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15. 如图,有下列三个条件:①$∠ 1+∠ 2=180°$,②$∠ 3=∠ A$,③$∠ B=∠ C$.
(1)从这三个条件中选两个作为条件,另一个作为结论组成命题.你选择的条件是,结论是;(填序号)
(2)请写出(1)中你组成的命题的证明过程.
(1)从这三个条件中选两个作为条件,另一个作为结论组成命题.你选择的条件是,结论是;(填序号)
(2)请写出(1)中你组成的命题的证明过程.
答案
(1) ①②；③
(2) 证明：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
(2) 证明：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
解析
【分析】
本题是平行线判定与性质的综合应用题型，解题思路清晰：首先选择两个条件作为已知，推导剩余的结论，我们以选①②为条件、③为结论为例思考：第一步，根据∠1+∠2=180°，利用同旁内角互补可判定两直线平行，得到EF//AD；第二步，由平行线的性质可得∠3=∠D，结合已知∠3=∠A，通过等量代换得到∠A=∠D；第三步，由∠A=∠D可判定AB//CD，最后根据平行线的性质即可推出∠B=∠C。思考时要明确：平行线的判定是由角的关系推导平行，平行线的性质是由平行推导角的关系，结合已知条件逐步推导即可。
【解析】
(1) 选择条件为①②，结论为③；
(2) 证明：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A（等量代换），
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) ①②；③
(2) 证明过程：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查平行线判定定理和性质定理的交替应用，解题时要理清“角的关系-直线平行-角的关系”的推导逻辑，熟练掌握这类题型的推导方法，能为后续复杂几何题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
本题是平行线判定与性质的综合应用题型，解题思路清晰：首先选择两个条件作为已知，推导剩余的结论，我们以选①②为条件、③为结论为例思考：第一步，根据∠1+∠2=180°，利用同旁内角互补可判定两直线平行，得到EF//AD；第二步，由平行线的性质可得∠3=∠D，结合已知∠3=∠A，通过等量代换得到∠A=∠D；第三步，由∠A=∠D可判定AB//CD，最后根据平行线的性质即可推出∠B=∠C。思考时要明确：平行线的判定是由角的关系推导平行，平行线的性质是由平行推导角的关系，结合已知条件逐步推导即可。
【解析】
(1) 选择条件为①②，结论为③；
(2) 证明：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A（等量代换），
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
(1) ①②；③
(2) 证明过程：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ EF // AD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠3 = ∠A，
∴ ∠D = ∠A，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查平行线判定定理和性质定理的交替应用，解题时要理清“角的关系-直线平行-角的关系”的推导逻辑，熟练掌握这类题型的推导方法，能为后续复杂几何题的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
16. 如图，直线$AB// CD$，直线$EF$与直线$AB$，$CD$分别相交于点$E$，$F$，$EG$平分$∠ AEF$，$FH$平分$∠ DFE$.
(1)求证:$EG// FH$;
(2)结合(1)的证明过程，用文字语言描述(1)中的结论;
(3)判断下列命题是真命题还是假命题(在横线上直接填“真”或“假”)：
①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是命题；
②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是命题.
(1)求证:$EG// FH$;
(2)结合(1)的证明过程，用文字语言描述(1)中的结论;
(3)判断下列命题是真命题还是假命题(在横线上直接填“真”或“假”)：
①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是命题；
②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是命题.
答案
证明：
(1) ∵ AB//CD，
∴ ∠AEF = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）。
∵ EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴ ∠GEF = $\frac{1}{2}$∠AEF，∠HFE = $\frac{1}{2}$∠DFE，
∴ ∠GEF = ∠HFE，
∴ EG//FH（内错角相等，两直线平行）。
(2) 两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。
(3) ① 真
② 假
(1) ∵ AB//CD，
∴ ∠AEF = ∠DFE（两直线平行，内错角相等）。
∵ EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
∴ ∠GEF = $\frac{1}{2}$∠AEF，∠HFE = $\frac{1}{2}$∠DFE，
∴ ∠GEF = ∠HFE，
∴ EG//FH（内错角相等，两直线平行）。
(2) 两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。
(3) ① 真
② 假
解析
【分析】
(1)要证明$EG// FH$，可根据平行线的判定定理，证明一组内错角相等：首先由已知$AB// CD$，利用平行线的性质得到$∠ AEF=∠ DFE$；再结合角平分线的定义，可推出$∠ GEF=∠ HFE$，这两个角是内错角，相等即可证得两直线平行。
(2)将(1)的已知条件和结论转化为通用的文字描述即可：条件是两条平行直线被第三条直线所截，截得一组内错角，结论是这组内错角的角平分线互相平行。
(3)判断命题真假：①同位角在两直线平行时是相等的，它们的一半也相等，因此对应的同位角相等，角平分线互相平行，是真命题；②同旁内角在两直线平行时是互补的，它们的一半之和为$90°$，因此角平分线互相垂直，不是平行，是假命题。
【解析】
(1)证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EG$平分$∠ AEF$，$FH$平分$∠ DFE$，
$\therefore ∠ GEF=\frac{1}{2}∠ AEF$，$∠ HFE=\frac{1}{2}∠ DFE$，
$\therefore ∠ GEF=∠ HFE$，
$\therefore EG// FH$（内错角相等，两直线平行）。
(2)两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。
(3)①两条平行直线被截得的同位角相等，它们的一半也相等，因此同位角的角平分线互相平行，是真命题；
②两条平行直线被截得的同旁内角互补，它们的一半之和为$90°$，因此同旁内角的角平分线互相垂直，不是平行，是假命题。
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；
(3)①真；②假
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，命题真假判断
【点评】
本题是基础几何综合题，围绕平行线的相关定理展开，同时结合角平分线定义和命题判断，考查学生对基础几何定理的应用能力和文字转化能力，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$EG// FH$，可根据平行线的判定定理，证明一组内错角相等：首先由已知$AB// CD$，利用平行线的性质得到$∠ AEF=∠ DFE$；再结合角平分线的定义，可推出$∠ GEF=∠ HFE$，这两个角是内错角，相等即可证得两直线平行。
(2)将(1)的已知条件和结论转化为通用的文字描述即可：条件是两条平行直线被第三条直线所截，截得一组内错角，结论是这组内错角的角平分线互相平行。
(3)判断命题真假：①同位角在两直线平行时是相等的，它们的一半也相等，因此对应的同位角相等，角平分线互相平行，是真命题；②同旁内角在两直线平行时是互补的，它们的一半之和为$90°$，因此角平分线互相垂直，不是平行，是假命题。
【解析】
(1)证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEF=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because EG$平分$∠ AEF$，$FH$平分$∠ DFE$，
$\therefore ∠ GEF=\frac{1}{2}∠ AEF$，$∠ HFE=\frac{1}{2}∠ DFE$，
$\therefore ∠ GEF=∠ HFE$，
$\therefore EG// FH$（内错角相等，两直线平行）。
(2)两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行。
(3)①两条平行直线被截得的同位角相等，它们的一半也相等，因此同位角的角平分线互相平行，是真命题；
②两条平行直线被截得的同旁内角互补，它们的一半之和为$90°$，因此同旁内角的角平分线互相垂直，不是平行，是假命题。
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；
(3)①真；②假
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，命题真假判断
【点评】
本题是基础几何综合题，围绕平行线的相关定理展开，同时结合角平分线定义和命题判断，考查学生对基础几何定理的应用能力和文字转化能力，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的核心。
【难度系数】
0.7
