8. (2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数$y=ax$和$y=x+a$(a为常数,$a＜0$)的图象可能是 (
]
D
)]答案
8. D
解析
解：
∵ $a ＜ 0$，
函数 $y = ax$ 为正比例函数，斜率 $a ＜ 0$，图象过原点且经过第二、四象限；
函数 $y = x + a$ 为一次函数，斜率 $1 ＞ 0$，截距 $a ＜ 0$，图象经过第一、三、四象限。
结合选项，只有 D 符合上述特征。
答案：D
∵ $a ＜ 0$，
函数 $y = ax$ 为正比例函数，斜率 $a ＜ 0$，图象过原点且经过第二、四象限；
函数 $y = x + a$ 为一次函数，斜率 $1 ＞ 0$，截距 $a ＜ 0$，图象经过第一、三、四象限。
结合选项，只有 D 符合上述特征。
答案：D
9. (2023·苏州)已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$,则$k^{2}-b^{2}$的值为
－6
.答案
9. －6
解析
解：将点$(1,3)$和$(-1,2)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得$k=\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$。
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×(\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=3×(-2)=-6$
$-6$
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得$k=\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$。
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×(\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=3×(-2)=-6$
$-6$
10. (2024·广安)如图,直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A,B,将$\triangle AOB$绕点A按逆时针方向旋转$90^{\circ }$得到$\triangle ACD$,则点D的坐标为
]
(－3,1)
.]答案
10. (－3,1)
11. 已知第一象限内的点P在直线$y=-x+5$上,点A的坐标为$(4,0)$,设$\triangle AOP$的面积为S.
(1) 当点P的横坐标为2时,求$\triangle AOP$的面积;
(2) 当$S=4$时,求点P的坐标;
(3) 求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图象.
(1) 当点P的横坐标为2时,求$\triangle AOP$的面积;
(2) 当$S=4$时,求点P的坐标;
(3) 求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图象.
答案
11. (1) 把 $x = 2$ 代入 $y = -x + 5$，得 $y = -2 + 5 = 3$，
∴ 点 P 的坐标为(2,3)．
∵ 点 A 的坐标为(4,0)，
∴ $OA = 4$，
∴ $S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA · y_P = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$
(2) 当 $S = 4$ 时，$\frac{1}{2}OA · |y_P| = 4$．
∵ 点 P 在第一象限内，A(4,0)，
∴ $OA = 4$,$y_P ＞ 0$，
∴ $y_P = 2$．在 $y = -x + 5$ 中，令 $y = 2$，得 $x = 3$，
∴ 点 P 的坐标为(3,2)
(3) 设 P(x,－x + 5)．根据题意，得 $S = \frac{1}{2}OA · |y_P| = \frac{1}{2} × 4 · y_P = 2(－x + 5) = －2x + 10$．
∵ 点 P 在第一象限，
∴ $\begin{cases}x ＞ 0,\\－x + 5 ＞ 0,\end{cases}$
解得 $0 ＜ x ＜ 5$，
∴ S 关于 x 的函数表达式为
$S = －2x + 10(0 ＜ x ＜ 5)$，函数图象如图所示
12. 如图①,点A的坐标是$(0,1)$,B是x轴正半轴上的一个动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使点C在第一象限内,$∠BAC=90^{\circ }$.设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y.
(1) 求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2) 在图②中画出(1)中函数的图象.
]
(1) 求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2) 在图②中画出(1)中函数的图象.
]答案
12. (1) 如图①，过点 C 作 $CH \perp y$ 轴，垂足为 H，则$\angle AHC = 90°$．
∵ 点 C 的纵坐标为 y，
∴ $OH = y$．
∵ 点 A 的坐标是(0,1)，
∴ $OA = 1$．
∵ $\triangle ABC$ 是以 AB 为边的等腰直角三角形，
∴ $AC = BA$．
∵ $\angle BAC = 90°$，
∴ $\angle HAC + \angle OAB = 90°$．
∵ $\angle BOA = 90°$，
∴ $\angle OBA + \angle OAB = 90°$，
∴ $\angle HAC = \angle OBA$．在 $\triangle HAC$ 和 $\triangle OBA$ 中，$\begin{cases}\angle AHC = \angle BOA,\\\angle HAC = \angle OBA,\\AC = BA,\end{cases}$
∴ $\triangle HAC \cong \triangle OBA$(AAS)，
∴ $AH = BO$．
∵ 点 B 的横坐标为 x，
∴ $AH = BO = x$，
∴ $OH = OA + AH = 1 + x$，
∴ $y = x + 1$．
∵ B 是 x 轴正半轴上的一个动点，
∴ 自变量 x 的取值范围是 $x ＞ 0$
(2) 如图②所示 解析：不妨取点(0,1),(1,2)画图．画图时，注意自变量的取值范围．
