【教材母题】(教材 $ P_{102}T_{11} $ 变式)如图,$ AB $,$ BC $,$ CD $ 分别与 $ \odot O $ 相切于 $ E $,$ F $,$ G $ 三点,且 $ AB // CD $.
(1) 求证：$ OB \perp OC $;
(2) 若 $ BO = 6 $,$ CO = 8 $,求 $ \odot O $ 的半径.

解:(1)连接OE,OF,OG,则OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,∴BO平分∠ABC,CO平分∠BCD.
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°,∴OB⊥OC;
(2)BC= $\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}$
=$\sqrt{6^{2}+8^{2}}$=10.
∵OB·OC=BC·OF,
∴OF=$\frac{6×8}{10}$=4.8.
∴⊙O的半径为4.8.

【教材变式 1】如图,$ \odot O $ 为四边形 $ ABCD $ 的内切圆,$ M $,$ N $,$ F $,$ G $ 为切点,$ \angle A = \angle B = 90^{\circ} $.
(1) 求证：$ AB + CD = AD + BC $;
(2) 若 $ AD = 3 $,$ BC = 6 $,求 $ \odot O $ 的半径.

解:(1)∵AM=AG,BM=BN,DG=DF,CN=CF,∴AB+CD=AD+BC;
(2)过点D作DH⊥BC于点H,则四边形ABHD为矩形，∴AB=DH.连接OM,ON,OG,易知四边形OMAG和四边形OMBN均为正方形，可得G,O,N三点共线.
设⊙O的半径为r,则DH=2r,
由(1)知CD=AD+BC−AB=9-2r,在Rt△CDH中,
(9-2r)$^{2}$=(2r)$^{2}$+3$^{2}$,解得r=2,∴⊙O的半径为2.

【教材变式 2】(武汉中考改)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB // CD $,$ AD \perp AB $,以点 $ D $ 为圆心,$ AD $ 为半径的弧恰好与 $ BC $ 相切,切点为 $ E $.
(1) 求证：$ BC = CD $;
(2) 若 $ \frac{AB}{CD} = \frac{1}{3} $,求 $ \frac{AD}{BC} $ 的值.

解:(1)连接DB,
∵AD是⊙D的半径,AD⊥AB,∴AB是⊙D的切线.
∵⊙D与BC相切于点E,
∴∠CBD=∠ABD,
∵AB//CD,∴∠ABD=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD;
(2)连接DE,设AB=m,
∵$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$,∴CB=CD=3m.
∵AB,BE是⊙D的切线,
∴EB=AB=m,
∴CE=CB-EB=3m-m=2m,
∵∠CED=90°,
∴AD=DE=$\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}$=$\sqrt{(3m)^{2}-(2m)^{2}}$=$\sqrt{5}$m,
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}m}{3m}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$.