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7 [2025 崇川期末改编]如图,用三角尺可按下面的方法画角平分线:在已知的$∠ AOB$的两边上分别取点$M$,$N$,使$OM=ON$,再分别过点$M$,$N$作$OA$,$OB$的垂线,交点为$P$,画射线$OP$.下列结论错误的是（
A.$△ OMP ≌ △ ONP$
B.$OP$平分$∠ AOB$
C.$PM=PN$
D.$∠ OPM=60°$
D
）A.$△ OMP ≌ △ ONP$
B.$OP$平分$∠ AOB$
C.$PM=PN$
D.$∠ OPM=60°$
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需结合题目给出的条件，利用直角三角形全等的判定定理推导。已知OM=ON，PM⊥OA、PN⊥OB，可证Rt△OMP与Rt△ONP全等，再根据全等三角形的性质分析各选项，注意题目未给出角度相关条件，不能随意推导角度。
【解析】
1. 由PM⊥OA，PN⊥OB，得∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP均为直角三角形。
2. 在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ON（已知），OP=OP（公共边），根据HL定理，可证Rt△OMP≌Rt△ONP，故选项A正确。
3. 由全等三角形对应角相等，得∠MOP=∠NOP，因此OP平分∠AOB，选项B正确。
4. 由全等三角形对应边相等，得PM=PN，选项C正确。
5. 题目未给出任何与∠OPM相关的角度条件，无法得出∠OPM=60°，故选项D错误。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定（HL）、角平分线的定义
【点评】
本题结合三角尺画角平分线的操作，考查直角三角形全等的判定及角平分线的性质，属于基础几何题，需熟练掌握全等三角形的判定定理，避免无依据的角度假设。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，需结合题目给出的条件，利用直角三角形全等的判定定理推导。已知OM=ON，PM⊥OA、PN⊥OB，可证Rt△OMP与Rt△ONP全等，再根据全等三角形的性质分析各选项，注意题目未给出角度相关条件，不能随意推导角度。
【解析】
1. 由PM⊥OA，PN⊥OB，得∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP均为直角三角形。
2. 在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ON（已知），OP=OP（公共边），根据HL定理，可证Rt△OMP≌Rt△ONP，故选项A正确。
3. 由全等三角形对应角相等，得∠MOP=∠NOP，因此OP平分∠AOB，选项B正确。
4. 由全等三角形对应边相等，得PM=PN，选项C正确。
5. 题目未给出任何与∠OPM相关的角度条件，无法得出∠OPM=60°，故选项D错误。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定（HL）、角平分线的定义
【点评】
本题结合三角尺画角平分线的操作，考查直角三角形全等的判定及角平分线的性质，属于基础几何题，需熟练掌握全等三角形的判定定理，避免无依据的角度假设。
【难度系数】
0.7
8 [2025 海门期末改编]如图，$\mathrm{Rt}△ ACB$ 中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，$BC=3$，$E$ 是$△ ABC$ 内一点且 $BE$ 平分$∠ ABC$。若$△ BCE$ 的面积为$\dfrac{5}{4}$，则$△ ABE$ 的面积为
$\dfrac{25}{12}$
。答案
$\frac{25}{12}$ 【解析】如图,过点 $E$ 分别作 $EG⊥ BC,EH⊥ AB$,垂足分别为 $G,H$.$\because BE$ 平分$∠ ABC$,$\therefore EG=EH$.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=5$,$BC=3$,$\because △ BCE$ 的面积为$\frac{5}{4}$,$\therefore \frac{1}{2}×3× EG=\frac{5}{4}$,解得 $EG=\frac{5}{6}$.$\therefore EH=\frac{5}{6}$.$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{6}=\frac{25}{12}$.
解析
【分析】
要计算△ABE的面积，需利用角平分线的性质建立高的关系。首先，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E作BC和AB的垂线，这两条垂线段长度相等；接着，利用已知△BCE的面积和BC的长度，求出其中一条垂线段的长度，进而得到另一条垂线段的长度；最后，用AB和这条垂线段计算△ABE的面积。
【解析】
如图，过点E分别作$EG⊥ BC$，$EH⊥ AB$，垂足分别为G，H。
∵ BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $EG = EH$。
已知$S_{△ BCE}=\frac{5}{4}$，$BC=3$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}× BC × EG = \frac{5}{4}$，代入$BC=3$，即$\frac{1}{2}×3×EG=\frac{5}{4}$，
解得$EG=\frac{5}{6}$。
∵ $EG=EH$，
∴ $EH=\frac{5}{6}$。
则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × EH = \frac{1}{2}×5×\frac{5}{6}=\frac{25}{12}$。
【答案】
$\frac{25}{12}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，通过作辅助线将面积问题转化为求高的问题，解题关键是利用角平分线得到两条垂线段相等，进而计算目标三角形的面积，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
要计算△ABE的面积，需利用角平分线的性质建立高的关系。首先，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E作BC和AB的垂线，这两条垂线段长度相等；接着，利用已知△BCE的面积和BC的长度，求出其中一条垂线段的长度，进而得到另一条垂线段的长度；最后，用AB和这条垂线段计算△ABE的面积。
【解析】
如图，过点E分别作$EG⊥ BC$，$EH⊥ AB$，垂足分别为G，H。
∵ BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $EG = EH$。
已知$S_{△ BCE}=\frac{5}{4}$，$BC=3$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}× BC × EG = \frac{5}{4}$，代入$BC=3$，即$\frac{1}{2}×3×EG=\frac{5}{4}$，
解得$EG=\frac{5}{6}$。
∵ $EG=EH$，
∴ $EH=\frac{5}{6}$。
则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × EH = \frac{1}{2}×5×\frac{5}{6}=\frac{25}{12}$。
【答案】
$\frac{25}{12}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，通过作辅助线将面积问题转化为求高的问题，解题关键是利用角平分线得到两条垂线段相等，进而计算目标三角形的面积，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
9 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中,$∠ C=∠ D=90°$,$AD$平分$∠ CAB$,$BC$平分$∠ ABD$,$AD$,$BC$相交于点$O$.求证:$OC=OD$.
答案
如图,过点 $O$ 作 $OE⊥ AB$ 于点 $E$.$\because ∠ C=90°$,即 $OC⊥ AC$,$AO$ 平分$∠ CAB$,$\therefore OC = OE$. 同理,可得 $OD = OE$,$\therefore OC=OD$
解析
【分析】要证明OC=OD，已知AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，且∠C、∠D均为直角，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。通过过点O作AB的垂线，将OC、OD转化为该垂线段，再通过等量代换即可得出结论。
【解析】过点O作OE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，即OC⊥AC，AD平分∠CAB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OC=OE。
又
∵∠D=90°，即OD⊥BD，BC平分∠ABD，同理可得OD=OE。
∴OC=OD。
【答案】OC=OD
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题利用角平分线的性质进行几何证明，通过作辅助线将待证线段转化为角平分线上的点到角两边的距离，是基础的几何证明题型，考查对性质的应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】过点O作OE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，即OC⊥AC，AD平分∠CAB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OC=OE。
又
∵∠D=90°，即OD⊥BD，BC平分∠ABD，同理可得OD=OE。
∴OC=OD。
【答案】OC=OD
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题利用角平分线的性质进行几何证明，通过作辅助线将待证线段转化为角平分线上的点到角两边的距离，是基础的几何证明题型，考查对性质的应用能力。
【难度系数】0.6
10 [2026 崇川段测改编]如图,$△ ABC$的周长是13,$BO,CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,$OD ⊥ BC$于点$D$,且$△ ABC$的面积为13,求$OD$的长.
答案
如图,连接 $OA$,过点 $O$ 作 $OE⊥ AB$ 于点 $E$,$OF⊥ AC$ 于点 $F$.$\because BO,CO$ 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ ACB$,$OD⊥ BC$,$OE⊥ AB$,$OF⊥ AC$,$\therefore OD=OE=OF$.$\because C_{△ ABC}=AB+AC+BC=13$,$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BCO}$,$\therefore \frac{1}{2}AB· OE+\frac{1}{2}AC· OF+\frac{1}{2}BC· OD=13$,即 $\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· OD=13$,解得 $OD=2$
解析
【分析】
要解决本题，需利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先作辅助线OE⊥AB、OF⊥AC，可得到OD=OE=OF；再将△ABC的面积拆分为△ABO、△ACO、△BCO的面积之和，结合已知的周长和面积，代入化简后即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得OD=OE，OD=OF，即OD=OE=OF。
∵△ABC的面积等于三个小三角形面积之和，即$ S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BCO} $，
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}AC· OF + \frac{1}{2}BC· OD $，
将OE=OF=OD代入，得$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· OD $。
已知$ C_{△ ABC}=AB+AC+BC=13 $，$ S_{△ ABC}=13 $，
代入得：$ 13=\frac{1}{2}×13× OD $，
解得$ OD=2 $。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与三角形面积的拆分，核心是利用角平分线性质得到三条垂线段相等，将面积表达式转化为与周长相关的式子，进而求解，属于中等难度的基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先作辅助线OE⊥AB、OF⊥AC，可得到OD=OE=OF；再将△ABC的面积拆分为△ABO、△ACO、△BCO的面积之和，结合已知的周长和面积，代入化简后即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得OD=OE，OD=OF，即OD=OE=OF。
∵△ABC的面积等于三个小三角形面积之和，即$ S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BCO} $，
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}AC· OF + \frac{1}{2}BC· OD $，
将OE=OF=OD代入，得$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· OD $。
已知$ C_{△ ABC}=AB+AC+BC=13 $，$ S_{△ ABC}=13 $，
代入得：$ 13=\frac{1}{2}×13× OD $，
解得$ OD=2 $。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与三角形面积的拆分，核心是利用角平分线性质得到三条垂线段相等，将面积表达式转化为与周长相关的式子，进而求解，属于中等难度的基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5
11 如图, A D 平分 $∠ B A C, D E ⊥ A B$ 于点 $E, D F ⊥ A C$ 交 A C 的延长线于点 F, 且 $B D=C D$.
(1) 图中与 $△ B D E$ 全等的三角形是
(2) 若 $A E=6 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$, 求 B E 的长.
(1) 图中与 $△ B D E$ 全等的三角形是
$△ CDF$
, 并证明;(2) 若 $A E=6 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$, 求 B E 的长.
答案
(1) $△ CDF$ $\because AD$ 平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore DE=DF$,$∠ BED = ∠ F = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$ (2) 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和$\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF$.$\therefore AE=AF$.$\because AE=6 \mathrm{ cm}$,$\therefore AF=6 \mathrm{ cm}$.$\because AC=4 \mathrm{ cm}$,$\therefore CF=AF-AC=2 \mathrm{ cm}$. 由(1),可知 $\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$,$\therefore BE=CF$.$\therefore BE=2 \mathrm{ cm}$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用角平分线的性质得到DE=DF，结合直角三角形全等的HL定理，证明△BDE与△CDF全等；再通过证明△ADE和△ADF全等得到AE=AF，进而求出CF的长度，最后利用全等三角形对应边相等得到BE=CF，从而算出BE的长。
【解析】
(1) 与△BDE全等的三角形是△CDF，证明如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得DE=DF，且∠BED=∠F=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
(2) 计算BE的长度：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。
已知AE=6cm，故AF=6cm。
又
∵AC=4cm，
∴CF=AF - AC =6 -4=2cm。
由(1)中Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，
∴BE=2cm。
【答案】
(1) △CDF；(2) 2cm
【知识点】
角平分线性质、直角三角形全等判定（HL）、线段长度计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与直角三角形全等的判定，需熟练运用HL定理证明三角形全等，再利用全等性质转化线段求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用角平分线的性质得到DE=DF，结合直角三角形全等的HL定理，证明△BDE与△CDF全等；再通过证明△ADE和△ADF全等得到AE=AF，进而求出CF的长度，最后利用全等三角形对应边相等得到BE=CF，从而算出BE的长。
【解析】
(1) 与△BDE全等的三角形是△CDF，证明如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得DE=DF，且∠BED=∠F=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
(2) 计算BE的长度：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。
已知AE=6cm，故AF=6cm。
又
∵AC=4cm，
∴CF=AF - AC =6 -4=2cm。
由(1)中Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，
∴BE=2cm。
【答案】
(1) △CDF；(2) 2cm
【知识点】
角平分线性质、直角三角形全等判定（HL）、线段长度计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与直角三角形全等的判定，需熟练运用HL定理证明三角形全等，再利用全等性质转化线段求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
