10. 在$△ ABC$中，若$∠ A$，$∠ B$满足$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| + ( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 = 0$，则$△ ABC$是（）

A.锐角非等边三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

10.B

【分析】
首先观察等式特征，绝对值和偶次幂都具有非负性，两个非负数的和为0时，每一项都必须为0，由此可以先求出$\sin A$和$\cos B$的值；再结合三角形内角的取值范围（$0°＜$内角$＜180°$），结合特殊角的三角函数值求出$∠ A$和$∠ B$的度数；最后利用三角形内角和为$180°$求出$∠ C$的度数，根据三个内角的度数判断三角形的类型即可。
【解析】
解：$\because\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| ≥ 0$，$( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 ≥ 0$，且二者的和为0，
$\therefore\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| = 0$，$( \cos B - \dfrac{1}{2} )^2 = 0$，
即$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B = \dfrac{1}{2}$。
$\because ∠ A$、$∠ B$是$△ ABC$的内角，
$\therefore 0° ＜ ∠ A ＜ 180°$，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$，
由$\cos B = \dfrac{1}{2}$可得$∠ B = 60°$，
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$可得$∠ A = 60°$或$120°$，
若$∠ A = 120°$，则$∠ A + ∠ B = 120° + 60° = 180°$，不符合三角形内角和定理，故舍去，
$\therefore ∠ A = 60°$，
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$，$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的突破口是利用非负数的性质得到角的三角函数值，需要注意三角形内角的取值范围，避免出现多解错误，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的基础。
【难度系数】
0.8

11. [2024·亳州期末]已知$α$为锐角，当$\frac{1}{1-\tanα}$无意义时，$\sin(α + 15°) + \cos(α - 15°)$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

11.D

【分析】
解题时先从分式无意义的条件入手：分式无意义等价于分母为0，据此可求出tanα的值；再结合α是锐角的限制，利用特殊角的正切值确定α的具体度数；最后将α代入待求的三角函数式，根据特殊角的三角函数值计算最终结果即可。
【解析】
∵ 分式$\frac{1}{1-\tanα}$无意义
∴ 分母$1-\tanα=0$，解得$\tanα=1$
又
∵ α为锐角，且$\tan45°=1$
∴ $α=45°$
将$α=45°$代入$\sin(α + 15°) + \cos(α - 15°)$得：
$\begin{aligned}原式&=\sin(45°+15°)+\cos(45°-15°)\\&=\sin60°+\cos30°\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式无意义的条件；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础综合题，将分式的性质和三角函数计算结合考查，解题的核心是先求出α的度数，只要牢记特殊角的三角函数值，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

12. [2025·合肥长丰期末]如图，$△ ABC$ 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点（网格线的交点）上，则 $\tan(α+β)$ $\tanα+\tanβ$.（填“＞”“=”或“＜”）

12.＞

【分析】
解题时可先借助网格的特征，根据正切的定义分别求出$\tanα$和$\tanβ$的值，计算二者的和；再通过勾股定理计算$△ ABC$的三边长，用勾股定理逆定理判断$△ ABC$的形状，得到$α+β$的度数，求出$\tan(α+β)$的值，最后比较两个结果的大小即可。
【解析】
1. 计算$\tanα+\tanβ$的值：
根据网格中锐角正切的定义（正切=对边/邻边），可得$\tanα=\frac{1}{3}$，$\tanβ=\frac{1}{2}$，
则$\tanα+\tanβ=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。
2. 计算$\tan(α+β)$的值：
设网格边长为1，由勾股定理计算$△ ABC$三边长：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$\because AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，且$AC=BC$，
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ CAB=45°$，
由图可知$∠ CAB=α+β$，即$α+β=45°$，
$\therefore \tan(α+β)=\tan45°=1$。
3. 比较大小：
$\because 1＞\frac{5}{6}$，$\therefore \tan(α+β)＞\tanα+\tanβ$。
【答案】
＞
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合网格考查三角函数和三角形相关性质的应用，解题的关键是灵活利用网格的特征计算三角函数值、判断三角形的形状，属于典型的网格类三角函数考题。
【难度系数】
0.7

13. [2024·安庆期末]已知α为锐角，$\sin(α - 15°) = \frac{1}{2}$，计算$\sqrt{8} - 4\cosα + \tanα$的值.

13.1

【分析】
首先结合已知条件分析：α是锐角，因此α-15°的取值范围在-15°到75°之间；已知sin(α-15°)=1/2，回忆特殊角的三角函数值，sin30°=1/2，由此可确定α-15°的度数，进而求出α的大小；最后将α代入待求式，结合特殊角的三角函数值、二次根式化简规则计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵α为锐角，
∴$-15°＜α-15°＜75°$，
又
∵$\sin(α - 15°) = \frac{1}{2}$，且$\sin30°=\frac{1}{2}$，
∴$α-15°=30°$，
解得$α=45°$。
将$α=45°$代入$\sqrt{8} - 4\cosα + \tanα$计算：
原式$=2\sqrt{2} -4×\frac{\sqrt{2}}{2} +1$
$=2\sqrt{2} -2\sqrt{2} +1$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
特殊角的三角函数值、二次根式化简、角度计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据已知三角函数值和锐角的取值范围求出对应角的度数，再代入代数式计算，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值是顺利解题的关键。
【难度系数】
0.8

14. [新课标—情境题]数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含$45°$角的三角板的斜边与含$30°$角的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起,点$B,C,E$在同一条直线上.若$BC=2$,求$AF$的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.

14.$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$

【分析】
解题时先明确两个直角三角形的角度特征：首先在含30°角的Rt△ABC中，已知短直角边BC的长度，可利用30°角的三角函数值求出长直角边AC的长度；再根据题意可知含45°角三角板的斜边EF与AC长度相等，接着在Rt△EFC中利用45°角的三角函数值求出FC的长度，最后根据AF=AC-FC即可算出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
$\because \tan A=\frac{BC}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$，
由题意得$EF=AC=2\sqrt{3}$，
在$Rt△ EFC$中，$∠ FCE=90°$，$∠ E=45°$，
$\because \sin E=\frac{FC}{EF}$，
$\therefore FC=EF·\sin45°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}$，
$\therefore AF=AC-FC=2\sqrt{3}-\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形
【点评】
本题结合三角板拼接的生活情境，考查特殊角三角函数的实际应用，解题核心是找准两个三角板边长的等量关系，分别求解两个直角三角形的边长即可，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7

15. [教材 P157 C组复习题第3题改编]在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中,已知$∠ A,∠ B,∠ C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,以下是某同学推理证明$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$的过程:
证明:如图 1,$\because \sin A=\frac{a}{c},\sin B=\frac{b}{c}$,
$\therefore c=\frac{a}{\sin A},c=\frac{b}{\sin B},\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
(1)根据你掌握的三角函数知识,请在图 2的锐角$△ ABC$ 中,求证:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$;
(2)在图 2中,若$∠ A=45°,∠ C=75°,AC=6$,求 $BC$ 的长.

15.(1)证明:在图2中,过点$ C $作$ CD⊥ AB $于点$ D $.
由题可知$\sin A=\dfrac{CD}{b}$,$\sin B=\dfrac{CD}{a}$,
$\therefore CD=b\sin A=a\sin B$,$\therefore \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$.
(2)易知$∠ B=60°$,$\therefore \dfrac{BC}{\sin 45°}=\dfrac{AC}{\sin 60°}$,
$\therefore \dfrac{BC}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$,解得$BC=2\sqrt{6}$.

【分析】
(1) 我们仅学习过直角三角形内的锐角三角函数，要证明锐角三角形中$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可通过作高将锐角三角形转化为直角三角形求解：过点C作AB边上的高CD，得到两个有公共高CD的直角三角形，分别在两个直角三角形中用三角函数表示CD，再根据CD相等建立等式，变形后即可得到待证结论。
(2) 先根据三角形内角和为180°求出∠B的度数，再直接代入第(1)问推导得到的比例关系，结合特殊角的三角函数值计算，即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：过点$ C $作$ CD⊥ AB $于点$ D $，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\sin A=\dfrac{CD}{b}$，即$CD = b\sin A$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$\sin B=\dfrac{CD}{a}$，即$CD = a\sin B$，
$\therefore b\sin A = a\sin B$，两边同时除以$\sin A·\sin B$，可得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$。
(2) 解：由三角形内角和定理得：
$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 75° = 60°$，
根据(1)的结论得$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}$，代入$AC=6$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
得$\dfrac{BC}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，解得$BC=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 已证$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；
(2) $2\sqrt{6}$
【知识点】
锐角三角函数定义，三角形内角和定理，解直角三角形
【点评】
本题考察了转化思想的应用，通过作高将陌生的锐角三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，第一问的结论是后续解任意三角形的重要基础，第二问直接应用前一问的结论解题，体现了逻辑推导和实际应用的结合。
【难度系数】
0.7