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1. 在$□ ABCD$中，$AB = 10$，$BC = 14$，$E$、$F$分别为边$BC$、$AD$上的点。若四边形$AECF$为正方形，则$AE$的长为(
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
D
)A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
答案
1. D
解析
设正方形$AECF$的边长为$x$，即$AE = x$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 14$，$AB = CD = 10$，$AD// BC$，$\angle B = \angle D$。
由于四边形$AECF$是正方形，所以$AE = EC = CF = AF = x$，$\angle AEB = \angle DFC = 90°$。
在$Rt\triangle ABE$中，$BE = BC - EC = 14 - x$，根据勾股定理可得：$AB^2 = AE^2 + BE^2$，即$10^2 = x^2 + (14 - x)^2$。
展开方程：$100 = x^2 + 196 - 28x + x^2$，化简得$2x^2 - 28x + 96 = 0$，即$x^2 - 14x + 48 = 0$。
因式分解：$(x - 6)(x - 8) = 0$，解得$x = 6$或$x = 8$。
经检验，$x = 6$和$x = 8$均符合题意。
$AE$的长为$6$或$8$。
D
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 14$，$AB = CD = 10$，$AD// BC$，$\angle B = \angle D$。
由于四边形$AECF$是正方形，所以$AE = EC = CF = AF = x$，$\angle AEB = \angle DFC = 90°$。
在$Rt\triangle ABE$中，$BE = BC - EC = 14 - x$，根据勾股定理可得：$AB^2 = AE^2 + BE^2$，即$10^2 = x^2 + (14 - x)^2$。
展开方程：$100 = x^2 + 196 - 28x + x^2$，化简得$2x^2 - 28x + 96 = 0$，即$x^2 - 14x + 48 = 0$。
因式分解：$(x - 6)(x - 8) = 0$，解得$x = 6$或$x = 8$。
经检验，$x = 6$和$x = 8$均符合题意。
$AE$的长为$6$或$8$。
D
2. 如图，小明同学用长$11\mathrm{cm}$、宽$7\mathrm{cm}$的矩形纸板制作一个底面积为$21\mathrm{cm}^2$的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折起即可(损耗不计)。设剪去的正方形的边长为$x\mathrm{cm}$，则可列出关于$x$的方程为
$(11 - 2x)(7 - 2x) = 21$
(不必化简)。答案
2. $(11 - 2x)(7 - 2x) = 21$
3. (教材P30习题1.4第5题变式)(2023·鸡西)如图，在长为$100\mathrm{m}$、宽为$50\mathrm{m}$的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路。若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是$3600\mathrm{m}^2$，则小路的宽度为
5
$\mathrm{m}$。答案
3. 5
解析
设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，矩形空地的长为$100\ \mathrm{m}$，宽为$50\ \mathrm{m}$，修筑四条宽度相等的小路（两条纵向，两条横向）后，余下部分种花卉的面积为$3600\ \mathrm{m}^2$。此时，种植花卉部分的长为$(100 - 2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(50 - 2x)\ \mathrm{m}$，可列方程：
$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$
展开并整理得：
$4x^2 - 300x + 1400 = 0$
化简为：
$x^2 - 75x + 350 = 0$
因式分解：
$(x - 5)(x - 70) = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 70$。
因为$x = 70$时，$50 - 2x = 50 - 140 = -90 ＜ 0$（不合题意，舍去），所以$x = 5$。
5
根据题意，矩形空地的长为$100\ \mathrm{m}$，宽为$50\ \mathrm{m}$，修筑四条宽度相等的小路（两条纵向，两条横向）后，余下部分种花卉的面积为$3600\ \mathrm{m}^2$。此时，种植花卉部分的长为$(100 - 2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(50 - 2x)\ \mathrm{m}$，可列方程：
$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$
展开并整理得：
$4x^2 - 300x + 1400 = 0$
化简为：
$x^2 - 75x + 350 = 0$
因式分解：
$(x - 5)(x - 70) = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 70$。
因为$x = 70$时，$50 - 2x = 50 - 140 = -90 ＜ 0$（不合题意，舍去），所以$x = 5$。
5
4. 如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为$35\mathrm{m}$、$15\mathrm{m}$。现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽各增加相同的长度后，得到新的矩形绿地。
(1)若扩充后的矩形绿地的面积为$800\mathrm{m}^2$，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，若实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$，则新的矩形绿地的面积为
(1)若扩充后的矩形绿地的面积为$800\mathrm{m}^2$，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，若实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$，则新的矩形绿地的面积为
1500
$\mathrm{m}^2$。答案
4. (1) 设将原矩形绿地的长、宽各增加$x$m，则新的矩形绿地的长为$(35 + x)$m，宽为$(15 + x)$m. 根据题意，得$(35 + x)(15 + x) = 800$. 整理，得$x^{2} + 50x - 275 = 0$，解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = -55$（不合题意，舍去）. 此时$35 + x = 35 + 5 = 40$，$15 + x = 15 + 5 = 20$. 答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m
(2) 1500 解析：设将原矩形绿地的长、宽各增加$y$m，则新的矩形绿地的长为$(35 + y)$m，宽为$(15 + y)$m. 根据题意，得$(35 + y):(15 + y) = 5:3$，即$3(35 + y) = 5(15 + y)$，解得$y = 15$.
∴新的矩形绿地的面积为$(35 + 15)×(15 + 15) = 1500(m^{2})$.
(2) 1500 解析：设将原矩形绿地的长、宽各增加$y$m，则新的矩形绿地的长为$(35 + y)$m，宽为$(15 + y)$m. 根据题意，得$(35 + y):(15 + y) = 5:3$，即$3(35 + y) = 5(15 + y)$，解得$y = 15$.
∴新的矩形绿地的面积为$(35 + 15)×(15 + 15) = 1500(m^{2})$.
5. 用一根长为$40\mathrm{cm}$的绳子围成一个面积为$a\mathrm{cm}^2$的矩形，则$a$的值不可能为(
A.20
B.40
C.100
D.120
D
)A.20
B.40
C.100
D.120
答案
5. D
解析
设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$\frac{40 - 2x}{2}=(20 - x)\ cm$。
面积$a=x(20 - x)=-x^{2}+20x$。
对于二次函数$y=-x^{2}+20x$，其对称轴为$x=-\frac{20}{2×(-1)}=10$。
当$x=10$时，$a$取得最大值，$a_{ max}=-10^{2}+20×10=100$。
因为$120＞100$，所以$a$的值不可能为$120$。
D
面积$a=x(20 - x)=-x^{2}+20x$。
对于二次函数$y=-x^{2}+20x$，其对称轴为$x=-\frac{20}{2×(-1)}=10$。
当$x=10$时，$a$取得最大值，$a_{ max}=-10^{2}+20×10=100$。
因为$120＞100$，所以$a$的值不可能为$120$。
D
6. (2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段$10\mathrm{m}$长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长$5.5\mathrm{m}$)的矩形鸭舍，其面积为$15\mathrm{m}^2$，在鸭舍侧面中间位置留一个$1\mathrm{m}$宽的门(由其他材料制成)，则$BC$的长为(
A.$5\mathrm{m}$或$6\mathrm{m}$
B.$2.5\mathrm{m}$或$3\mathrm{m}$
C.$5\mathrm{m}$
D.$3\mathrm{m}$
C
)A.$5\mathrm{m}$或$6\mathrm{m}$
B.$2.5\mathrm{m}$或$3\mathrm{m}$
C.$5\mathrm{m}$
D.$3\mathrm{m}$
答案
6. C 解析：设$BC$的长为$x$m，则$AB$的长为$\frac{1}{2}(10 + 1 - x)$m. 根据题意，得$\frac{1}{2}(10 + 1 - x)x = 15$，解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = 6 ＞ 5.5$（不合题意，舍去）.
∴$BC$的长为5m.
∴$BC$的长为5m.
