1. (教材 $ P_{101}T_6 $ 变式)如图, $ CA $, $ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线,切点分别为 $ A $, $ D $, $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,连接 $ AD $.
(1)求证: $ \angle ACD = 2\angle BAD $;
(2)若 $ AC = 8 $, $ AB = 12 $,求 $ AD $ 的长.

解：(1) 连接 $ OC $，交 $ AD $ 于点 $ M $，证 $ OC \perp AD $，
$ \therefore \angle BAD = \angle ACO = \frac{1}{2} \angle ACD $，
$ \therefore \angle ACD = 2 \angle BAD $；
(2) $ \because AC = 8 $，$ AO = 6 $，$ \therefore OC = 10 $。
$ \because AC \cdot AO = OC \cdot AM $，
$ \therefore AM = \frac{8 \times 6}{10} = \frac{24}{5} $，
$ \therefore AD = 2AM = \frac{48}{5} $。

2. (教材 $ P_{101}T_6 $ 变式)如图, $ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,过圆上一点 $ D $ 作 $ \odot O $ 的切线 $ CD $,交 $ BA $ 的延长线于点 $ C $,过点 $ O $ 作 $ OE// AD $,交 $ CD $ 的延长线于点 $ E $,连接 $ BE $.
(1)直线 $ BE $ 与 $ \odot O $ 相切吗? 并说明理由;
(2)若 $ CA = 2 $, $ CD = 4 $,求 $ DE $ 的长.

解：(1) 直线 $ BE $ 与 $ \odot O $ 相切。理由如下：连接 $ OD $。
$ \because CD $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $，
$ \therefore \angle ODE = 90^{\circ} $。$ \because AD // OE $，
$ \therefore \angle ADO = \angle DOE $，
$ \angle DAO = \angle EOB $，
$ \because OD = OA $，$ \therefore \angle ADO = \angle DAO $，
$ \therefore \angle DOE = \angle EOB $。
$ \because OD = OB $，$ OE = OE $，
$ \therefore \triangle DOE \cong \triangle BOE (SAS) $，
$ \therefore \angle OBE = \angle ODE = 90^{\circ} $。
$ \because OB $ 是 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore $ 直线 $ BE $ 与 $ \odot O $ 相切；
(2) 设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $。
在 $ Rt \triangle ODC $ 中，
$ OD^{2} + DC^{2} = OC^{2} $，
$ \therefore r^{2} + 4^{2} = (r + 2)^{2} $，
$ \therefore r = 3 $，$ \therefore AB = 2r = 6 $，
$ \therefore BC = AC + AB = 2 + 6 = 8 $，
由 (1) 得 $ \triangle DOE \cong \triangle BOE $，
$ \therefore DE = BE $。在 $ Rt \triangle BCE $ 中，
$ BC^{2} + BE^{2} = CE^{2} $，
$ \therefore 8^{2} + BE^{2} = (4 + DE)^{2} $，
$ \therefore 64 + DE^{2} = (4 + DE)^{2} $，
$ \therefore DE = 6 $，$ \therefore DE $ 的长为 $ 6 $。

3. (2024 通辽中考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ O $ 为 $ AC $ 边上一点,以点 $ O $ 为圆心, $ OC $ 为半径作圆与 $ AB $ 相切于点 $ D $,连接 $ CD $.
(1)求证: $ \angle ABC = 2\angle ACD $;
(2)若 $ AC = 8 $, $ BC = 6 $,求 $ \odot O $ 的半径.

解：(1) 连接 $ OD $。
$ \because AB $ 为 $ \odot O $ 的切线，
$ \therefore OD \perp AB $，
$ \therefore \angle ODA = \angle ODB = 90^{\circ} $。
$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABC + \angle COD = 180^{\circ} $，
$ \because \angle AOD + \angle COD = 180^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABC = \angle AOD $。
$ \because \angle AOD = 2 \angle ACD $，
$ \therefore \angle ABC = 2 \angle ACD $；
(2) 设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，
则 $ OD = OC = r $，$ OA = 8 - r $，
在 $ Rt \triangle ACB $ 中，
$ \because AC = 8 $，$ BC = 6 $，
$ \therefore AB = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10 $。
$ \because OC \perp BC $，$ OC $ 是 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore BC $ 为 $ \odot O $ 的切线，
$ \because AB $ 为 $ \odot O $ 的切线，
$ \therefore BD = BC = 6 $，
$ \therefore AD = 4 $，在 $ Rt \triangle AOD $ 中，
$ r^{2} + 4^{2} = (8 - r)^{2} $，
解得 $ r = 3 $，即 $ \odot O $ 的半径为 $ 3 $。