15. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂,第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃。已知$A(1,3),A_1(2,3),A_2(4,3),A_3(8,3),B(2,0),B_1(4,0),B_2(8,0),B_3(16,0)$。

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则$A_4$的坐标是, $B_4$的坐标是。
(2)若按第(1)题找到的规律,将△OAB进行n次变换,得到△OAₙBₙ,推测$A_n$的坐标是, $B_n$的坐标是。
(3)每次变换都由于三角形的变化了,跟随着三角形的形状也发生了变化,三角形被(选填“横”或“纵”)向(选填“放大”或“缩小”)到前一个三角形的倍。三角形的面积呢?。

15. (1)(16,3) (32,0) (2)$(2^n,3)$ $(2^{n+1},0)$
(3)面积 横 放大 2 三角形的面积也变为原来的2倍

【分析】
解题时先分别观察A、B两类点每次变换前后的坐标特征：首先看A系列点，纵坐标始终为3不变，横坐标依次为1、2、4、8，均为2的幂次；再看B系列点，纵坐标始终为0不变，横坐标依次为2、4、8、16，也为2的幂次，由此归纳坐标变化规律。再结合图形变换的特征，横坐标扩大、纵坐标不变，判断是横向伸缩变换，最后结合三角形面积公式分析面积变化规律。
【解析】
(1) 观察A点坐标：$A(1,3)=(2^0,3)$，$A_1(2,3)=(2^1,3)$，$A_2(4,3)=(2^2,3)$，$A_3(8,3)=(2^3,3)$，可得规律：第k次变换后$A_k$的横坐标为$2^k$，纵坐标恒为3，因此$A_4$的横坐标为$2^4=16$，坐标为$(16,3)$；
观察B点坐标：$B(2,0)=(2^1,0)$，$B_1(4,0)=(2^2,0)$，$B_2(8,0)=(2^3,0)$，$B_3(16,0)=(2^4,0)$，可得规律：第k次变换后$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$，纵坐标恒为0，因此$B_4$的横坐标为$2^{5}=32$，坐标为$(32,0)$。
(2) 由(1)中归纳的规律，n次变换后，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为3，即坐标为$(2^n,3)$；$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，即坐标为$(2^{n+1},0)$。
(3) 每次变换时，三角形的纵坐标没有变化，横坐标扩大为原来的2倍，即三角形的底边长变为原来的2倍，高不变，因此三角形的面积发生变化，是横向放大到前一个三角形的2倍；根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高不变、底扩大为原来的2倍，因此三角形的面积也变为原来的2倍。
【答案】
(1) $(16,3)$；$(32,0)$
(2) $(2^n,3)$；$(2^{n+1},0)$
(3) 面积；横；放大；2；变为原来的2倍
【知识点】
坐标规律探究；图形的伸缩变换；三角形面积计算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知点的坐标特征，从特殊案例归纳出一般规律，同时结合坐标变化判断图形的变换特征，再利用三角形面积公式推导面积变化规律，能很好地锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

16. 阅读理解:在平面直角坐标系中,已知$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,如何求$P_1P_2$的距离。如图,在$\mathrm{Rt}△ P_1P_2Q$中,$|P_1P_2|^2=|P_1Q|^2+|P_2Q|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$,所以$|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。因此,我们得到平面上两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$之间的距离公式为$|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。根据上面得到的公式,解决下列问题:
(1)已知点$P(2,6),Q(-3,-6)$,试求$P,Q$两点间的距离。
(2)已知点$M(m,5),N(1,2)$且$MN=5$,求$m$的值。
(3)求代数式$\sqrt{$$}+\sqrt{$$}$的最小值。

16. 解:(1)$|PQ|=\sqrt{(2+3)^2+(6+6)^2}=\sqrt{169}=13$
(2)$m=5$或$-3$
(3)$\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}$的最小值为点$(x,y)$到两点$(3,0)$和$(-3,-4)$的距离之和的最小值,$\because$当点$(x,y)$在以两点$(3,0)$和$(-3,-4)$为端点的线段上时,点$(x,y)$到两点$(3,0)$和$(-3,-4)$的距离之和的最小值,其最小值为以两点$(3,0)$和$(-3,-4)$为端点的线段长度,$\therefore\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}$的最小值为$\sqrt{3^2+3^2}+\sqrt{0^2+4^2}=2\sqrt{13}$

【分析】
本题是基于新定义的两点间距离公式的应用类问题，解题思路如下：
(1) 第一问为公式的直接应用，只需将P、Q两点的横纵坐标分别代入两点间距离公式计算即可，注意计算坐标差时符号不要出错；
(2) 第二问为公式的逆向应用，已知两点距离和两点的部分坐标，将已知量代入公式得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，注意平方开方后有正负两种情况，不要漏解；
(3) 第三问先观察代数式的结构，将两个根号分别对应两点间距离公式的形式，转化为动点(x,y)到两个定点的距离之和，再根据“两点之间线段最短”的原理，距离和的最小值就是两个定点之间的线段长度，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据两点间距离公式，将$P(2,6)$，$Q(-3,-6)$代入得：
$|PQ|=\sqrt{[2-(-3)]^2+[6-(-6)]^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
(2) 已知$M(m,5)$，$N(1,2)$，且$MN=5$，代入距离公式得：
$\sqrt{(m-1)^2+(5-2)^2}=5$
两边同时平方得：$(m-1)^2+9=25$
整理得：$(m-1)^2=16$
开平方得：$m-1=\pm4$
解得：$m=5$或$m=-3$
(3) 观察代数式结构，可将其转化为几何意义：
$\sqrt{(x-3)^2+y^2}$表示平面内任意一点$A(x,y)$到点$B(3,0)$的距离，$\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}$表示点$A(x,y)$到点$C(-3,-4)$的距离，因此代数式的值为$AB+AC$。
根据两点之间线段最短的原理，当点$A$落在线段$BC$上时，$AB+AC$取得最小值，最小值即为线段$BC$的长度。
计算$BC$的长度：$|BC|=\sqrt{[3-(-3)]^2+[0-(-4)]^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
所以代数式的最小值为$2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{m=5}$或$\boldsymbol{m=-3}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{13}}$
【知识点】
1. 两点间距离公式；2. 最短路径问题；3. 解含平方的方程
【点评】
本题属于材料阅读类题型，从公式的直接应用、逆向应用到几何转化应用，难度逐层递进，既考查了对新定义的理解和迁移应用能力，也考查了几何直观和转化思想的运用，是一道综合性较强的基础拓展题。
【难度系数】
0.6