登录
4.已知 y 是 x 的反比例函数，且其图象经过点(-6,-3).
(1)求 y 关于 x 的函数解析式.
(2)当 y=9 时，求 x 的值.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式.
(2)当 y=9 时，求 x 的值.
答案
4.解:(1)$y=\dfrac{18}{x}$.(2)$x=2$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，可分两步梳理思路：
1. 求解第一问时，先明确反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），已知函数图象过点$(-6,-3)$，说明该点坐标满足函数解析式，将点的横、纵坐标代入一般式即可求出未知系数$ k $，进而得到完整的函数解析式。
2. 求解第二问时，将$ y=9 $代入第一问求出的解析式中，得到关于$ x $的分式方程，解方程并检验分母不为0即可得到$ x $的值。
【解析】
(1) 设$ y $关于$ x $的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
∵ 函数图象经过点$(-6,-3)$，
∴ 将$ x=-6 $、$ y=-3 $代入解析式可得：
$ -3 = \frac{k}{-6} $
解得$ k = (-3)×(-6) = 18 $
因此$ y $关于$ x $的函数解析式为$ y=\frac{18}{x} $。
(2) 把$ y=9 $代入$ y=\frac{18}{x} $可得：
$ 9 = \frac{18}{x} $
两边同乘$ x $得$ 9x = 18 $，
解得$ x=2 $，
经检验，$ x=2 $时分母不为0，是原方程的解。
【答案】
(1)$ y=\dfrac{18}{x} $；(2)$ x=2 $
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，只要熟练掌握反比例函数的一般形式，按照步骤代入计算即可得分，属于基础必拿分题型。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基础应用，可分两步梳理思路：
1. 求解第一问时，先明确反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），已知函数图象过点$(-6,-3)$，说明该点坐标满足函数解析式，将点的横、纵坐标代入一般式即可求出未知系数$ k $，进而得到完整的函数解析式。
2. 求解第二问时，将$ y=9 $代入第一问求出的解析式中，得到关于$ x $的分式方程，解方程并检验分母不为0即可得到$ x $的值。
【解析】
(1) 设$ y $关于$ x $的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
∵ 函数图象经过点$(-6,-3)$，
∴ 将$ x=-6 $、$ y=-3 $代入解析式可得：
$ -3 = \frac{k}{-6} $
解得$ k = (-3)×(-6) = 18 $
因此$ y $关于$ x $的函数解析式为$ y=\frac{18}{x} $。
(2) 把$ y=9 $代入$ y=\frac{18}{x} $可得：
$ 9 = \frac{18}{x} $
两边同乘$ x $得$ 9x = 18 $，
解得$ x=2 $，
经检验，$ x=2 $时分母不为0，是原方程的解。
【答案】
(1)$ y=\dfrac{18}{x} $；(2)$ x=2 $
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，只要熟练掌握反比例函数的一般形式，按照步骤代入计算即可得分，属于基础必拿分题型。
【难度系数】
0.9
5.已知$y$与$x-2$成反比例，且当$x=-1$时，$y=3$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
答案
5.解:(1)$y=-\dfrac{9}{x-2}$.(2)$y=-3$.
解析
【分析】
(1) 首先根据“y与x-2成反比例”的条件，结合反比例的定义，可设出含待定系数k的函数表达式$y=\frac{k}{x-2}(k≠0)$；再将已知的x=-1、y=3代入表达式，即可求出k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问直接将x=5代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 解：
∵ y与$x-2$成反比例
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x-2} \quad (k≠0，k为常数)$
将$x=-1$，$y=3$代入上式得：
$3=\frac{k}{-1-2}$
解得$k=3×(-3)=-9$
∴ y关于x的函数解析式为$y=-\frac{9}{x-2}$
(2) 解：将$x=5$代入$y=-\frac{9}{x-2}$得：
$y=-\frac{9}{5-2}=-\frac{9}{3}=-3$
【答案】
(1)$y=-\dfrac{9}{x-2}$
(2)$y=-3$
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确根据成反比例的条件设出函数表达式，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
(1) 首先根据“y与x-2成反比例”的条件，结合反比例的定义，可设出含待定系数k的函数表达式$y=\frac{k}{x-2}(k≠0)$；再将已知的x=-1、y=3代入表达式，即可求出k的值，进而得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问直接将x=5代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 解：
∵ y与$x-2$成反比例
∴ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x-2} \quad (k≠0，k为常数)$
将$x=-1$，$y=3$代入上式得：
$3=\frac{k}{-1-2}$
解得$k=3×(-3)=-9$
∴ y关于x的函数解析式为$y=-\frac{9}{x-2}$
(2) 解：将$x=5$代入$y=-\frac{9}{x-2}$得：
$y=-\frac{9}{5-2}=-\frac{9}{3}=-3$
【答案】
(1)$y=-\dfrac{9}{x-2}$
(2)$y=-3$
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题的关键是正确根据成反比例的条件设出函数表达式，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
1.下列函数中，是反比例函数的是（
A.$y=-\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=2x+3$
D.$y=x^2$
B
）A.$y=-\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=2x+3$
D.$y=x^2$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要回忆反比例函数的定义，明确反比例函数的标准形式，再依次判断每个选项对应的函数类型，通过逐一核对排除不符合要求的选项，就能选出正确答案。反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），只要选项符合该形式即为正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-\frac{x}{3}$可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$y=\frac{1}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=1≠0$，是反比例函数；
选项C：$y=2x+3$符合一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的形式，属于一次函数，不是反比例函数；
选项D：$y=x^2$符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的形式，属于二次函数，不是反比例函数。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.一次函数的识别
3.二次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对各类常见函数定义的掌握，只要牢记不同函数的标准形式，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆反比例函数的定义，明确反比例函数的标准形式，再依次判断每个选项对应的函数类型，通过逐一核对排除不符合要求的选项，就能选出正确答案。反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），只要选项符合该形式即为正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-\frac{x}{3}$可变形为$y=-\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$y=\frac{1}{x}$符合反比例函数的标准形式，其中$k=1≠0$，是反比例函数；
选项C：$y=2x+3$符合一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的形式，属于一次函数，不是反比例函数；
选项D：$y=x^2$符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的形式，属于二次函数，不是反比例函数。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.一次函数的识别
3.二次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对各类常见函数定义的掌握，只要牢记不同函数的标准形式，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.如果函数$y=x^{m-2}$是反比例函数，那么m的值是（
A.2
B.$-1$
C.1
D.0
C
）A.2
B.$-1$
C.1
D.0
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量$x$的次数为$-1$。本题给出的函数$y=x^{m-2}$符合$y=kx^n$的形式，其中$k=1≠0$满足系数要求，因此只需令自变量的指数$m-2=-1$，解这个一元一次方程即可求出$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数自变量的次数为$-1$，因此对于函数$y=x^{m-2}$有：
$m-2=-1$
移项得：$m=-1+2$
解得：$m=1$
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对反比例函数定义中自变量次数要求的掌握，只要熟记相关定义就能快速解题，是反比例函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量$x$的次数为$-1$。本题给出的函数$y=x^{m-2}$符合$y=kx^n$的形式，其中$k=1≠0$满足系数要求，因此只需令自变量的指数$m-2=-1$，解这个一元一次方程即可求出$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数自变量的次数为$-1$，因此对于函数$y=x^{m-2}$有：
$m-2=-1$
移项得：$m=-1+2$
解得：$m=1$
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对反比例函数定义中自变量次数要求的掌握，只要熟记相关定义就能快速解题，是反比例函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
3.如果x与y成反比例，那么下表中“？”处应填
$6$
。答案
3.$6$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确成反比例的两个量的核心性质：两个相关联的量x、y成反比例时，它们的乘积是固定不变的常数（即$xy=k$，k为定值，$k≠0$）。解题第一步先利用表格中已知的一组x、y的值算出这个定值k，第二步再用定值k除以第二组已知的y的值，就能求出对应x的数值，也就是“？”处的答案。
【解析】
解：
∵x与y成反比例
∴x和y的乘积为定值，即$ xy = k $（k为常数，$ k ≠ 0 $）
将$ x=10 $，$ y=3 $代入得：
$ k = 10 × 3 = 30 $
当$ y=5 $时，代入$ x = \frac{k}{y} $得：
$ x = 30 ÷ 5 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
1.反比例的概念 2.反比例关系的应用
【点评】
本题是反比例概念的基础应用题，解题关键是掌握成反比例的两个量乘积为定值的性质，整体计算量小，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确成反比例的两个量的核心性质：两个相关联的量x、y成反比例时，它们的乘积是固定不变的常数（即$xy=k$，k为定值，$k≠0$）。解题第一步先利用表格中已知的一组x、y的值算出这个定值k，第二步再用定值k除以第二组已知的y的值，就能求出对应x的数值，也就是“？”处的答案。
【解析】
解：
∵x与y成反比例
∴x和y的乘积为定值，即$ xy = k $（k为常数，$ k ≠ 0 $）
将$ x=10 $，$ y=3 $代入得：
$ k = 10 × 3 = 30 $
当$ y=5 $时，代入$ x = \frac{k}{y} $得：
$ x = 30 ÷ 5 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
1.反比例的概念 2.反比例关系的应用
【点评】
本题是反比例概念的基础应用题，解题关键是掌握成反比例的两个量乘积为定值的性质，整体计算量小，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4.(跨学科融合)在一定条件下,乐器中弦的振动频率$f$(单位:Hz)与弦长$l$(单位:m)成反比例,即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数,$k≠0$).若某乐器的弦长$l$为0.8 m,振动频率$f$为200 Hz,则$k$的值为
$160$
.答案
4.$160$
解析
【分析】
本题给出了弦的振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，以及一组对应的$f$、$l$的数值，要求常数$k$的值。解题时可直接将已知的$f$和$l$的数值代入反比例函数解析式，通过解方程求出$k$的值即可，是反比例函数的基础应用。
【解析】
解：已知弦的振动频率与弦长满足反比例函数关系$ f=\frac{k}{l} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），
将$ l=0.8\ \mathrm{m} $，$ f=200\ \mathrm{Hz} $代入上述解析式，得：
$ 200 = \frac{k}{0.8} $
等式两边同时乘以0.8，解得：
$ k = 200 × 0.8 = 160 $
【答案】
160
【知识点】
反比例函数的概念；代入求值
【点评】
本题是跨学科融合类基础题，结合物理中弦振动的生活场景考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰，计算量小，只要掌握反比例函数的基本形式就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题给出了弦的振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，以及一组对应的$f$、$l$的数值，要求常数$k$的值。解题时可直接将已知的$f$和$l$的数值代入反比例函数解析式，通过解方程求出$k$的值即可，是反比例函数的基础应用。
【解析】
解：已知弦的振动频率与弦长满足反比例函数关系$ f=\frac{k}{l} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），
将$ l=0.8\ \mathrm{m} $，$ f=200\ \mathrm{Hz} $代入上述解析式，得：
$ 200 = \frac{k}{0.8} $
等式两边同时乘以0.8，解得：
$ k = 200 × 0.8 = 160 $
【答案】
160
【知识点】
反比例函数的概念；代入求值
【点评】
本题是跨学科融合类基础题，结合物理中弦振动的生活场景考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰，计算量小，只要掌握反比例函数的基本形式就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
5.已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 $ x=6 $ 时，$ y=1 $。
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式。
(2)当 $ x=-2 $ 时，求 y 的值。
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式。
(2)当 $ x=-2 $ 时，求 y 的值。
答案
5.解:(1)$y=\dfrac{6}{x}$.(2)$y=-3$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数。第(1)问求函数解析式，只需先设出反比例函数的一般形式，再将已知的$x=6$、$y=1$代入表达式，解出常数$k$即可得到解析式。第(2)问求$x=-2$时的$y$值，只需将$x=-2$代入第(1)问求出的解析式中，直接计算就能得到对应的函数值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将$x=6$，$y=1$代入解析式，得$1=\frac{k}{6}$，
解得$k=6$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，
得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{6}{x}$；(2)$y=-3$
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.待定系数法求解析式 3.求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数概念的理解，以及用待定系数法求函数解析式、代入求值的基本运算能力，是后续学习反比例函数性质与应用的基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数。第(1)问求函数解析式，只需先设出反比例函数的一般形式，再将已知的$x=6$、$y=1$代入表达式，解出常数$k$即可得到解析式。第(2)问求$x=-2$时的$y$值，只需将$x=-2$代入第(1)问求出的解析式中，直接计算就能得到对应的函数值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将$x=6$，$y=1$代入解析式，得$1=\frac{k}{6}$，
解得$k=6$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，
得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{6}{x}$；(2)$y=-3$
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.待定系数法求解析式 3.求函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数概念的理解，以及用待定系数法求函数解析式、代入求值的基本运算能力，是后续学习反比例函数性质与应用的基础。
【难度系数】
0.9
