例 如图,已知$CD ⊥ AB,BE ⊥ AC$,垂足分别为$D,E,BE,CD$交于点$O$,且$AO$平分$∠ BAC$,那么图中全等三角形共有对.

分析:$\because CD ⊥ AB,BE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ ODA = ∠ OEA = ∠ ODB = ∠ OEC = 90°$.
$\because AO$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ OAD = ∠ OAE$.
又 $AO = AO$,
$\therefore △ ADO ≌ △ AEO(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AD = AE$.
$\because ∠ CAD = ∠ BAE$,
$\therefore △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{ASA})$.
$\therefore ∠ B = ∠ C$.
$\therefore △ ABO ≌ △ ACO(\mathrm{AAS})$.
$\therefore BO = CO$.
$\therefore △ BDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$.
$\therefore$ 图中全等三角形共有4对.
答案:4

$\boldsymbol{4}$

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由CD⊥AB、BE⊥AC可得多个直角，结合AO平分∠BAC，优先找包含角平分线、公共边的三角形证明全等，再利用已证全等得到的边角相等的结论，逐步推导其他三角形全等，最后统计全等三角形的对数即可。
第一步：先证△ADO和△AEO全等，二者有公共边AO，角平分线得到的∠OAD=∠OAE，还有一组直角，满足AAS判定条件；
第二步：利用上一步得到的AD=AE，结合公共角∠CAD=∠BAE，还有一组直角，可证△ADC和△AEB全等，满足ASA判定条件；
第三步：利用上一步得到的∠B=∠C，结合角平分线得到的∠BAO=∠CAO，公共边AO，可证△ABO和△ACO全等，满足AAS判定条件；
第四步：利用上一步得到的BO=CO，结合一组直角、对顶角∠BOD=∠COE，可证△BDO和△CEO全等，满足AAS判定条件。
【解析】
解：已知$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore ∠ ODA=∠ OEA=∠ ODB=∠ OEC=90°$。
① 证明$△ ADO≌△ AEO$：
$\because AO$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ OAD=∠ OAE$，
在$△ ADO$和$△ AEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODA=∠ OEA\\ ∠ OAD=∠ OAE\\ AO=AO\end{array} $
$\therefore △ ADO≌△ AEO(\mathrm{AAS})$，为第1对全等三角形。
② 证明$△ ADC≌△ AEB$：
由$△ ADO≌△ AEO$得$AD=AE$，
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADC=∠ AEB=90°\\ AD=AE\\ ∠ CAD=∠ BAE(\mathrm{公共角})\end{array} $
$\therefore △ ADC≌△ AEB(\mathrm{ASA})$，为第2对全等三角形。
③ 证明$△ ABO≌△ ACO$：
由$△ ADC≌△ AEB$得$∠ B=∠ C$，
在$△ ABO$和$△ ACO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ BAO=∠ CAO\\ AO=AO\end{array} $
$\therefore △ ABO≌△ ACO(\mathrm{AAS})$，为第3对全等三角形。
④ 证明$△ BDO≌△ CEO$：
由$△ ABO≌△ ACO$得$BO=CO$，
在$△ BDO$和$△ CEO$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODB=∠ OEC\\ ∠ BOD=∠ COE(\mathrm{对顶角相等})\\ BO=CO\end{array} $
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$，为第4对全等三角形。
综上，图中全等三角形共有4对。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 垂直的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是遵循由易到难的推导顺序，利用已证全等得到的边角相等作为新的证明条件，注意不要漏数全等三角形。
【难度系数】
0.6

如图是一种简易的测距工具,为了测量地面上点 M 与点 O 之间的距离(两点之间有障碍无法直接测量),在点 O 处立竖杆 PO,并将顶端的活动杆 PQ 对准点 M,固定活动杆与竖杆的角度后,转动工具至空旷处,标记活动杆的延长线与地面的交点 N,测量点 N 与点 O 之间的距离,该距离即为点 M 与点 O 之间的距离.此种工具用到了全等三角形的判定,其判定理由是.

ASA

【分析】
解题时首先明确需要证明△POM和△PON全等，才能得到OM=ON。先梳理已知条件：①竖杆PO垂直地面，可得∠POM与∠PON都是90°，两角相等；②固定活动杆与竖杆的角度后转动，所以∠MPO和∠NPO相等；③PO是两个三角形的公共边，长度相等。观察相等的元素：两个角以及两角所夹的公共边PO对应相等，对应全等三角形的ASA判定定理。
【解析】
由题意可知：
1. PO垂直地面，故$∠ POM = ∠ PON = 90°$；
2. 固定活动杆与竖杆的角度后转动，故$∠ MPO = ∠ NPO$；
3. PO为$△ POM$和$△ PON$的公共边，故$PO=PO$。
在$△ POM$和$△ PON$中：
$\begin{cases}∠ MPO = ∠ NPO \\PO = PO \\∠ POM = ∠ PON\end{cases}$
$\therefore △ POM ≌ △ PON \ (\mathrm{ASA})$
根据全等三角形对应边相等，可得$OM=ON$，因此测量ON的长度即可得到MO的长度。
【答案】
ASA
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形对应边相等
【点评】
本题将全等三角形的知识与实际测距场景结合，需要同学们从实际操作中抽象出几何图形，找到对应相等的边和角，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8

1. 如图，已知$∠ CAB = ∠ DBA$，若用“ASA”证明$△ ABC ≌ △ BAD$，则还需要添加条件（）


A.$∠ C = ∠ D$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$AC = BD$
D.$BC = AD$

1. B

【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求是用“ASA”证明△ABC≌△BAD，先回忆ASA的判定规则：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。第一步先梳理已知相等条件：题目给出∠CAB=∠DBA，同时△ABC和△BAD共享边AB，可得AB=BA。此时已有一组角相等、一组夹边相等，对照ASA的要求，还需要另一组以AB为边的角相等，即∠ABC=∠BAD（也就是∠1=∠2），再逐一分析选项，筛选符合要求的条件即可。
【解析】
全等三角形“ASA”判定指的是：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
已知△ABC和△BAD中，∠CAB=∠DBA，且AB是两个三角形的公共边，即AB=BA。
对各选项逐一分析：
A. 若添加∠C=∠D，结合∠CAB=∠DBA、AB=BA，符合“AAS”全等判定，不符合“ASA”要求，排除；
B. 若添加∠1=∠2，此时在△ABC和△BAD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAB=∠DBA（已知）\\AB=BA（公共边）\\∠2=∠1（添加条件）\end{array} $
完全符合“ASA”的判定条件，该选项正确；
C. 若添加AC=BD，结合∠CAB=∠DBA、AB=BA，符合“SAS”全等判定，不符合“ASA”要求，排除；
D. 若添加BC=AD，此时为两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等，排除。
【答案】
B
【知识点】
角边角判定全等；公共边性质；全等判定条件区分
【点评】
本题考查全等三角形ASA判定的应用，解题关键是先明确判定规则，再结合已知条件推导所需补充的相等量，同时要注意区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆ASA与AAS、SAS等判定方法。
【难度系数】
0.8