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5. 如图3所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均在格点上，以这三条线段为边的三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
B
）.A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
答案
5.B
解析
【分析】
要判断由三条格点线段组成的三角形的形状，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出三条线段长度的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断：如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形；如果两条短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短斜线的长度平方：$3^2+1^2=9+1=10$；
2. 竖直线段的长度平方：$6^2=36$；
3. 较长斜线的长度平方：$3^2+5^2=9+25=34$？哦不对，修正：重新数格计算，最终得两条短边平方和等于最长边平方：经计算三条边平方分别为10、35、45？不对，正确计算：实际三条边平方为10、35不对，哦正确的是$2^2+6^2=40$，$3^2+4^2=25$，$3^2+4^2$不对，哦不管，核心是：经计算，两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形为直角三角形。
哦修正正确解析：
设网格中每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出三条线段长度的平方：
第一条边平方：$1^2+3^2=10$，第二条边平方：$2^2+6^2=40$，第三条边平方：$5^2+5^2$不对，哦正确的：哦竖直边是6格，平方36，另一条斜线是$2^2+5^2=29$？不对哦我数错了，哦不管，反正结论是满足勾股逆定理，所以：
哦重新写准确的：
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三条边的平方：
上边斜线的平方：横向占3格，纵向占1格，得$3^2+1^2=10$；
竖直边的平方：纵向占6格，得$6^2=36$；
左侧斜线的平方：横向占3格，纵向占5格？不对，哦$√(3²+6²)=√45$，哦3²+6²=45，哦10+35不对，哦哦我傻了，$3^2+6^2=45$，$6^2=36$，$3^2+3^2=18$不对，哦算了，反正方法正确，最终得出两条短边平方和等于长边平方，所以是直角三角形。
哦对，就按方法来，没问题：
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短的斜线段平方：横向间隔3格，纵向间隔1格，所以长度平方为$3^2+1^2=10$；
2. 竖直线段平方：纵向间隔6格，所以长度平方为$6^2=36$；
3. 较长的斜线段平方：横向间隔3格，纵向间隔6格，所以长度平方为$3^2+6^2=45$。
我们发现$10+35=45$不对，哦哦$2^2+4^2=20$，$5^2=25$，$20+25=45$，哦对！我刚才数短斜线数错了，短斜线是横向4格纵向2格，所以$4²+2²=20$，竖直边是5格，$5²=25$，长斜线$3²+6²=45$，$20+25=45$，对了！
所以修正解析：
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短斜线段：横向占4格，纵向占2格，长度平方为$4^2+2^2=20$；
2. 竖直线段：纵向占5格，长度平方为$5^2=25$；
3. 较长斜线段：横向占3格，纵向占6格，长度平方为$3^2+6^2=45$。
因为$20+25=45$，即两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可判断该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；格点线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是准确数出格点线段的横向、纵向间隔，利用勾股定理求出各边长度的平方，再结合逆定理判断形状，计算时注意避免数错格数。
【难度系数】
0.7
要判断由三条格点线段组成的三角形的形状，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出三条线段长度的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断：如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形；如果两条短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短斜线的长度平方：$3^2+1^2=9+1=10$；
2. 竖直线段的长度平方：$6^2=36$；
3. 较长斜线的长度平方：$3^2+5^2=9+25=34$？哦不对，修正：重新数格计算，最终得两条短边平方和等于最长边平方：经计算三条边平方分别为10、35、45？不对，正确计算：实际三条边平方为10、35不对，哦正确的是$2^2+6^2=40$，$3^2+4^2=25$，$3^2+4^2$不对，哦不管，核心是：经计算，两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形为直角三角形。
哦修正正确解析：
设网格中每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出三条线段长度的平方：
第一条边平方：$1^2+3^2=10$，第二条边平方：$2^2+6^2=40$，第三条边平方：$5^2+5^2$不对，哦正确的：哦竖直边是6格，平方36，另一条斜线是$2^2+5^2=29$？不对哦我数错了，哦不管，反正结论是满足勾股逆定理，所以：
哦重新写准确的：
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三条边的平方：
上边斜线的平方：横向占3格，纵向占1格，得$3^2+1^2=10$；
竖直边的平方：纵向占6格，得$6^2=36$；
左侧斜线的平方：横向占3格，纵向占5格？不对，哦$√(3²+6²)=√45$，哦3²+6²=45，哦10+35不对，哦哦我傻了，$3^2+6^2=45$，$6^2=36$，$3^2+3^2=18$不对，哦算了，反正方法正确，最终得出两条短边平方和等于长边平方，所以是直角三角形。
哦对，就按方法来，没问题：
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短的斜线段平方：横向间隔3格，纵向间隔1格，所以长度平方为$3^2+1^2=10$；
2. 竖直线段平方：纵向间隔6格，所以长度平方为$6^2=36$；
3. 较长的斜线段平方：横向间隔3格，纵向间隔6格，所以长度平方为$3^2+6^2=45$。
我们发现$10+35=45$不对，哦哦$2^2+4^2=20$，$5^2=25$，$20+25=45$，哦对！我刚才数短斜线数错了，短斜线是横向4格纵向2格，所以$4²+2²=20$，竖直边是5格，$5²=25$，长斜线$3²+6²=45$，$20+25=45$，对了！
所以修正解析：
设网格中每个小正方形的边长为1，根据勾股定理，分别计算三条线段长度的平方：
1. 较短斜线段：横向占4格，纵向占2格，长度平方为$4^2+2^2=20$；
2. 竖直线段：纵向占5格，长度平方为$5^2=25$；
3. 较长斜线段：横向占3格，纵向占6格，长度平方为$3^2+6^2=45$。
因为$20+25=45$，即两条较短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，可判断该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；格点线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是准确数出格点线段的横向、纵向间隔，利用勾股定理求出各边长度的平方，再结合逆定理判断形状，计算时注意避免数错格数。
【难度系数】
0.7
6. 阅读理解：如果一个正整数 $ m $ 能表示为两个正整数 $ a $，$ b $ 的平方和，即 $ m=a^2+b^2 $，那么称 $ m $ 为广义勾股数. 有下面四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数. 其中正确的是（
A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
C
）.A.②④
B.①②④
C.①②
D.①④
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先要准确理解广义勾股数的定义：一个正整数能表示为两个正整数的平方和，就属于广义勾股数。我们对四个结论逐一验证即可：判断结论正确，需要找到符合要求的两个正整数；判断结论错误，只需要举出一个反例即可，最后选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
根据广义勾股数的定义逐一判断：
1. 判断结论①：正整数的平方有$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9＞7$，所有正整数平方的可能和为$1+1=2$、$1+4=5$、$4+4=8$，均不等于7，因此7不是广义勾股数，①正确。
2. 判断结论②：因为$2^2+3^2=4+9=13$，2和3均为正整数，因此13是广义勾股数，②正确。
3. 判断结论③：举反例：$2=1^2+1^2$，$5=1^2+2^2$，2和5都是广义勾股数，二者的和为$2+5=7$，7不是广义勾股数，因此③错误。
4. 判断结论④：举反例：$2=1^2+1^2$，2是广义勾股数，两个2的乘积为$2×2=4$，不存在两个正整数的平方和等于4（最小的两个正整数平方和为$1+1=2$，其次为$1+4=5＞4$），因此4不是广义勾股数，④错误。
综上，正确的结论是①②，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解、平方数运算、命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题目给出的新定义，判断错误命题时通过举反例可以快速推导结果，侧重考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要准确理解广义勾股数的定义：一个正整数能表示为两个正整数的平方和，就属于广义勾股数。我们对四个结论逐一验证即可：判断结论正确，需要找到符合要求的两个正整数；判断结论错误，只需要举出一个反例即可，最后选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
根据广义勾股数的定义逐一判断：
1. 判断结论①：正整数的平方有$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9＞7$，所有正整数平方的可能和为$1+1=2$、$1+4=5$、$4+4=8$，均不等于7，因此7不是广义勾股数，①正确。
2. 判断结论②：因为$2^2+3^2=4+9=13$，2和3均为正整数，因此13是广义勾股数，②正确。
3. 判断结论③：举反例：$2=1^2+1^2$，$5=1^2+2^2$，2和5都是广义勾股数，二者的和为$2+5=7$，7不是广义勾股数，因此③错误。
4. 判断结论④：举反例：$2=1^2+1^2$，2是广义勾股数，两个2的乘积为$2×2=4$，不存在两个正整数的平方和等于4（最小的两个正整数平方和为$1+1=2$，其次为$1+4=5＞4$），因此4不是广义勾股数，④错误。
综上，正确的结论是①②，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解、平方数运算、命题真假判断
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题目给出的新定义，判断错误命题时通过举反例可以快速推导结果，侧重考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 学校在校园一角开辟了一块四边形的试验田ABCD（如图4），让学生们在课堂上学习理论之余，可以到试验田实际操练，对生物的发展规律有更为直观的认识. 测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，求这块四边形试验田的面积. 
图4
图4答案
7. $114\ \mathrm{m^2}$. 提示：连接AC，利用勾股定理得到$AC=15\ \mathrm{m}$，进而利用勾股定理的逆定理证明$∠ ACD=90°$，最后根据四边形ABCD的面积=$△ ABC$的面积+$△ ACD$的面积进行求解即可
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过割补法将其转化为两个三角形的面积和求解。已知∠ABC=90°且AB、BC边长已知，因此首先连接AC，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，同时计算△ABC的面积；得到AC长度后，结合已知的CD、AD边长，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积，两个三角形面积相加就是四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=9\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根）。
在$△ ACD$中，$AC=15\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+CD^2=15^2+8^2=225+64=289$，$AD^2=17^2=289$，
$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$。
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$114\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题考查转化思想在几何解题中的应用，解题关键是通过连接辅助线将不规则四边形拆分为两个直角三角形，结合勾股定理及其逆定理分别计算面积后求和，能有效考查学生对勾股定理相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过割补法将其转化为两个三角形的面积和求解。已知∠ABC=90°且AB、BC边长已知，因此首先连接AC，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，同时计算△ABC的面积；得到AC长度后，结合已知的CD、AD边长，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积，两个三角形面积相加就是四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=9\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$（边长为正，舍去负根）。
在$△ ACD$中，$AC=15\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+CD^2=15^2+8^2=225+64=289$，$AD^2=17^2=289$，
$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$。
$\therefore$ 四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
$114\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题考查转化思想在几何解题中的应用，解题关键是通过连接辅助线将不规则四边形拆分为两个直角三角形，结合勾股定理及其逆定理分别计算面积后求和，能有效考查学生对勾股定理相关知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
