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10. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$(-2)^{-3}=6$
B.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=4$
C.$(\dfrac{1}{5})^{-1}=-5$
D.$5.6×10^{2}=56$
A.$(-2)^{-3}=6$
B.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=4$
C.$(\dfrac{1}{5})^{-1}=-5$
D.$5.6×10^{2}=56$
答案
B
解析
根据负整数指数幂运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），逐一计算：
1. 选项A：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}≠6$，计算错误；
2. 选项B：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，计算正确；
3. 选项C：$(\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=5≠-5$，计算错误；
4. 选项D：$5.6×10^2=5.6×100=560≠56$，计算错误。
1. 选项A：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}≠6$，计算错误；
2. 选项B：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，计算正确；
3. 选项C：$(\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=5≠-5$，计算错误；
4. 选项D：$5.6×10^2=5.6×100=560≠56$，计算错误。
11. (★) 若$(x+1)^{-1}$无意义，则$x^{-2}=$
答案
解：
根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，当底数$a=0$时该式无意义。
因为$(x+1)^{-1}$无意义，所以$x+1=0$，
解得$x=-1$。
所以$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$。
根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，当底数$a=0$时该式无意义。
因为$(x+1)^{-1}$无意义，所以$x+1=0$，
解得$x=-1$。
所以$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$。
12. (★★)计算：
$(-\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^2 × 7^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1}$
$(-\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^2 × 7^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1}$
答案
解：
根据整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及任意非零数的零次幂等于1，分别计算各项：
$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$
$(-1)^2 = 1$，$7^0 = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
根据整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及任意非零数的零次幂等于1，分别计算各项：
$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$
$(-1)^2 = 1$，$7^0 = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
13. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$ a^6b ÷ a^{-2} = \frac{b}{a^3} $
B.$ (2a - b)^2 = 4a^2 - b^2 $
C.$ (-2ab^2)^3 = -6a^3b^6 $
D.$ a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -\frac{1}{a} $
A.$ a^6b ÷ a^{-2} = \frac{b}{a^3} $
B.$ (2a - b)^2 = 4a^2 - b^2 $
C.$ (-2ab^2)^3 = -6a^3b^6 $
D.$ a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -\frac{1}{a} $
答案
D
解析
逐个验证各选项：
1. 选项A：由同底数幂除法法则，$a^6b ÷ a^{-2}=a^{6-(-2)}b=a^8b ≠ \frac{b}{a^3}$，计算错误；
2. 选项B：由完全平方公式，$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2 ≠ 4a^2-b^2$，计算错误；
3. 选项C：由积的乘方法则，$(-2ab^2)^3=(-2)^3a^3(b^2)^3=-8a^3b^6 ≠ -6a^3b^6$，计算错误；
4. 选项D：由同底数幂除法法则，$a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -a^{-6-(-5)}b^{4-4}=-a^{-1}=-\frac{1}{a}$，计算正确。
1. 选项A：由同底数幂除法法则，$a^6b ÷ a^{-2}=a^{6-(-2)}b=a^8b ≠ \frac{b}{a^3}$，计算错误；
2. 选项B：由完全平方公式，$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2 ≠ 4a^2-b^2$，计算错误；
3. 选项C：由积的乘方法则，$(-2ab^2)^3=(-2)^3a^3(b^2)^3=-8a^3b^6 ≠ -6a^3b^6$，计算错误；
4. 选项D：由同底数幂除法法则，$a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -a^{-6-(-5)}b^{4-4}=-a^{-1}=-\frac{1}{a}$，计算正确。
14. (★★)计算：
(1)$(-2x^3)^2 · (-x^2) ÷ [(-x)^2]^3$；
(2)$(-2^{-1}mn^{-2})^{-2} · (m^2n)^{-3} ÷ 2m^{-2}$；
(3)$\dfrac{x^{-2}y^{-3} · (-2x^{-3}y^{-1})^{-2}}{2^{-1}x^2y^{-3}}$。
(1)$(-2x^3)^2 · (-x^2) ÷ [(-x)^2]^3$；
(2)$(-2^{-1}mn^{-2})^{-2} · (m^2n)^{-3} ÷ 2m^{-2}$；
(3)$\dfrac{x^{-2}y^{-3} · (-2x^{-3}y^{-1})^{-2}}{2^{-1}x^2y^{-3}}$。
答案
解：
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
15. (★★) 已知 $ a^{-1} - b^{-1} = 3 $，化简：$\frac{3a - ab - 3b}{a - b(1 - a)} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
由$a^{-1} - b^{-1} = 3$，得$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3$，
通分得：$\frac{b - a}{ab} = 3$，
整理得：$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$。
先化简原式分母：
$a - b(1 - a) = a - b + ab$
整理原式分子：
$3a - ab - 3b = 3(a - b) - ab$
将$a - b = -3ab$分别代入分子、分母：
分子$= 3×(-3ab) - ab = -10ab$，
分母$= -3ab + ab = -2ab$。
由$a^{-1}$、$b^{-1}$有意义可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，
因此原式$=\frac{-10ab}{-2ab} = 5$。
最终
由$a^{-1} - b^{-1} = 3$，得$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3$，
通分得：$\frac{b - a}{ab} = 3$，
整理得：$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$。
先化简原式分母：
$a - b(1 - a) = a - b + ab$
整理原式分子：
$3a - ab - 3b = 3(a - b) - ab$
将$a - b = -3ab$分别代入分子、分母：
分子$= 3×(-3ab) - ab = -10ab$，
分母$= -3ab + ab = -2ab$。
由$a^{-1}$、$b^{-1}$有意义可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，
因此原式$=\frac{-10ab}{-2ab} = 5$。
最终
16. (★★★)阅读以下材料:
规定两数$a,b$之间的一种运算,记作【$a,b$】:如果$a^c = b$,那么【$a,b$】=$c$.例如,因为$2^3=8$,所以【$2,8$】=$3$.
(1)根据上述规定,填空:【$4, \frac{1}{16}$】=,【$5,1$】=,【, $\frac{1}{125}$】=$-3$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象【$3^n,4^n$】=【$3,4$】,小明给出了如下的证明:
设【$3^n,4^n$】=$x$,则$(3^n)^x=4^n$,即$(3^x)^n=4^n$,所以$3^x=4$,即【$3,4$】=$x$.所以【$3^n,4^n$】=【$3,4$】.请你尝试运用这种方法解决下面的问题.
求证:【$7,5$】+【$7,6$】=【$7,30$】.
规定两数$a,b$之间的一种运算,记作【$a,b$】:如果$a^c = b$,那么【$a,b$】=$c$.例如,因为$2^3=8$,所以【$2,8$】=$3$.
(1)根据上述规定,填空:【$4, \frac{1}{16}$】=,【$5,1$】=,【, $\frac{1}{125}$】=$-3$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象【$3^n,4^n$】=【$3,4$】,小明给出了如下的证明:
设【$3^n,4^n$】=$x$,则$(3^n)^x=4^n$,即$(3^x)^n=4^n$,所以$3^x=4$,即【$3,4$】=$x$.所以【$3^n,4^n$】=【$3,4$】.请你尝试运用这种方法解决下面的问题.
求证:【$7,5$】+【$7,6$】=【$7,30$】.
答案
解：
(1) 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】=$-2$；
因为$5^0=1$，所以【$5,1$】=$0$；
因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】=$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义得：$7^x=5$，$7^y=6$，
所以$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】。
(1) 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】=$-2$；
因为$5^0=1$，所以【$5,1$】=$0$；
因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】=$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义得：$7^x=5$，$7^y=6$，
所以$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】。
