9. 若方程$x^{2} - 3x = 0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$x_{1} - x_{2}$的值为.

$\pm3$

方程$x^{2}-3x=0$因式分解得$x(x - 3)=0$，则$x=0$或$x - 3=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$或$x_{1}=3$，$x_{2}=0$。当$x_{1}=0$，$x_{2}=3$时，$x_{1}-x_{2}=0 - 3=-3$；当$x_{1}=3$，$x_{2}=0$时，$x_{1}-x_{2}=3 - 0=3$。所以$x_{1}-x_{2}=\pm3$。

10. (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$的两个根，则这个三角形的周长为.

17

解方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$，因式分解为$(x - 3)(x - 7) = 0$，得到两个根$x_1 = 3$，$x_2 = 7$。
根据题意，等腰三角形的两边长分别是3和7。
若3为腰长，由于$3+3＜7$（不满足三角形任意两边之和大于第三边），所以不能构成三角形，舍去。
若7为腰长，由于$7 + 7 ＞ 3$，$7 + 3 ＞ 7$，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长为$7 + 7 + 3 = 17$。

11. 用因式分解法解下列方程：
（1）$2(x - 3) = -3(x - 3)^{2}$；
（2）（2024·苏州期末）$x^{2} - 4x = 2x - 8$；
（3）$4(x - 2)^{2} = 25(x + 3)^{2}$；
（4）$-x^{2} - 5 = 2\sqrt{5}x$；
（5）$2(8 - x)^{2} = x^{2} - 64$；
（6）$(y - 1)^{2} - 6(1 - y) + 9 = 0$.

（1）移项得$2(x - 3) + 3(x - 3)^2 = 0$，
提公因式$(x - 3)$得$(x - 3)[2 + 3(x - 3)] = 0$，
即$(x - 3)(3x - 7) = 0$，
$x - 3 = 0$或$3x - 7 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{7}{3}$。
（2）移项得$x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$，
合并同类项得$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 4) = 0$，
$x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
（3）移项得$4(x - 2)^2 - 25(x + 3)^2 = 0$，
平方差公式得$[2(x - 2) - 5(x + 3)][2(x - 2) + 5(x + 3)] = 0$，
即$(-3x - 19)(7x + 11) = 0$，
$-3x - 19 = 0$或$7x + 11 = 0$，
解得$x_1 = -\frac{19}{3}$，$x_2 = -\frac{11}{7}$。
（4）移项得$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$，
因式分解得$(x + \sqrt{5})^2 = 0$，
$x + \sqrt{5} = 0$，
解得$x_1 = x_2 = -\sqrt{5}$。
（5）右边因式分解得$2(8 - x)^2 - (x - 8)(x + 8) = 0$，
即$2(x - 8)^2 - (x - 8)(x + 8) = 0$，
提公因式$(x - 8)$得$(x - 8)[2(x - 8) - (x + 8)] = 0$，
即$(x - 8)(x - 24) = 0$，
$x - 8 = 0$或$x - 24 = 0$，
解得$x_1 = 8$，$x_2 = 24$。
（6）变形得$(y - 1)^2 + 6(y - 1) + 9 = 0$，
因式分解得$(y - 1 + 3)^2 = 0$，
即$(y + 2)^2 = 0$，
$y + 2 = 0$，
解得$y_1 = y_2 = -2$。

12. （新考法·阅读理解）阅读下面的解答过程，请判断是否有错，若有错，请你写出正确的解答过程.
已知$x = m$是关于$x$的方程$mx^{2} - 2x + m = 0$的一个根，求$m$的值.
解：把$x = m$代入原方程，化简，得$m^{3} = m$.
两边同时除以$m$，得$m^{2} = 1$，解得$m = 1$.
把$m = 1$代入原方程检验，可知$m = 1$符合题意.
∴$m$的值是1.

有错，正确解答过程如下：
把$x = m$代入方程$mx^{2}-2x + m = 0$中，得$m× m^{2}-2m + m = 0$，即$m^{3}-m = 0$，因式分解得$m(m^{2}-1)=0$，进一步因式分解得$m(m + 1)(m - 1)=0$。
则$m = 0$或$m + 1 = 0$或$m - 1 = 0$，解得$m = 0$或$m=-1$或$m = 1$。
当$m = 0$时，原方程为$-2x = 0$，是一个一元一次方程；
当$m = 1$时，原方程为$x^{2}-2x + 1 = 0$，有解；
当$m=-1$时，原方程为$-x^{2}-2x - 1 = 0$，即$x^{2}+2x + 1 = 0$，有解。
所以$m$的值为$0$或$\pm1$。

该解答过程有误。
把$x = m$代入原方程$mx^{2} - 2x + m = 0$，得：
$m \cdot m^{2} - 2 \cdot m + m = 0$
化简得：$m^{3} - m = 0$
即$m(m^{2} - 1) = 0$
$m(m - 1)(m + 1) = 0$
解得$m = 0$或$m = 1$或$m = -1$
当$m = 0$时，原方程化为$-2x = 0$，是一元一次方程，有一个根$x = 0$，符合题意；
当$m = 1$时，原方程化为$x^{2} - 2x + 1 = 0$，即$(x - 1)^{2} = 0$，根为$x = 1$，符合题意；
当$m = -1$时，原方程化为$-x^{2} - 2x - 1 = 0$，即$x^{2} + 2x + 1 = 0$，$(x + 1)^{2} = 0$，根为$x = -1$，符合题意。
∴$m$的值是$0$或$1$或$-1$。