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1 如图,$AB=AC,BE ⊥ AC$于点E,$CF ⊥ AB$于点F,BE,CF交于点D.有下列结论:① $△ ABE ≌$ $△ ACF$;② $△ BDF ≌ △ CDE$;③ 点 D 在$∠ BAC$的平分线上.其中,正确的是 （
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
D
）A.①
B.②
C.①②
D.①②③
答案
1. D
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，需结合已知条件，利用三角形全等的判定定理逐步推导。首先，根据垂直关系得到直角，结合公共角和AB=AC，可证明第一组三角形全等；再利用全等的性质得到线段相等，结合对顶角和直角，证明第二组三角形全等；最后通过连接辅助线AD，利用直角三角形全等的HL定理，推导点D在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 证明△ABE ≌ △ACF：
∵ BE⊥AC，CF⊥AB，
∴ ∠AEB = ∠AFC = 90°。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l} ∠AEB = ∠AFC \\ ∠A = ∠A \\ AB = AC \end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACF（AAS），故①正确。
2. 证明△BDF ≌ △CDE：
由△ABE ≌ △ACF得AE = AF，
∵ AB = AC，
∴ AB - AF = AC - AE，即BF = CE。
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} ∠BFD = ∠CED = 90° \\ ∠BDF = ∠CDE \\ BF = CE \end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDE（AAS），故②正确。
3. 证明点D在∠BAC的平分线上：
连接AD，
∵ △BDF ≌ △CDE，
∴ DF = DE。
在Rt△AFD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l} AD = AD \\ DF = DE \end{array} $
∴ Rt△AFD ≌ Rt△AED（HL），
∴ ∠FAD = ∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上，故③正确。
综上，①②③均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定、角平分线判定
【点评】
本题综合考查三角形全等的判定及角平分线的判定，需熟练掌握全等三角形的判定定理（AAS、HL），通过逐步推导各结论，逻辑清晰即可解决，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断三个结论是否正确，需结合已知条件，利用三角形全等的判定定理逐步推导。首先，根据垂直关系得到直角，结合公共角和AB=AC，可证明第一组三角形全等；再利用全等的性质得到线段相等，结合对顶角和直角，证明第二组三角形全等；最后通过连接辅助线AD，利用直角三角形全等的HL定理，推导点D在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 证明△ABE ≌ △ACF：
∵ BE⊥AC，CF⊥AB，
∴ ∠AEB = ∠AFC = 90°。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l} ∠AEB = ∠AFC \\ ∠A = ∠A \\ AB = AC \end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACF（AAS），故①正确。
2. 证明△BDF ≌ △CDE：
由△ABE ≌ △ACF得AE = AF，
∵ AB = AC，
∴ AB - AF = AC - AE，即BF = CE。
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} ∠BFD = ∠CED = 90° \\ ∠BDF = ∠CDE \\ BF = CE \end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDE（AAS），故②正确。
3. 证明点D在∠BAC的平分线上：
连接AD，
∵ △BDF ≌ △CDE，
∴ DF = DE。
在Rt△AFD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l} AD = AD \\ DF = DE \end{array} $
∴ Rt△AFD ≌ Rt△AED（HL），
∴ ∠FAD = ∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上，故③正确。
综上，①②③均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定、角平分线判定
【点评】
本题综合考查三角形全等的判定及角平分线的判定，需熟练掌握全等三角形的判定定理（AAS、HL），通过逐步推导各结论，逻辑清晰即可解决，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
2（易错题）如图所示为三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案
2. D
易错分析
2. 因考虑问题不全面致错.
易错分析
2. 因考虑问题不全面致错.
解析
【分析】要找到到三条公路（三条直线）距离相等的地点，需依据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此所求点是三条直线所形成角的平分线的交点，需同时考虑内角平分线和外角平分线的交点，避免遗漏情况。
【解析】根据角平分线的性质，到两条直线距离相等的点在这两条直线所成角的平分线上。三条相互交叉的直线两两相交，形成一个三角形：①三角形的三个内角的平分线交于1个点，该点到三条直线的距离相等；②三角形的每个外角的平分线与另外两个内角的平分线的交点，这样的点共有3个，每个点也到三条直线的距离相等。因此，满足条件的点共有1+3=4个，即可供选择的地点有4处。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质、三角形内外角平分线
【点评】本题易因只考虑三角形内角平分线的交点，忽略外角平分线的交点而错选，需全面分析角平分线的类型，确保不遗漏符合条件的点。
【难度系数】0.4
【解析】根据角平分线的性质，到两条直线距离相等的点在这两条直线所成角的平分线上。三条相互交叉的直线两两相交，形成一个三角形：①三角形的三个内角的平分线交于1个点，该点到三条直线的距离相等；②三角形的每个外角的平分线与另外两个内角的平分线的交点，这样的点共有3个，每个点也到三条直线的距离相等。因此，满足条件的点共有1+3=4个，即可供选择的地点有4处。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质、三角形内外角平分线
【点评】本题易因只考虑三角形内角平分线的交点，忽略外角平分线的交点而错选，需全面分析角平分线的类型，确保不遗漏符合条件的点。
【难度系数】0.4
3 如图,$P$是$△ ABC$内一点,$PD ⊥ BC$于点$D$,$PE ⊥ AC$于点$E$,$PF ⊥ AB$于点$F$,$PD=PE$,则点$P$在
∠C
的平分线上.答案
3. ∠C
解析
【分析】
要确定点P所在的角平分线，需依据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。题目中PD⊥BC，PE⊥AC，说明PD、PE分别是点P到∠C两边BC、AC的距离，结合已知PD=PE，即可判断点P的位置。
【解析】
∵ PD⊥BC，PE⊥AC，
∴ PD是点P到BC的距离，PE是点P到AC的距离。
又
∵ PD=PE，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
∴ 点P在∠C的平分线上。
【答案】∠C
【知识点】角平分线的判定
【点评】本题直接考查角平分线的判定定理，属于基础题型，只要牢记定理内容即可快速解题，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】0.3
要确定点P所在的角平分线，需依据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。题目中PD⊥BC，PE⊥AC，说明PD、PE分别是点P到∠C两边BC、AC的距离，结合已知PD=PE，即可判断点P的位置。
【解析】
∵ PD⊥BC，PE⊥AC，
∴ PD是点P到BC的距离，PE是点P到AC的距离。
又
∵ PD=PE，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
∴ 点P在∠C的平分线上。
【答案】∠C
【知识点】角平分线的判定
【点评】本题直接考查角平分线的判定定理，属于基础题型，只要牢记定理内容即可快速解题，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】0.3
4 教材 P51 练习第1题变式 如图，$BF ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，垂足分别为 $F$，$E$，$BF$ 与 $CE$ 相交于点 $D$，$BD=CD$。求证：点 $D$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上。
答案
4. $\because BF ⊥ AC,CE ⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°.$在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}\therefore △ BDE≌△ CDF.\therefore DE=DF.$又$\because BF ⊥ AC,CE ⊥ AB,\therefore$ 点 $D$ 在$∠ BAC$ 的平分线上
解析
【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。已知CE⊥AB、BF⊥AC，可得∠BED和∠CFD均为直角，结合BD=CD及对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF，最终依据角平分线的判定得出结论。
【解析】
证明：
∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴ ∠ BED = ∠ CFD = 90°（垂直的定义）。
在△ BDE和△ CDF中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD, \\∠ BDE = ∠ CDF, \\BD = CD,\end{cases}$
∴ △ BDE ≌ △ CDF（AAS）。
∴ DE = DF（全等三角形对应边相等）。
又
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，即点D到AB、AC的距离分别为DE、DF，
∴ 点D在∠ BAC的平分线上（角平分线的判定定理）。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上
【知识点】
全等三角形判定；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与角平分线判定的基础综合题，核心是利用AAS证明三角形全等得到对应边相等，进而判定点在角平分线上，解题思路清晰，属于常规几何证明题。
【难度系数】
0.6
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，即DE=DF。已知CE⊥AB、BF⊥AC，可得∠BED和∠CFD均为直角，结合BD=CD及对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF，最终依据角平分线的判定得出结论。
【解析】
证明：
∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴ ∠ BED = ∠ CFD = 90°（垂直的定义）。
在△ BDE和△ CDF中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD, \\∠ BDE = ∠ CDF, \\BD = CD,\end{cases}$
∴ △ BDE ≌ △ CDF（AAS）。
∴ DE = DF（全等三角形对应边相等）。
又
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，即点D到AB、AC的距离分别为DE、DF，
∴ 点D在∠ BAC的平分线上（角平分线的判定定理）。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上
【知识点】
全等三角形判定；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与角平分线判定的基础综合题，核心是利用AAS证明三角形全等得到对应边相等，进而判定点在角平分线上，解题思路清晰，属于常规几何证明题。
【难度系数】
0.6
5 如图,在$△ ABC$中,$P$是$BC$上一点,$PR ⊥ AB$,$PS ⊥ AC$,垂足分别为$R$,$S$,$PR=PS$,$Q$是$AC$上一点,且$∠ CAP=∠ APQ$.
(1) 求证:$QP // AR$.
(2)$AR$和$AS$相等吗?请说明理由.
(1) 求证:$QP // AR$.
(2)$AR$和$AS$相等吗?请说明理由.
答案
5. (1) $\because PR ⊥ AB,PS ⊥ AC,PR=PS,\therefore AP$ 平分$∠ BAC.$
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAP.$ 又 $\because ∠ CAP = ∠ APQ,\therefore ∠ BAP=∠ APQ.\therefore QP// AR$ (2) 相等 理由:$\because PR ⊥ AB,PS ⊥ AC,$
$\therefore ∠ ARP = ∠ ASP = 90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ APR$ 和 $\mathrm{Rt}△ APS$ 中,
$\begin{cases}AP=AP,\\PR=PS,\end{cases}\therefore \mathrm{Rt}△ APR≌\mathrm{Rt}△ APS.\therefore AR=AS.$
$\therefore ∠ BAP = ∠ CAP.$ 又 $\because ∠ CAP = ∠ APQ,\therefore ∠ BAP=∠ APQ.\therefore QP// AR$ (2) 相等 理由:$\because PR ⊥ AB,PS ⊥ AC,$
$\therefore ∠ ARP = ∠ ASP = 90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ APR$ 和 $\mathrm{Rt}△ APS$ 中,
$\begin{cases}AP=AP,\\PR=PS,\end{cases}\therefore \mathrm{Rt}△ APR≌\mathrm{Rt}△ APS.\therefore AR=AS.$
解析
【分析】
第(1)问要证QP//AR，根据平行线判定需证内错角∠BAP=∠APQ；已知∠CAP=∠APQ，只需证AP平分∠BAC，结合PR⊥AB、PS⊥AC且PR=PS，利用角平分线的判定定理即可推出AP平分∠BAC，进而得到∠BAP=∠CAP，完成证明。第(2)问判断AR与AS的关系，可通过证明Rt△APR和Rt△APS全等，利用HL定理得到全等后，对应边相等即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴ AP平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ ∠BAP = ∠CAP，
又
∵ ∠CAP = ∠APQ，
∴ ∠BAP = ∠APQ，
∴ QP//AR（内错角相等，两直线平行）。
(2) AR和AS相等，理由如下：
∵ PR⊥AB，PS⊥AC，
∴ ∠ARP = ∠ASP = 90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
$\begin{cases} AP = AP \\ PR = PS \end{cases}$，
∴ Rt△APR ≌ Rt△APS（HL），
∴ AR = AS（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) QP//AR，证明成立；(2) AR和AS相等。
【知识点】
角平分线的判定、平行线的判定、直角三角形全等（HL）
【点评】
本题考查初中几何基础知识点，需熟练运用角平分线判定、平行线判定及直角三角形全等的HL定理，题型常规，注重基础定理的应用。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证QP//AR，根据平行线判定需证内错角∠BAP=∠APQ；已知∠CAP=∠APQ，只需证AP平分∠BAC，结合PR⊥AB、PS⊥AC且PR=PS，利用角平分线的判定定理即可推出AP平分∠BAC，进而得到∠BAP=∠CAP，完成证明。第(2)问判断AR与AS的关系，可通过证明Rt△APR和Rt△APS全等，利用HL定理得到全等后，对应边相等即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴ AP平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ ∠BAP = ∠CAP，
又
∵ ∠CAP = ∠APQ，
∴ ∠BAP = ∠APQ，
∴ QP//AR（内错角相等，两直线平行）。
(2) AR和AS相等，理由如下：
∵ PR⊥AB，PS⊥AC，
∴ ∠ARP = ∠ASP = 90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
$\begin{cases} AP = AP \\ PR = PS \end{cases}$，
∴ Rt△APR ≌ Rt△APS（HL），
∴ AR = AS（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) QP//AR，证明成立；(2) AR和AS相等。
【知识点】
角平分线的判定、平行线的判定、直角三角形全等（HL）
【点评】
本题考查初中几何基础知识点，需熟练运用角平分线判定、平行线判定及直角三角形全等的HL定理，题型常规，注重基础定理的应用。
【难度系数】
0.6
6 如图, $△ A B C$ 的外角平分线 $B D, C E$ 相交于点 $P$. 若点 $P$ 到 $A C$ 的距离为 3 , 则点 $P$ 到 $A B$ 的距离为
（
A.1
B.2
C.3
D.4
（
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. C
解析
【分析】
要解决本题，需运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中BD、CE是△ABC的外角平分线，交点为P，根据角平分线性质，可通过等量代换得到点P到AB的距离与到AC的距离相等，进而求出结果。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 因为CE是△ABC的外角平分线，点P在CE上，所以点P到AC的距离等于点P到BC的距离，已知点P到AC的距离为3，因此点P到BC的距离为3；
2. 因为BD是△ABC的外角平分线，点P在BD上，所以点P到BC的距离等于点P到AB的距离，由此可得点P到AB的距离为3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，核心是利用外角平分线交点到各边所在直线的距离相等，通过等量代换即可解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中BD、CE是△ABC的外角平分线，交点为P，根据角平分线性质，可通过等量代换得到点P到AB的距离与到AC的距离相等，进而求出结果。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 因为CE是△ABC的外角平分线，点P在CE上，所以点P到AC的距离等于点P到BC的距离，已知点P到AC的距离为3，因此点P到BC的距离为3；
2. 因为BD是△ABC的外角平分线，点P在BD上，所以点P到BC的距离等于点P到AB的距离，由此可得点P到AB的距离为3。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，核心是利用外角平分线交点到各边所在直线的距离相等，通过等量代换即可解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
