登录
22.【活动背景】数学兴趣小组的同学们受《乌鸦喝水》故事的启发，决定在数学实验室中，利用带刻度的容器和匀速流水的水龙头开展数学实践活动.
【活动任务】任务一:常规容器中的函数探究.
有三种不同形状的容器,向这三种容器中匀速注水,恰好注满时停止.已知注水前图1的容器中有200 mL的水,图2的容器中有100 mL的水,图3的容器中没有水.图1和图2的注水速度均为5 mL/s,图3的注水速度为10 mL/s.设容器中水的体积为y(单位:mL),注水时间为x(单位:s).
(1)请同学们直接写出三个容器中y关于x的函数解析式.
任务二:特殊容器中的函数图象与取值范围探究.
如图4所示,同学们自己制作了一个特殊的容器,这个特殊容器由上、下两个高度相同的圆柱组合而成,且上面圆柱底面圆的半径是下面圆柱底面圆的半径的一半.已知这个特殊容器的高为20 cm,注水前,容器内的水面高度是4 cm,现向容器中匀速注水,直至容器恰好注满时停止,每5 s记录一次水面高度h(单位:cm),前5次数据如下表所示.
根据任务二中的信息,完成下列问题.
(2)请求出水面高度h关于注水时间t的函数解析式和t的取值范围,并在平面直角坐标系中画出函数图象.
(3)当水面高度h为9 cm时,注水时间t为多少?当注水时间为40 s时,水面高度h为多少?
【活动任务】任务一:常规容器中的函数探究.
有三种不同形状的容器,向这三种容器中匀速注水,恰好注满时停止.已知注水前图1的容器中有200 mL的水,图2的容器中有100 mL的水,图3的容器中没有水.图1和图2的注水速度均为5 mL/s,图3的注水速度为10 mL/s.设容器中水的体积为y(单位:mL),注水时间为x(单位:s).
(1)请同学们直接写出三个容器中y关于x的函数解析式.
任务二:特殊容器中的函数图象与取值范围探究.
如图4所示,同学们自己制作了一个特殊的容器,这个特殊容器由上、下两个高度相同的圆柱组合而成,且上面圆柱底面圆的半径是下面圆柱底面圆的半径的一半.已知这个特殊容器的高为20 cm,注水前,容器内的水面高度是4 cm,现向容器中匀速注水,直至容器恰好注满时停止,每5 s记录一次水面高度h(单位:cm),前5次数据如下表所示.
根据任务二中的信息,完成下列问题.
(2)请求出水面高度h关于注水时间t的函数解析式和t的取值范围,并在平面直角坐标系中画出函数图象.
(3)当水面高度h为9 cm时,注水时间t为多少?当注水时间为40 s时,水面高度h为多少?
答案
解：
(1) 图1对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)}$；
图2对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)}$；
图3对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=10x \quad (0≤ x≤ 30)}$。
(2) 由题意，上下两个圆柱高度相同，容器总高20 cm，因此上下圆柱的高度均为10 cm。
由表格数据可知，当水面在下方圆柱内时，水面高度每5 s上升1 cm，设该段函数解析式为$h=kt+b$，将$(0,4)$代入得$b=4$，将$(5,5)$代入得$5=5k+4$，解得$k=0.2$，即$h=0.2t+4$。
令$h=10$，得$0.2t+4=10$，解得$t=30$，即$0≤ t≤ 30$时，水面处于下方圆柱内。
由上方圆柱底面圆半径是下方圆柱的一半，得上方圆柱底面积是下方圆柱底面积的$\frac{1}{4}$，匀速注水时，上方圆柱内水面上升速度是下方的4倍，即每秒上升$0.2×4=0.8$ cm。
设该段函数解析式为$h=mt+n$，将$(30,10)$、$m=0.8$代入得$10=0.8×30 +n$，解得$n=-14$，即$h=0.8t-14$。
令$h=20$，得$0.8t-14=20$，解得$t=42.5$，即$30＜ t≤ 42.5$时，水面处于上方圆柱内。
综上，水面高度$h$关于注水时间$t$的分段函数解析式为：
$h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$
函数图象绘制：在坐标系中依次描出点$(0,4)$、$(30,10)$、$(42.5,20)$，连接$(0,4)$与$(30,10)$，再连接$(30,10)$与$(42.5,20)$，所得两段线段即为所求函数图象。
(3) 当$h=9$时，$9＜10$，代入$h=0.2t+4$，得$9=0.2t+4$，解得$t=25$。
当$t=40$时，$40＞30$，代入$h=0.8t-14$，得$h=0.8×40 -14=18$。
答：当水面高度$h$为9 cm时，注水时间$t$为25 s；当注水时间为40 s时，水面高度$h$为18 cm。
(1) 图1对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)}$；
图2对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)}$；
图3对应的函数解析式为：$\boldsymbol{y=10x \quad (0≤ x≤ 30)}$。
(2) 由题意，上下两个圆柱高度相同，容器总高20 cm，因此上下圆柱的高度均为10 cm。
由表格数据可知，当水面在下方圆柱内时，水面高度每5 s上升1 cm，设该段函数解析式为$h=kt+b$，将$(0,4)$代入得$b=4$，将$(5,5)$代入得$5=5k+4$，解得$k=0.2$，即$h=0.2t+4$。
令$h=10$，得$0.2t+4=10$，解得$t=30$，即$0≤ t≤ 30$时，水面处于下方圆柱内。
由上方圆柱底面圆半径是下方圆柱的一半，得上方圆柱底面积是下方圆柱底面积的$\frac{1}{4}$，匀速注水时，上方圆柱内水面上升速度是下方的4倍，即每秒上升$0.2×4=0.8$ cm。
设该段函数解析式为$h=mt+n$，将$(30,10)$、$m=0.8$代入得$10=0.8×30 +n$，解得$n=-14$，即$h=0.8t-14$。
令$h=20$，得$0.8t-14=20$，解得$t=42.5$，即$30＜ t≤ 42.5$时，水面处于上方圆柱内。
综上，水面高度$h$关于注水时间$t$的分段函数解析式为：
$h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$
函数图象绘制：在坐标系中依次描出点$(0,4)$、$(30,10)$、$(42.5,20)$，连接$(0,4)$与$(30,10)$，再连接$(30,10)$与$(42.5,20)$，所得两段线段即为所求函数图象。
(3) 当$h=9$时，$9＜10$，代入$h=0.2t+4$，得$9=0.2t+4$，解得$t=25$。
当$t=40$时，$40＞30$，代入$h=0.8t-14$，得$h=0.8×40 -14=18$。
答：当水面高度$h$为9 cm时，注水时间$t$为25 s；当注水时间为40 s时，水面高度$h$为18 cm。
解析
【分析】
(1) 容器内水的体积由原有水量和注入水量两部分组成，注入水量=注水速度×注水时间，先明确三个容器的原有水量、注水速度，再结合注满的时间限制确定x的取值范围，即可直接写出函数解析式。
(2) 首先由容器总高和上下圆柱高度相同，得出上下圆柱的高度均为10cm；先利用表格给出的t=0和t=5时的h值，用待定系数法求出水面在下方圆柱内的函数解析式，再令h=10求出分界点对应的t值；接下来根据上下圆柱半径的关系得出底面积的关系，匀速注水时，水面上升速度与底面积成反比，由此求出上方圆柱内水面的上升速度，再用待定系数法求出上方段的函数解析式，令h=20求出注满对应的t值，即可得到完整的分段函数和t的取值范围，最后描出各段端点连线即可画出函数图象。
(3) 求解时先判断已知量所属的分段区间，代入对应段的函数解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图1原有水200mL，注水速度5mL/s，注满时间为60s，因此函数解析式为：$y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)$；
图2原有水100mL，注水速度5mL/s，注满时间为60s，因此函数解析式为：$y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)$；
图3原有水0mL，注水速度10mL/s，注满时间为30s，因此函数解析式为：$y=10x \quad (0≤ x≤ 30)$。
(2) 由题意可知，上下两个圆柱高度相同，容器总高20cm，因此上下圆柱的高度均为10cm。
① 当水面在下方圆柱内时：由表格数据可知，水面高度每5s上升1cm，设该段函数解析式为$h=kt+b$，将$(0,4)$代入得$b=4$，将$(5,5)$代入得$5=5k+4$，解得$k=0.2$，即该段解析式为$h=0.2t+4$。
令$h=10$，得$0.2t+4=10$，解得$t=30$，因此当$0≤ t≤ 30$时，水面处于下方圆柱内，解析式为$h=0.2t+4$。
② 当水面在上方圆柱内时：上方圆柱底面圆半径是下方圆柱的一半，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得上方圆柱底面积是下方圆柱底面积的$\frac{1}{4}$；匀速注水时，相同时间内注入的水量相同，因此水面上升速度与底面积成反比，即上方圆柱内水面上升速度是下方的4倍，即每秒上升$0.2×4=0.8$cm。
设该段函数解析式为$h=mt+n$，将分界点$(30,10)$、$m=0.8$代入得$10=0.8×30 +n$，解得$n=-14$，即该段解析式为$h=0.8t-14$。
令$h=20$，得$0.8t-14=20$，解得$t=42.5$，因此当$30＜ t≤ 42.5$时，水面处于上方圆柱内，解析式为$h=0.8t-14$。
综上，水面高度$h$关于注水时间$t$的分段函数解析式为：
$h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$
函数图象绘制：在平面直角坐标系中依次描出点$(0,4)$、$(30,10)$、$(42.5,20)$，用线段连接$(0,4)$与$(30,10)$，再用线段连接$(30,10)$与$(42.5,20)$，所得的两段线段即为所求的函数图象。
(3) ① 当$h=9$时，$9＜10$，说明水面在下方圆柱内，代入$h=0.2t+4$，得$9=0.2t+4$，解得$t=25$。
② 当$t=40$时，$30＜40＜42.5$，说明水面在上方圆柱内，代入$h=0.8t-14$，得$h=0.8×40 -14=18$。
【答案】
(1) 图1：$\boldsymbol{y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)}$；图2：$\boldsymbol{y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)}$；图3：$\boldsymbol{y=10x \quad (0≤ x≤ 30)}$
(2) $h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$，函数图象见解析；
(3) 水面高度为9cm时，注水时间为25s；注水时间为40s时，水面高度为18cm。
【知识点】
一次函数的实际应用，分段函数，圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活实践情境考查一次函数的应用，需要学生结合几何图形的性质推导分段函数的分界点和各段函数的参数，既考查了一次函数的基础性质，也锻炼了学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 容器内水的体积由原有水量和注入水量两部分组成，注入水量=注水速度×注水时间，先明确三个容器的原有水量、注水速度，再结合注满的时间限制确定x的取值范围，即可直接写出函数解析式。
(2) 首先由容器总高和上下圆柱高度相同，得出上下圆柱的高度均为10cm；先利用表格给出的t=0和t=5时的h值，用待定系数法求出水面在下方圆柱内的函数解析式，再令h=10求出分界点对应的t值；接下来根据上下圆柱半径的关系得出底面积的关系，匀速注水时，水面上升速度与底面积成反比，由此求出上方圆柱内水面的上升速度，再用待定系数法求出上方段的函数解析式，令h=20求出注满对应的t值，即可得到完整的分段函数和t的取值范围，最后描出各段端点连线即可画出函数图象。
(3) 求解时先判断已知量所属的分段区间，代入对应段的函数解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图1原有水200mL，注水速度5mL/s，注满时间为60s，因此函数解析式为：$y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)$；
图2原有水100mL，注水速度5mL/s，注满时间为60s，因此函数解析式为：$y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)$；
图3原有水0mL，注水速度10mL/s，注满时间为30s，因此函数解析式为：$y=10x \quad (0≤ x≤ 30)$。
(2) 由题意可知，上下两个圆柱高度相同，容器总高20cm，因此上下圆柱的高度均为10cm。
① 当水面在下方圆柱内时：由表格数据可知，水面高度每5s上升1cm，设该段函数解析式为$h=kt+b$，将$(0,4)$代入得$b=4$，将$(5,5)$代入得$5=5k+4$，解得$k=0.2$，即该段解析式为$h=0.2t+4$。
令$h=10$，得$0.2t+4=10$，解得$t=30$，因此当$0≤ t≤ 30$时，水面处于下方圆柱内，解析式为$h=0.2t+4$。
② 当水面在上方圆柱内时：上方圆柱底面圆半径是下方圆柱的一半，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得上方圆柱底面积是下方圆柱底面积的$\frac{1}{4}$；匀速注水时，相同时间内注入的水量相同，因此水面上升速度与底面积成反比，即上方圆柱内水面上升速度是下方的4倍，即每秒上升$0.2×4=0.8$cm。
设该段函数解析式为$h=mt+n$，将分界点$(30,10)$、$m=0.8$代入得$10=0.8×30 +n$，解得$n=-14$，即该段解析式为$h=0.8t-14$。
令$h=20$，得$0.8t-14=20$，解得$t=42.5$，因此当$30＜ t≤ 42.5$时，水面处于上方圆柱内，解析式为$h=0.8t-14$。
综上，水面高度$h$关于注水时间$t$的分段函数解析式为：
$h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$
函数图象绘制：在平面直角坐标系中依次描出点$(0,4)$、$(30,10)$、$(42.5,20)$，用线段连接$(0,4)$与$(30,10)$，再用线段连接$(30,10)$与$(42.5,20)$，所得的两段线段即为所求的函数图象。
(3) ① 当$h=9$时，$9＜10$，说明水面在下方圆柱内，代入$h=0.2t+4$，得$9=0.2t+4$，解得$t=25$。
② 当$t=40$时，$30＜40＜42.5$，说明水面在上方圆柱内，代入$h=0.8t-14$，得$h=0.8×40 -14=18$。
【答案】
(1) 图1：$\boldsymbol{y=5x+200 \quad (0≤ x≤ 60)}$；图2：$\boldsymbol{y=5x+100 \quad (0≤ x≤ 60)}$；图3：$\boldsymbol{y=10x \quad (0≤ x≤ 30)}$
(2) $h=\begin{cases}0.2t+4 & (0≤ t≤ 30) \\0.8t-14 & (30＜ t≤ 42.5)\end{cases}$，函数图象见解析；
(3) 水面高度为9cm时，注水时间为25s；注水时间为40s时，水面高度为18cm。
【知识点】
一次函数的实际应用，分段函数，圆柱体积计算
【点评】
本题结合生活实践情境考查一次函数的应用，需要学生结合几何图形的性质推导分段函数的分界点和各段函数的参数，既考查了一次函数的基础性质，也锻炼了学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
