1. 一元二次方程$3x(x - 5) = 5(5 - x)$的根是()

A.$x_{1} = x_{2} = -\frac{5}{3}$
B.$x_{1} = x_{2} = 5$
C.$x_{1} = \frac{5}{3},x_{2} = 5$
D.$x_{1} = -\frac{5}{3},x_{2} = 5$

D

$3x(x - 5) = 5(5 - x)$
$3x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$
$(x - 5)(3x + 5) = 0$
$x - 5 = 0$或$3x + 5 = 0$
$x_1 = 5$，$x_2 = -\frac{5}{3}$

2. 方程$x^{2} - 2x - 24 = 0$的根是()

A.$x_{1} = 6,x_{2} = 4$
B.$x_{1} = 6,x_{2} = -4$
C.$x_{1} = -6,x_{2} = 4$
D.$x_{1} = -6,x_{2} = -4$

B

原方程为 $x^{2} - 2x - 24 = 0$，
使用因式分解法，需要找到两个数，它们的和为-2，且它们的乘积为-24，
这两个数分别是-6和4，因为 $-6 + 4 = -2$ 且 $-6 × 4 = -24$，
根据这两个数，可以将原方程分解为：
$(x - 6)(x + 4) = 0$，
由此，得到两个方程：
$x - 6 = 0$，
解得 $x_{1} = 6$，
$x + 4 = 0$，
解得 $x_{2} = -4$，
所以，方程的解为 $x_{1} = 6$ 和 $x_{2} = -4$。

3. (1)一元二次方程$(x - 2)(x + 7) = 0$的根是；
(2)(2024·滨州)方程$x^{2} - 4x = 0$的根为.

(1)$x_{1} = 2$，$x_{2} = - 7$；
(2)$x_{1} = 0$，$x_{2} = 4$。

(1)根据因式分解法，若$(x - 2)(x + 7) = 0$，则$x - 2 = 0$或$x + 7 = 0$。
解得：$x_{1} = 2$，$x_{2} = - 7$。
(2)首先提取公因式x，得到$x(x - 4) = 0$。
根据因式分解法，若$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$。
解得：$x_{1} = 0$，$x_{2} = 4$。

4. 一元二次方程$x^{2} + 3 - 2\sqrt{3}x = 0$的根是.

$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$

原方程可化为$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$，因式分解得$(x - \sqrt{3})^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。

5. 关于$x$的方程$x^{2} + 4kx + 2k^{2} = 4$的一个解是$x = -2$，则$k$的值为.

0或4

将$x=-2$代入方程$x^{2}+4kx+2k^{2}=4$，得$(-2)^{2}+4k×(-2)+2k^{2}=4$，即$4 - 8k + 2k^{2}=4$。化简得$2k^{2}-8k=0$，因式分解为$2k(k - 4)=0$，解得$k=0$或$k=4$。

6. 用因式分解法解下列方程：
（1）$-4x^{2} + \sqrt{5}x = 0$；
（2）$36x^{2} + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
（3）（2025·太仓期末）$(x - 2)^{2} = 3(x - 2)$；
（4）$(3y - 7)^{2} - (y + 1)^{2} = 0$.

（1）
$-4x^{2}+\sqrt{5}x = 0$
$x(-4x + \sqrt{5}) = 0$
则$x = 0$或$-4x+\sqrt{5}=0$
由$-4x+\sqrt{5}=0$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{4}$
所以$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$
（2）
$36x^{2}+6x+\frac{1}{4}=0$
$(6x)^{2}+2×6x×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=0$
$(6x + \frac{1}{2})^{2}=0$
$6x+\frac{1}{2}=0$
$6x=-\frac{1}{2}$
$x=-\frac{1}{12}$
所以$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{12}$
（3）
$(x - 2)^{2}=3(x - 2)$
$(x - 2)^{2}-3(x - 2)=0$
$(x - 2)(x - 2 - 3)=0$
$(x - 2)(x - 5)=0$
则$x - 2 = 0$或$x - 5 = 0$
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=5$
（4）
$(3y - 7)^{2}-(y + 1)^{2}=0$
$[(3y - 7)+(y + 1)][(3y - 7)-(y + 1)]=0$
$(3y - 7+y + 1)(3y - 7 - y - 1)=0$
$(4y - 6)(2y - 8)=0$
$2(2y - 3)×2(y - 4)=0$
$(2y - 3)(y - 4)=0$
则$2y - 3 = 0$或$y - 4 = 0$
解得$y_{1}=\frac{3}{2}$，$y_{2}=4$

7. 已知关于$x$的一元二次方程$(k - 6)x^{2} + 6x + k^{2} - 6k = 0$的一个根是$x = 0$，则$k$的值是()

A.6
B.0
C.6或0
D.-6或0

B

将$x=0$代入方程$(k - 6)x^{2} + 6x + k^{2} - 6k = 0$，得$k^{2} - 6k = 0$，即$k(k - 6) = 0$，解得$k = 0$或$k = 6$。
因为方程为一元二次方程，所以二次项系数$k - 6\neq 0$，即$k\neq 6$。
所以$k$的值为$0$。

8. (2023·临沂改编)已知一元二次方程$x^{2} - 14x + 48 = 0$的两个根是菱形的两条对角线的长，则这个菱形的面积为()

A.12
B.20
C.24
D.48

C

对于一元二次方程$x^{2}-14x + 48=0$，
根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-14x + 48=0$中，$a = 1$，$c = 48$，设方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_{1}x_{2}=48$。
因为菱形的面积$S$等于两条对角线乘积的一半，已知两个根是菱形的两条对角线的长，设两条对角线分别为$x_1$，$x_2$，则$S=\frac{1}{2}x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}x_{2}=48$代入可得$S=\frac{1}{2}×48 = 24$。