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1. 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
B
）A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这个直角三角形最大面积的问题，我们可以采用函数思想求解：首先设其中一条直角边的长度为变量，用两直角边之和表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式，写出面积关于该变量的函数关系式，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。
【解析】
设一条直角边长为$ x \ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x) \ \mathrm{cm} $，设三角形面积为$ S \ \mathrm{cm}^2 $。
根据直角三角形面积公式可得：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
其中二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此该二次函数开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $时，$ S $取得最大值。
将$ x = 10 $代入面积公式，得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，解题核心是通过合理设元建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个直角三角形最大面积的问题，我们可以采用函数思想求解：首先设其中一条直角边的长度为变量，用两直角边之和表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式，写出面积关于该变量的函数关系式，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。
【解析】
设一条直角边长为$ x \ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x) \ \mathrm{cm} $，设三角形面积为$ S \ \mathrm{cm}^2 $。
根据直角三角形面积公式可得：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
其中二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此该二次函数开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $时，$ S $取得最大值。
将$ x = 10 $代入面积公式，得最大面积：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，解题核心是通过合理设元建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
2. [与 T8 互为孪生题][2024·泰安中考]如图，小明的父亲想用长为 60 m 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长 40 m，则可围成的菜园的最大面积是
450
$\mathrm{m}^2$.答案
2. 450
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：1. 设垂直于房屋外墙的菜园边长为自变量x，根据栅栏总长度表示出平行于外墙的边长；2. 结合外墙长度限制、边长为正的要求，确定自变量x的取值范围；3. 依据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；4. 利用二次函数开口方向和对称轴求出最值，验证最值对应的x是否在取值范围内，即可得到最大面积。
【解析】
设垂直于房屋外墙的菜园边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，菜园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
首先确定$x$的取值范围：
∵ 边长为正，且平行于外墙的边长不超过墙长40m
∴ $\begin{cases}60-2x＞0 \\ 60-2x≤40 \end{cases}$，解得$10≤ x＜30$
根据矩形面积公式可得：
$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$
该二次函数中$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$
∵ $x=15$在$10≤ x＜30$的范围内
∴ 当$x=15$时，$S$取得最大值，最大值为：
$S=-2×15^2+60×15=-450+900=450$
此时平行于外墙的边长为$60-2×15=30\ \mathrm{m}＜40\ \mathrm{m}$，符合实际要求。
【答案】
450
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，实际问题自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数实际应用类基础题，解题的核心是合理设元建立函数关系，同时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：1. 设垂直于房屋外墙的菜园边长为自变量x，根据栅栏总长度表示出平行于外墙的边长；2. 结合外墙长度限制、边长为正的要求，确定自变量x的取值范围；3. 依据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；4. 利用二次函数开口方向和对称轴求出最值，验证最值对应的x是否在取值范围内，即可得到最大面积。
【解析】
设垂直于房屋外墙的菜园边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，菜园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
首先确定$x$的取值范围：
∵ 边长为正，且平行于外墙的边长不超过墙长40m
∴ $\begin{cases}60-2x＞0 \\ 60-2x≤40 \end{cases}$，解得$10≤ x＜30$
根据矩形面积公式可得：
$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$
该二次函数中$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$
∵ $x=15$在$10≤ x＜30$的范围内
∴ 当$x=15$时，$S$取得最大值，最大值为：
$S=-2×15^2+60×15=-450+900=450$
此时平行于外墙的边长为$60-2×15=30\ \mathrm{m}＜40\ \mathrm{m}$，符合实际要求。
【答案】
450
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，实际问题自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数实际应用类基础题，解题的核心是合理设元建立函数关系，同时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.[一题多解题]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{mm}$,$BC=24\ \mathrm{mm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$C$重合).如果点$P$,$Q$分别从$A$,$B$两点同时出发,那么经过
3
$\mathrm{s}$,四边形$APQC$的面积最小.答案
3. 3
解析
【分析】
四边形APQC为不规则图形，其面积可转化为直角△ABC的面积减去△PBQ的面积，由于△ABC的面积是固定值，因此要使四边形APQC的面积最小，只需让△PBQ的面积最大即可。先设运动时间为t s，结合动点的移动速度用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再列出△PBQ的面积表达式，进而得到四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数的最值性质和t的取值范围求解即可。
【解析】
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，根据题意可知动点P、Q均不与端点重合，因此$0＜t＜6$（$t＜12÷2=6$且$t＜24÷4=6$）。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，因此$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$。
先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{mm^2}$
再计算△PBQ的面积：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
因此四边形APQC的面积为：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144$
该二次函数二次项系数$a=4＞0$，图象开口向上，当$t=-\frac{b}{2a}=\frac{24}{2×4}=3$时，S取得最小值，且3在$0＜t＜6$的取值范围内，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值、动点面积问题、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差，进而建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合动点的运动限制，验证所求自变量的值是否符合取值范围。
【难度系数】
0.7
四边形APQC为不规则图形，其面积可转化为直角△ABC的面积减去△PBQ的面积，由于△ABC的面积是固定值，因此要使四边形APQC的面积最小，只需让△PBQ的面积最大即可。先设运动时间为t s，结合动点的移动速度用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再列出△PBQ的面积表达式，进而得到四边形面积关于t的二次函数，最后结合二次函数的最值性质和t的取值范围求解即可。
【解析】
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，根据题意可知动点P、Q均不与端点重合，因此$0＜t＜6$（$t＜12÷2=6$且$t＜24÷4=6$）。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，因此$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$。
先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{mm^2}$
再计算△PBQ的面积：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
因此四边形APQC的面积为：
$S=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144$
该二次函数二次项系数$a=4＞0$，图象开口向上，当$t=-\frac{b}{2a}=\frac{24}{2×4}=3$时，S取得最小值，且3在$0＜t＜6$的取值范围内，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值、动点面积问题、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差，进而建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合动点的运动限制，验证所求自变量的值是否符合取值范围。
【难度系数】
0.7
4.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形ABCD(篱笆只围AB,BC两边).设AB = x m,花园的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是12 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积y的最大值.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是12 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积y的最大值.
答案
4.(1)$y=-x^2+20x(0＜x＜20)$ (2)$96\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
(1) 先根据篱笆总长为20m，AB=x m，可得出BC边的长度为(20-x)m，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”即可写出y与x的函数表达式，同时结合边长为正的实际要求，确定x的取值范围。
(2) 先根据树的位置确定x的取值限制：树到AD的距离为6m，说明AB长度至少为6m，即x≥6；树到CD的距离为12m，说明BC长度至少为12m，即20-x≥12，解得x≤8，因此x的取值范围为6≤x≤8。再将二次函数解析式化为顶点式，判断函数在该区间的增减性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 已知篱笆仅围AB、BC两边，总长20m，AB=x m，因此BC=(20-x)m。
根据矩形面积公式可得：
$y=AB× BC=x(20-x)=-x^2+20x$
由边长为正可知，$x＞0$且$20-x＞0$，即$0＜x＜20$。
因此y与x的函数表达式为$y=-x^2+20x(0＜x＜20)$。
(2) 要将树围在花园内（含边界）：
① 树与AD的距离为6m，说明AB的长度不能小于6m，即$x≥6$；
② 树与CD的距离为12m，说明BC的长度不能小于12m，即$20-x≥12$，解得$x≤8$。
综上可得x的取值范围为$6≤ x≤8$。
将$y=-x^2+20x$配方得$y=-(x-10)^2+100$，该函数开口向下，对称轴为直线$x=10$。
在$6≤ x≤8$范围内，y随x的增大而增大，因此当x=8时，y取得最大值：
$y=-(8-10)^2+100=96$，单位为$\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$y=-x^2+20x(0＜x＜20)$；(2)$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是正确列出函数表达式，结合实际限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值，注意不能忽略自变量的实际意义直接在对称轴处取最值。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据篱笆总长为20m，AB=x m，可得出BC边的长度为(20-x)m，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”即可写出y与x的函数表达式，同时结合边长为正的实际要求，确定x的取值范围。
(2) 先根据树的位置确定x的取值限制：树到AD的距离为6m，说明AB长度至少为6m，即x≥6；树到CD的距离为12m，说明BC长度至少为12m，即20-x≥12，解得x≤8，因此x的取值范围为6≤x≤8。再将二次函数解析式化为顶点式，判断函数在该区间的增减性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 已知篱笆仅围AB、BC两边，总长20m，AB=x m，因此BC=(20-x)m。
根据矩形面积公式可得：
$y=AB× BC=x(20-x)=-x^2+20x$
由边长为正可知，$x＞0$且$20-x＞0$，即$0＜x＜20$。
因此y与x的函数表达式为$y=-x^2+20x(0＜x＜20)$。
(2) 要将树围在花园内（含边界）：
① 树与AD的距离为6m，说明AB的长度不能小于6m，即$x≥6$；
② 树与CD的距离为12m，说明BC的长度不能小于12m，即$20-x≥12$，解得$x≤8$。
综上可得x的取值范围为$6≤ x≤8$。
将$y=-x^2+20x$配方得$y=-(x-10)^2+100$，该函数开口向下，对称轴为直线$x=10$。
在$6≤ x≤8$范围内，y随x的增大而增大，因此当x=8时，y取得最大值：
$y=-(8-10)^2+100=96$，单位为$\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$y=-x^2+20x(0＜x＜20)$；(2)$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是正确列出函数表达式，结合实际限制条件确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值，注意不能忽略自变量的实际意义直接在对称轴处取最值。
【难度系数】
0.7
5. 便民商店经销一种商品，在销售过程中，发现一周利润$y$(单位:元)与每件销售价$x$(单位:元)之间的关系满足$y=-2x^2 +80x +758$，由于某种原因，价格需满足$15≤ x≤19$，那么一周可获得的最大利润是（
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
B
）A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查二次函数在利润最值问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确二次函数的开口方向：二次项系数a=-2＜0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；2. 计算二次函数的对称轴，确定函数的增减区间：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$算出对称轴为$x=20$，开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；3. 结合题目给定的x的取值范围$15≤x≤19$，判断该区间在对称轴左侧，因此区间内x取最大值时，y取得最大值，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 +80x +758$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$，
∵ 开口向下时，当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大，
又
∵ $15≤ x≤19 ＜ 20$，
∴ 当$x=19$时，$y$取得最大值，
将$x=19$代入函数得：
$y=-2×19^2 +80×19 +758$
$=-2×361 + 1520 + 758$
$=-722 + 1520 +758$
$=1556$
即一周可获得的最大利润是1556元，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数最值的典型应用问题，易错点是忽略题目给定的自变量取值范围，直接代入顶点横坐标计算最值，解题时要先判断顶点横坐标是否在取值范围内，再结合函数单调性确定最值对应的自变量取值。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在利润最值问题中的应用，解题思路如下：1. 首先明确二次函数的开口方向：二次项系数a=-2＜0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；2. 计算二次函数的对称轴，确定函数的增减区间：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$算出对称轴为$x=20$，开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；3. 结合题目给定的x的取值范围$15≤x≤19$，判断该区间在对称轴左侧，因此区间内x取最大值时，y取得最大值，代入计算即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2 +80x +758$，
∵ 二次项系数$a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{80}{2×(-2)}=20$，
∵ 开口向下时，当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大，
又
∵ $15≤ x≤19 ＜ 20$，
∴ 当$x=19$时，$y$取得最大值，
将$x=19$代入函数得：
$y=-2×19^2 +80×19 +758$
$=-2×361 + 1520 + 758$
$=-722 + 1520 +758$
$=1556$
即一周可获得的最大利润是1556元，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数最值的典型应用问题，易错点是忽略题目给定的自变量取值范围，直接代入顶点横坐标计算最值，解题时要先判断顶点横坐标是否在取值范围内，再结合函数单调性确定最值对应的自变量取值。
【难度系数】
0.6
6. 某种商品的进价为每件18元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（18≤x≤30，且x为整数）出售，则可卖出(30−x)件。要使利润最大，则每件商品的售价应为
24
元。答案
6. 24
解析
【分析】
要解决利润最大的问题，首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品利润×销售数量。我们先根据该关系列出总利润关于售价x的函数解析式，再结合二次函数的最值性质，同时考虑x的取值范围，就能求出利润最大时对应的售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意：
单件利润为售价减进价，即$(x - 18)$元，销售量为$(30 - x)$件，因此总利润：
$y = (x - 18)(30 - x)$
展开并整理得：
$y = -x^2 + 48x - 540$
配方得顶点式：
$y = -(x - 24)^2 + 36$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$x=24$，满足$18≤24≤30$的取值要求，且24是整数符合题意，因此当x=24时，利润y最大。
【答案】
24
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决销售利润问题的基础题型，解题关键是找准利润的计算等量关系，列出正确的函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，注意要验证自变量取值是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
要解决利润最大的问题，首先要明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品利润×销售数量。我们先根据该关系列出总利润关于售价x的函数解析式，再结合二次函数的最值性质，同时考虑x的取值范围，就能求出利润最大时对应的售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意：
单件利润为售价减进价，即$(x - 18)$元，销售量为$(30 - x)$件，因此总利润：
$y = (x - 18)(30 - x)$
展开并整理得：
$y = -x^2 + 48x - 540$
配方得顶点式：
$y = -(x - 24)^2 + 36$
∵二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$x=24$，满足$18≤24≤30$的取值要求，且24是整数符合题意，因此当x=24时，利润y最大。
【答案】
24
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决销售利润问题的基础题型，解题关键是找准利润的计算等量关系，列出正确的函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，注意要验证自变量取值是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
7. [教材P63 A组复习题第9题改编][2025·合肥包河区校级期末]用长8 m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（
A.$\frac{64}{25}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$4\ \mathrm{m}^2$
C
）A.$\frac{64}{25}\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{4}{3}\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{8}{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$4\ \mathrm{m}^2$
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决实际最值的题目，解题思路如下：1. 先观察窗框结构，可知窗框包含3条水平边框、2条竖直边框，总长度为8m；2. 设其中一个边长为未知数，用总长度表示出另一个边长；3. 根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数表达式；4. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
解：设矩形窗框的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由铝合金总长度为$ 8 \, \mathrm{m} $，且共有3条水平边框、2条竖直边框，可得竖直边长为$ \frac{8 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户的透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{8 - 3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 + 4x\end{aligned}$
该函数是二次函数，且$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3} $时，$ S $取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 4^2}{4×(-\frac{3}{2})} = \frac{8}{3}$
所以窗户的最大透光面积是$ \frac{8}{3} \, \mathrm{m}^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值的基础题型，解题核心是结合图形结构正确列出边长的表达式，建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决实际最值的题目，解题思路如下：1. 先观察窗框结构，可知窗框包含3条水平边框、2条竖直边框，总长度为8m；2. 设其中一个边长为未知数，用总长度表示出另一个边长；3. 根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数表达式；4. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
解：设矩形窗框的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由铝合金总长度为$ 8 \, \mathrm{m} $，且共有3条水平边框、2条竖直边框，可得竖直边长为$ \frac{8 - 3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户的透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{8 - 3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2 + 4x\end{aligned}$
该函数是二次函数，且$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，因此$ S $存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{4}{3} $时，$ S $取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 4^2}{4×(-\frac{3}{2})} = \frac{8}{3}$
所以窗户的最大透光面积是$ \frac{8}{3} \, \mathrm{m}^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值计算，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值的基础题型，解题核心是结合图形结构正确列出边长的表达式，建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
