1. [与 T6 互为孪生题]在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$，则$\sin B=$（）

A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$\dfrac{4}{5}$

1.A

【分析】
题目给出直角三角形△ABC中∠C=90°，因此∠A与∠B互余，解题可从两个思路切入：一是直接利用互余两锐角的三角函数关系推导sinB和cosA的等量关系，快速得解；二是根据锐角三角函数的定义，设参数表示三角形各边长，再代入计算sinB的值，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，即∠B = 90° - ∠A。
根据互余角的三角函数性质：$\sin(90°-α)=\cosα$，可得：
$\sin B = \sin(90°-∠ A) = \cos A$，
已知$\cos A=\dfrac{3}{5}$，因此$\sin B=\dfrac{3}{5}$。
方法二：
根据锐角三角函数定义，$\cos A=\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$，
设$AC=3k$（$k＞0$），则$AB=5k$，
$\sin B=\dfrac{∠ B的对边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
互余两角的三角函数关系、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础三角函数题型，解题方法灵活，既可以用互余锐角的三角函数性质快速秒解，也可以通过定义设边计算，核心考查对锐角三角函数相关基础性质的掌握。
【难度系数】
0.85

变式训练
若α为锐角，且$\sinα=\cos38°$，则α=.

52°

【分析】
解题时首先回忆互余两锐角的三角函数关系：对于任意锐角θ，都有$\sinθ=\cos(90°-θ)$，反之$\cosθ=\sin(90°-θ)$。本题已知$\sinα=\cos38°$，我们可以先把$\cos38°$转化为某个角的正弦值，再结合α是锐角的条件，就能直接求出α的度数。
【解析】
根据互余两锐角的三角函数关系可得：
对于任意锐角$x$，$\cos x = \sin(90° - x)$
因此$\cos38° = \sin(90° - 38°) = \sin52°$
已知$\sinα = \cos38°$，代入可得$\sinα = \sin52°$
又因为α为锐角，锐角范围内每个正弦值对应唯一的角度，因此$α = 52°$
【答案】
$52°$
【知识点】
互余两角的三角函数关系；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余两锐角的三角函数转换规律，牢记“锐角的正弦等于它余角的余弦，锐角的余弦等于它余角的正弦”即可快速解题，题干明确α为锐角的条件，避免了多解情况，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 已知锐角$α,β$,且$\sinα=\cosβ$,则$α$与$β$之间的关系一定是（）

A.相等
B.互余
C.互补
D.以上结论都有可能

2.B

【分析】
首先明确题目给出的条件：α、β都是锐角，且sinα=cosβ。我们可以先回忆互余锐角的三角函数性质：对于任意锐角x，都有cosx = sin(90°-x)。接下来把已知条件里的cosβ转化为正弦形式，得到sinα和另一个正弦值相等的式子。因为锐角范围内正弦值和角度是一一对应的，即相等的正弦值对应相等的锐角，就能推出α和90°-β的关系，进而得到α和β的角度关系，再逐一验证选项即可。
【解析】
解：
∵α、β均为锐角，
根据互余两角的三角函数关系可得：cosβ = sin(90° - β)，
又
∵sinα = cosβ，
∴sinα = sin(90° - β)，
∵在0°~90°范围内，正弦值随角度的增大而增大，即正弦值相等则对应角度相等，
∴α = 90° - β，即α + β = 90°，
∴α与β互余。
A选项：仅当α=β=45°时相等，不是必然成立；C选项：两个锐角的和小于180°，不可能互补，均排除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 互余两角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的对应性质
【点评】
本题考查互余锐角三角函数关系的应用，解题时要抓住“锐角”这个前提条件，结合三角函数的角度对应关系推导即可，注意区分“一定成立”和“可能成立”的情况。
【难度系数】
0.7

3.若$0°＜α＜60°$，且$\sin(60°-α)=\frac{4}{5}$，求$\cos(30°+α)$的值.

3.$\frac{4}{5}$

【分析】
首先观察已知式中的角$60°-α$和待求式中的角$30°+α$，计算两个角的和可发现二者相加等于$90°$，即两角互余。结合互余两锐角的三角函数关系：若两个锐角和为$90°$，则其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，再结合已知的$\sin(60°-α)$的值，即可直接求出$\cos(30°+α)$的结果。题目给出的$α$的范围保证了两个角都是锐角，三角函数值均为正，无需额外考虑符号问题。
【解析】
解：先计算两个角的和：
$\because (60°-α)+(30°+α)=90°$
$\therefore 30°+α=90°-(60°-α)$
根据互余两锐角的三角函数关系：$\cos(90°-θ)=\sinθ$，可得：
$\cos(30°+α)=\cos[90°-(60°-α)]=\sin(60°-α)$
已知$\sin(60°-α)=\frac{4}{5}$，代入得：
$\cos(30°+α)=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
1.互余两锐角的三角函数关系
2.角度等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是快速找到已知角和待求角的互余关系，不需要复杂的计算，熟练掌握互余角的三角函数性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$.

(1) $∠ A$ 的正切: $\tan A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}} =$ ;
(2) $∠ B$ 的正切: $\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}} =$ ;
(3) 由(1)(2)可得结论:$\tan A · \tan B =$ .

4.(1)$\dfrac{BC}{AC}$ (2)$\dfrac{AC}{BC}$ (3)1

【分析】
解题时先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。首先分别确定∠A、∠B的对边和邻边，代入正切定义即可得到前两问的结果，再将两个正切值相乘约分就能得到第三问的结论。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$BC$，邻边为直角边$AC$，根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}} = \frac{BC}{AC}$；
(2) 同理，$∠ B$的对边为$AC$，邻边为直角边$BC$，因此：$\tan B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{∠ B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC}$；
(3) 将(1)(2)的结果相乘可得：$\tan A · \tan B = \frac{BC}{AC} × \frac{AC}{BC} =1$（边长$BC、AC$均不为0，可直接约分）。
【答案】
(1)$\dfrac{BC}{AC}$；(2)$\dfrac{AC}{BC}$；(3)$1$
【知识点】
1. 正切的定义；2. 互余锐角的三角函数关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求掌握锐角正切的定义，解题的关键是准确识别直角三角形中锐角对应的对边和邻边。本题得出的互余两锐角正切值乘积为1的结论，可作为规律直接应用在后续解题中。
【难度系数】
0.9

5. (1) 计算：$\cos 45° · \tan 35° · \tan 55° =$ ；
(2) 若$\tan α · \tan 20° = \tan 45°$，则锐角$α =$ °。

5.(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2)70

【分析】
(1) 解题时先观察角度特点，发现35°和55°互余，根据互余两锐角的正切关系可先简化$\tan35°·\tan55°$的计算，再代入$\cos45°$的特殊三角函数值即可得到结果。
(2) 先代入特殊角$\tan45°$的数值，再结合互余两锐角的正切关系，即可推导出锐角$α$的度数。
【解析】
(1) $\because 35°+55°=90°$，根据互余锐角的三角函数关系可得：$\tan55°=\tan(90°-35°)=\cot35°=\frac{1}{\tan35°}$
$\therefore \tan35°·\tan55°=\tan35°×\frac{1}{\tan35°}=1$
又$\because \cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore$ 原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 已知$\tanα·\tan20°=\tan45°$，且$\tan45°=1$
$\therefore \tanα=\frac{1}{\tan20°}$
$\because \tan(90°-20°)=\cot20°=\frac{1}{\tan20°}$，即$\tan70°=\frac{1}{\tan20°}$
$\therefore \tanα=\tan70°$
$\because α$是锐角，$\therefore α=70°$
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2)70
【知识点】
互余角的三角函数关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，核心是对互余两角三角函数关系的应用，只要掌握“互余两角的正切值乘积为1”和常见特殊角的三角函数值，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.8

6. [与T1互为孪生题]已知$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$是$△ ABC$的三个内角，则$\sin\frac{A+B}{2}=$（）

A.$\cos\frac{C}{2}$
B.$\sin\frac{C}{2}$
C.$\cos C$
D.$\cos\frac{A+B}{2}$

6.A

【分析】
要解决这道题，需结合三角形内角和定理和互余两角的三角函数关系推导：首先利用三角形内角和为180°，将∠A+∠B转化为含∠C的表达式，再对所求式的角度变形，最后根据互余角的三角函数转换规则即可得出结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，三个内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴ $∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$
将等式两边同时除以2可得：
$\frac{∠ A + ∠ B}{2} = \frac{180° - ∠ C}{2} = 90° - \frac{∠ C}{2}$
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90° - α) = \cosα$，令$α = \frac{∠ C}{2}$，代入得：
$\sin\frac{A+B}{2} = \sin(90° - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，互余两角的三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，主要考察基础公式的结合运用，熟练掌握三角形内角和、互余角的三角函数转换规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7.已知$α,β$都是锐角,有以下结论:
①若$α+β=90°$,则$\sinα=\cosβ$;
②若$α+β=90°$,则$\cosα=\sinβ$;
③若$α+β=90°$,则$\tanα · \tanβ=1$;
④若$α+β=90°$,则$\tanα=\tanβ$.
其中正确的是.(填序号)

7.①②③

【分析】
已知α、β为互余的两个锐角，解题时可结合互余两角的三角函数关系逐一判断4个结论是否成立，也可以通过代入符合条件的特殊角计算验证，注意牢记互余角的各三角函数之间的转换规律，避免混淆正切的性质。
【解析】
∵α、β都是锐角，且α+β=90°，
∴β=90°-α。
①根据互余角的三角函数关系，$\sinα=\cos(90°-α)=\cosβ$，故①正确；
②同理，$\cosα=\sin(90°-α)=\sinβ$，故②正确；
③$\tanα·\tanβ=\tanα·\tan(90°-α)$，而$\tan(90°-α)=\frac{1}{\tanα}$，因此$\tanα·\frac{1}{\tanα}=1$，故③正确；
④举反例验证：取α=30°，β=60°，满足α+β=90°，此时$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，显然$\tanα≠\tanβ$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查互余锐角的三角函数性质，解题时既可以直接用性质判断，也可以通过代入特殊值的方法验证，需注意互余两角的正切互为倒数，不要和相等的情况混淆。
【难度系数】
0.8

8.若$α,β$是直角三角形的两个锐角，则$\frac{\sinα}{\cosβ} - \tan\frac{α+β}{2}$的值为。

8.0

【分析】
首先，根据直角三角形的性质，两个锐角互余，可得$α+β=90°$。第一步，利用互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-θ)=\cosθ$，可推出$\sinα$和$\cosβ$的关系，求出$\frac{\sinα}{\cosβ}$的值；第二步，代入$α+β=90°$求出$\frac{α+β}{2}$的度数，再结合特殊角的三角函数值求出$\tan\frac{α+β}{2}$的值，最后将两个结果相减即可得到答案。
【解析】
解：
∵$α,β$是直角三角形的两个锐角
∴$α+β=90°$，即$α=90°-β$
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-β)=\cosβ$
∴$\sinα=\sin(90°-β)=\cosβ$
∴$\frac{\sinα}{\cosβ}=\frac{\cosβ}{\cosβ}=1$
又
∵$\frac{α+β}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
由特殊角的三角函数值可知，$\tan45°=1$
∴$\frac{\sinα}{\cosβ} - \tan\frac{α+β}{2}=1-1=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是三角函数基础应用类题目，核心考察对互余角三角函数关系和特殊角三角函数值的掌握，熟练掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8

9. [教材P155 B组复习题第2题改编]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$a,b,c$分别表示$∠ A,∠ B,∠ C$的对边.请完成对关系式$\sin^2 A + \cos^2 A =1$的证明:
$\because \sin A=\_\_\_\_\_\_,\cos A=\_\_\_\_\_\_,$
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A=\_\_\_\_\_\_.$
$\because a^2 + b^2 = c^2,\therefore \sin^2 A + \cos^2 A=1.$
根据上述关系式,解决下列问题:
(1)计算:$\sin^2 α + \sin^2 (90°-α)=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算:$\sin^2 1° + \sin^2 2° + \sin^2 3° + ··· + \sin^2 89°=\_\_\_\_\_\_.$

9.$\dfrac{a}{c}$ $\dfrac{b}{c}$ $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ (1)1 (2)$\dfrac{89}{2}$

【分析】
首先回忆直角三角形中锐角三角函数的定义，完成同角正余弦平方和为1的证明填空；再利用互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，结合已证的$\sin^2α + \cos^2α=1$的结论求解问题。第(1)问直接将$\sin(90°-α)$转化为$\cosα$即可代入公式计算；第(2)问观察角度特征，将互余的两个角的正弦平方配对，利用第(1)问的结论分组计算，注意单独处理中间的$45°$角的正弦平方。
【解析】
证明部分填空：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$
因此$\sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，即可得$\sin^2 A + \cos^2 A=1$。
(1)计算$\sin^2 α + \sin^2 (90°-α)$：
根据互余两角的三角函数关系，$\sin(90°-α)=\cosα$，代入原式得：
$\sin^2 α + \sin^2 (90°-α) = \sin^2 α + \cos^2 α =1$
(2)计算$\sin^2 1° + \sin^2 2° + ··· + \sin^2 89°$：
将角度两两配对为互余的组合：
$\begin{aligned}原式&=(\sin^2 1°+\sin^2 89°)+(\sin^2 2°+\sin^2 88°)+…+(\sin^2 44°+\sin^2 46°)+\sin^2 45° \\&=(\sin^21°+\cos^21°)+(\sin^22°+\cos^22°)+…+(\sin^244°+\cos^244°)+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \\&=\underbrace{1+1+…+1}_{44个1} + \frac{1}{2} \\&=44 + \frac{1}{2} = \frac{89}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a}{c}$；$\dfrac{b}{c}$；$\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$；(1)$1$；(2)$\dfrac{89}{2}$
【知识点】
1.锐角三角函数定义
2.互余角的三角函数性质
3.同角正余弦平方和关系
【点评】
本题从基础公式证明出发，考查锐角三角函数相关性质的应用，解题核心是掌握互余两角的正弦与余弦的转化规律，分组计算时注意不要遗漏中间单独的$45°$角，侧重考查学生的规律观察能力和公式灵活应用能力。
【难度系数】
0.7