9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$和$BE$是高，它们相交于点$H$，且$AE = BE$，求证：$AH = 2BD$。

【解析】：
- 因为$AD$和$BE$是高，所以$\angle ADC=\angle BEC=\angle ADB = 90^{\circ}$。
- 又因为$\angle C+\angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle CBE=90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle CAD=\angle CBE$。
- 在$\triangle AHE$和$\triangle BCE$中：
$\angle CAD=\angle CBE$（已证）。
$AE = BE$（已知）。
$\angle AEH=\angle BEC = 90^{\circ}$（高的定义）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle AHE\cong\triangle BCE$。
由全等三角形的性质可知$AH = BC$。
- 因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$BC = 2BD$。
- 所以$AH = 2BD$。
【答案】：$AH = 2BD$得证。

10. 如图，在四边形$ABDC$中，$AB = 2AC$，$AD$平分$\angle BAC$，$AD = BD$。求证：$CD\bot AC$。

提示：△AHE≌△BEC，得AH=BC，再利用三线合一得BC=2BD∴AH=2BD
11.证明：取AB的中点M，连结DM，∵AD=BD
∴DM⊥AB，且AM=BM，AB=2AC，∴AM=AC，
∵AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠CAD，又AD=AD，
∴△AMD≌△ACD，∴∠ACD=∠AMD=90°，即
CD⊥AC.

11. 在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积。（以下的图供备用，画出符合要求的所有情形，并在下面注上三角形的面积）

【解析】：
- 当以矩形长$6$为底边时：
第三个顶点在矩形长对应的另一边上，此时三角形的高为$4$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S = \frac{1}{2}\times6\times4 = 12$。
当以矩形宽$4$为底边时：
第三个顶点在矩形宽对应的另一边上，此时三角形的高为$6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S=\frac{1}{2}\times4\times6 = 12$。
当以矩形长$6$为腰时：
第三个顶点在矩形宽上，此时底为$4$，根据勾股定理可算出高$h=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，但这种情况不符合题意（因为要以矩形的边为等腰三角形的边且第三个顶点在矩形边上，这里计算复杂且不符合常规作图），换一种思路，若以长为腰，第三个顶点在宽上，此时底为$4$，高为$6$（可通过平移等方法理解），面积$S=\frac{1}{2}\times4\times6 = 12$（这种情况和以宽为底情况类似）；若以长$6$为腰，第三个顶点在长上，此时底为$6$，高为$4$，面积$S=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$。
当以矩形宽$4$为腰时：
若第三个顶点在长上，以宽$4$为腰，底为$6$，高为$4$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12$；若第三个顶点在宽上，以宽$4$为腰，底为$4$，高为$6$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S=\frac{1}{2}\times4\times6 = 12$；还有一种特殊情况，当等腰三角形以宽$4$为腰，且第三个顶点在长上，底为$4$，此时高为$6$，面积$S = 8$（底为$4$，高为$4$，$S=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8$）；当等腰三角形以长$6$为腰，且第三个顶点在宽上，底为$6$，高为$4$，面积$S = 18$（底为$6$，高为$6$，$S=\frac{1}{2}\times6\times6 = 18$）。
【答案】：$8$ $12$ $12$ $12$ $12$ $18$