方体有3个面是原大长方体的涂色表面，由此确定每个小长方体的涂色面数量。
【解析】
1. 计算小长方体的数量：
从图中可知，大长方体在长、宽、高方向均被分成2份，因此小长方体的总数为 $2×2×2=8$（个）。
2. 分析每个小长方体的涂色面数量：
每个小长方体都处于大长方体的顶点位置，每个顶点处的小长方体有3个面属于原大长方体的涂色表面，所以每个小长方体有3个面涂色。
【答案】
8；3
【知识点】
长方体的切割；立体图形表面涂色问题
【点评】
本题考查长方体切割与表面涂色的相关知识，需要结合图形观察切割份数，利用空间想象分析小长方体的位置特征，锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.7
2. 用棱长1厘米的小正方体摆成如下的大正方体，并把它们的表面分别涂上颜色。
(1)①②③中，三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少块？填写下表。
(2)照这样的规律摆下去，第④⑤⑥个正方体的结果会怎样？填写下表。
(3)观察上面的表格，找规律填空。
如果一个大的正方体每条棱上有$n$个($n≥2$)小正方体，那么：
① 三面涂色的小正方体位于(
② 两面涂色的小正方体位于(
③ 一面涂色的小正方体位于(
(1)①②③中，三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少块？填写下表。
(2)照这样的规律摆下去，第④⑤⑥个正方体的结果会怎样？填写下表。
(3)观察上面的表格，找规律填空。
如果一个大的正方体每条棱上有$n$个($n≥2$)小正方体，那么：
① 三面涂色的小正方体位于(
顶点
)处，每个顶点上有(1
)块，一共有(8
)块。② 两面涂色的小正方体位于(
棱
)上，每条棱上有($ n - 2 $
)块，一共有($ 12(n - 2) $
)块。③ 一面涂色的小正方体位于(
面
)上，每个面上有($ (n - 2)^2 $
)块，一共有($ 6(n - 2)^2 $
)块。答案
8
8
8
0
12
24
0
6
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36
48
60
54
96
150
顶点
1
8
棱
n-2
12(n-2)
面
$(n-2)^2$
$6(n-2)^2$
8
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36
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60
54
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顶点
1
8
棱
n-2
12(n-2)
面
$(n-2)^2$
$6(n-2)^2$
解析
【分析】
我们可以结合正方体的结构特征来逐步分析：
1. 三面涂色的小正方体：正方体有8个固定的顶点，只有顶点处的小正方体才会被三个面涂色，所以无论大正方体每条棱上有多少个小正方体，三面涂色的数量始终是8块。
2. 两面涂色的小正方体：这类小正方体在棱上，但要排除两端已被三面涂色的顶点，因此每条棱上两面涂色的数量为“每条棱上小正方体个数-2”，再乘以正方体的12条棱，就能得到总数量。
3. 一面涂色的小正方体：这类小正方体在每个面的中间区域，不与棱和顶点接触，每个面的数量是“(每条棱上小正方体个数-2)的平方”，再乘以正方体的6个面就是总数量。
针对题目中的(1)(2)，我们只需代入对应每条棱上的小正方体个数计算即可；(3)则是将前面的计算总结为通用规律。
【解析】
(1) 分析每个正方体的涂色小正方体数量：
① 每条棱上有2个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱除去顶点无剩余，共0块；
一面涂色：每个面无中间区域，共0块；
② 每条棱上有3个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱上有$3-2=1$块，12条棱共$12×1=12$块；
一面涂色：每个面有$(3-2)^2=1$块，6个面共$6×1=6$块；
③ 每条棱上有4个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱上有$4-2=2$块，12条棱共$12×2=24$块；
一面涂色：每个面有$(4-2)^2=4$块，6个面共$6×4=24$块；
(2) 分析第④⑤⑥个正方体（对应每条棱上有5、6、7个小正方体）：
④ $n=5$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(5-2)=36$块；
一面涂色：$6×(5-2)^2=54$块；
⑤ $n=6$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(6-2)=48$块；
一面涂色：$6×(6-2)^2=96$块；
⑥ $n=7$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(7-2)=60$块；
一面涂色：$6×(7-2)^2=150$块；
(3) 总结通用规律：
① 三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有1块，一共有8块；
② 两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有$n-2$块，一共有$12(n-2)$块；
③ 一面涂色的小正方体位于面上，每个面上有$(n-2)^2$块，一共有$6(n-2)^2$块；
【答案】
8
8
8
0
12
24
0
6
24
8
8
8
36
48
60
54
96
150
顶点
1
8
棱
n-2
12(n-2)
面
$(n-2)^2$
$6(n-2)^2$
【知识点】
正方体表面涂色规律、正方体的特征、用字母表示数
【点评】
本题通过观察不同棱长的正方体表面涂色小正方体的数量，引导学生从特殊情况归纳出一般规律，既考查了对正方体结构特征的理解，也锻炼了从具体到抽象的归纳总结能力，掌握规律后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.3
我们可以结合正方体的结构特征来逐步分析：
1. 三面涂色的小正方体：正方体有8个固定的顶点，只有顶点处的小正方体才会被三个面涂色，所以无论大正方体每条棱上有多少个小正方体，三面涂色的数量始终是8块。
2. 两面涂色的小正方体：这类小正方体在棱上，但要排除两端已被三面涂色的顶点，因此每条棱上两面涂色的数量为“每条棱上小正方体个数-2”，再乘以正方体的12条棱，就能得到总数量。
3. 一面涂色的小正方体：这类小正方体在每个面的中间区域，不与棱和顶点接触，每个面的数量是“(每条棱上小正方体个数-2)的平方”，再乘以正方体的6个面就是总数量。
针对题目中的(1)(2)，我们只需代入对应每条棱上的小正方体个数计算即可；(3)则是将前面的计算总结为通用规律。
【解析】
(1) 分析每个正方体的涂色小正方体数量：
① 每条棱上有2个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱除去顶点无剩余，共0块；
一面涂色：每个面无中间区域，共0块；
② 每条棱上有3个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱上有$3-2=1$块，12条棱共$12×1=12$块；
一面涂色：每个面有$(3-2)^2=1$块，6个面共$6×1=6$块；
③ 每条棱上有4个小正方体：
三面涂色：位于8个顶点，共8块；
两面涂色：每条棱上有$4-2=2$块，12条棱共$12×2=24$块；
一面涂色：每个面有$(4-2)^2=4$块，6个面共$6×4=24$块；
(2) 分析第④⑤⑥个正方体（对应每条棱上有5、6、7个小正方体）：
④ $n=5$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(5-2)=36$块；
一面涂色：$6×(5-2)^2=54$块；
⑤ $n=6$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(6-2)=48$块；
一面涂色：$6×(6-2)^2=96$块；
⑥ $n=7$：
三面涂色：8块；
两面涂色：$12×(7-2)=60$块；
一面涂色：$6×(7-2)^2=150$块；
(3) 总结通用规律：
① 三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有1块，一共有8块；
② 两面涂色的小正方体位于棱上，每条棱上有$n-2$块，一共有$12(n-2)$块；
③ 一面涂色的小正方体位于面上，每个面上有$(n-2)^2$块，一共有$6(n-2)^2$块；
【答案】
8
8
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6
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8
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顶点
1
8
棱
n-2
12(n-2)
面
$(n-2)^2$
$6(n-2)^2$
【知识点】
正方体表面涂色规律、正方体的特征、用字母表示数
【点评】
本题通过观察不同棱长的正方体表面涂色小正方体的数量，引导学生从特殊情况归纳出一般规律，既考查了对正方体结构特征的理解，也锻炼了从具体到抽象的归纳总结能力，掌握规律后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.3
3. 将一个正方体表面涂成蓝色，然后切成棱长1厘米的小正方体。若两面涂色的小正方体有24块，这个大正方体的体积是(
64
)立方厘米。答案
64
解析
【分析】
首先要明确正方体表面涂色后分割成小正方体时，两面涂色的小正方体的位置：它们位于每条棱的中间部分（不包含两端的顶点）。已知两面涂色的小正方体共24块，而正方体有12条棱，先计算出每条棱上两面涂色的小正方体数量；再根据每条棱上的小正方体总数等于两面涂色的数量加上两端顶点处的2块，得出每条棱上小正方体的个数，进而得到大正方体的棱长，最后利用正方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 确定两面涂色小正方体的位置：正方体中，两面涂色的小正方体位于每条棱的中间区域（不含顶点）。
2. 计算每条棱上两面涂色的小正方体数量：
正方体共有12条棱，总共有24块两面涂色的小正方体，因此每条棱上两面涂色的数量为：$24÷12 = 2$（块）
3. 计算大正方体的棱长：
每条棱上的小正方体总数 = 两面涂色的数量 + 两端顶点处的2块，即$2 + 2 = 4$（块）
由于每个小正方体棱长为1厘米，所以大正方体的棱长为$4×1 = 4$（厘米）
4. 计算大正方体的体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长），可得体积为：$4×4×4 = 64$（立方厘米）
【答案】
64
【知识点】
正方体的特征、正方体体积计算、表面涂色正方体分割规律
【点评】
本题重点考查表面涂色正方体的分割规律，需要学生准确把握不同涂色情况的小正方体所在位置，结合正方体棱的数量特征推导棱长，再运用体积公式计算结果，既考验对正方体结构的理解，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先要明确正方体表面涂色后分割成小正方体时，两面涂色的小正方体的位置：它们位于每条棱的中间部分（不包含两端的顶点）。已知两面涂色的小正方体共24块，而正方体有12条棱，先计算出每条棱上两面涂色的小正方体数量；再根据每条棱上的小正方体总数等于两面涂色的数量加上两端顶点处的2块，得出每条棱上小正方体的个数，进而得到大正方体的棱长，最后利用正方体体积公式计算体积。
【解析】
1. 确定两面涂色小正方体的位置：正方体中，两面涂色的小正方体位于每条棱的中间区域（不含顶点）。
2. 计算每条棱上两面涂色的小正方体数量：
正方体共有12条棱，总共有24块两面涂色的小正方体，因此每条棱上两面涂色的数量为：$24÷12 = 2$（块）
3. 计算大正方体的棱长：
每条棱上的小正方体总数 = 两面涂色的数量 + 两端顶点处的2块，即$2 + 2 = 4$（块）
由于每个小正方体棱长为1厘米，所以大正方体的棱长为$4×1 = 4$（厘米）
4. 计算大正方体的体积：
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长），可得体积为：$4×4×4 = 64$（立方厘米）
【答案】
64
【知识点】
正方体的特征、正方体体积计算、表面涂色正方体分割规律
【点评】
本题重点考查表面涂色正方体的分割规律，需要学生准确把握不同涂色情况的小正方体所在位置，结合正方体棱的数量特征推导棱长，再运用体积公式计算结果，既考验对正方体结构的理解，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 下图是由6个棱长3分米的正方体堆在墙角摆成的物体。给这个物体露在外面的面涂上蓝色，涂蓝色的面积是多少平方分米？
答案
3×3×13=117（平方分米）
答：涂蓝色的面积是117平方分米。
答：涂蓝色的面积是117平方分米。
解析
【分析】
要计算涂蓝色的面积，需先确定物体露在外面的正方形面的数量，再计算单个正方形面的面积，最后用单个面的面积乘以面的总数得到总面积。
步骤1：通过分方向（正面、右面、上面等）仔细计数，确定露在外面的面共有13个；
步骤2：根据正方形面积公式，计算出单个面的面积；
步骤3：用单个面的面积乘以面的总数，得到涂蓝色的总面积。
【解析】
1. 计算单个正方形面的面积：
已知正方体棱长为3分米，根据正方形面积公式$S=a×a$（$a$为边长），可得：
$3×3 = 9$（平方分米）
2. 统计露在外面的面的数量：经计数，露在外面的面共有13个。
3. 计算涂蓝色的总面积：
$9×13 = 117$（平方分米）
答：涂蓝色的面积是117平方分米。
【答案】
117平方分米
【知识点】
正方形面积计算，立体图形露在外面的面积
【点评】
本题考查立体图形露在外面的面积计算，核心是准确数出露在外面的面的数量，需要学生具备基础的空间想象能力，通过分方向计数可有效避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.6
要计算涂蓝色的面积，需先确定物体露在外面的正方形面的数量，再计算单个正方形面的面积，最后用单个面的面积乘以面的总数得到总面积。
步骤1：通过分方向（正面、右面、上面等）仔细计数，确定露在外面的面共有13个；
步骤2：根据正方形面积公式，计算出单个面的面积；
步骤3：用单个面的面积乘以面的总数，得到涂蓝色的总面积。
【解析】
1. 计算单个正方形面的面积：
已知正方体棱长为3分米，根据正方形面积公式$S=a×a$（$a$为边长），可得：
$3×3 = 9$（平方分米）
2. 统计露在外面的面的数量：经计数，露在外面的面共有13个。
3. 计算涂蓝色的总面积：
$9×13 = 117$（平方分米）
答：涂蓝色的面积是117平方分米。
【答案】
117平方分米
【知识点】
正方形面积计算，立体图形露在外面的面积
【点评】
本题考查立体图形露在外面的面积计算，核心是准确数出露在外面的面的数量，需要学生具备基础的空间想象能力，通过分方向计数可有效避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.6
5. 将同样大的小正方体按下图摆放。随着小正方体个数的增加，露在外面的面数有什么变化规律？
规律：每增加2个小正方体，露在外面的面数都比前一个物体多(
规律：每增加2个小正方体，露在外面的面数都比前一个物体多(
5
)。答案
9
14
19
24
5
14
19
24
5
解析
【分析】
要找出露在外面的面数的变化规律，我们需要先依次确定每次摆放后露在外面的面数，再对比相邻两次的面数，计算出差值来总结规律。首先，我们先算出不同摆放状态下的面数：第一个物体露在外面9个面，增加2个小正方体后，第二个物体露在外面14个面，再增加2个，第三个物体露在外面19个面，继续增加2个，第四个物体露在外面24个面。接着计算相邻面数的差值：14-9=5，19-14=5，24-19=5，由此就能得出每增加2个小正方体时面数的变化规律。
【解析】
1. 统计各摆放状态露在外面的面数：
第1个物体：露在外面的面数为9；
第2个物体（比第1个多2个小正方体）：露在外面的面数为14；
第3个物体（比第2个多2个小正方体）：露在外面的面数为19；
第4个物体（比第3个多2个小正方体）：露在外面的面数为24；
2. 计算相邻物体露在外面的面数差：
$14 - 9 = 5$，$19 - 14 = 5$，$24 - 19 = 5$；
3. 总结规律：每增加2个小正方体，露在外面的面数都比前一个物体多5。
【答案】
9
14
19
24
5
【知识点】
立体图形露在外面的面，规律归纳
【点评】
本题主要考查学生对立体图形露在外面的面的观察能力和规律归纳能力，通过计算不同摆放方式下的面数，分析差值得出规律，有助于提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要找出露在外面的面数的变化规律，我们需要先依次确定每次摆放后露在外面的面数，再对比相邻两次的面数，计算出差值来总结规律。首先，我们先算出不同摆放状态下的面数：第一个物体露在外面9个面，增加2个小正方体后，第二个物体露在外面14个面，再增加2个，第三个物体露在外面19个面，继续增加2个，第四个物体露在外面24个面。接着计算相邻面数的差值：14-9=5，19-14=5，24-19=5，由此就能得出每增加2个小正方体时面数的变化规律。
【解析】
1. 统计各摆放状态露在外面的面数：
第1个物体：露在外面的面数为9；
第2个物体（比第1个多2个小正方体）：露在外面的面数为14；
第3个物体（比第2个多2个小正方体）：露在外面的面数为19；
第4个物体（比第3个多2个小正方体）：露在外面的面数为24；
2. 计算相邻物体露在外面的面数差：
$14 - 9 = 5$，$19 - 14 = 5$，$24 - 19 = 5$；
3. 总结规律：每增加2个小正方体，露在外面的面数都比前一个物体多5。
【答案】
9
14
19
24
5
【知识点】
立体图形露在外面的面，规律归纳
【点评】
本题主要考查学生对立体图形露在外面的面的观察能力和规律归纳能力，通过计算不同摆放方式下的面数，分析差值得出规律，有助于提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
