1. 下列等式从左到右的变形,是因式分解且正确的是 （）

A.$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
B.$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$
C.$x(x-y)+y(y-x)=(x-y)^2$
D.$x^2+xy+x=x(x+y)$

1.C

【分析】
要判断哪个选项是正确的因式分解，首先需明确因式分解的核心判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。解题时我们先根据第②条排除结果不是乘积的选项，再验证剩余选项是否满足恒等变形即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，这是整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B选项：右边是$(x+1)^2+1$，属于和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，排除；
C选项：先对左边变形：$x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后可得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，结果是整式乘积的形式，且变形前后恒等，符合因式分解的要求；
D选项：对左边提取公因式$x$可得$x^2+xy+x=x(x+y+1)$，和选项右边的$x(x+y)$不相等，变形错误，排除。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；整式恒等变形
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，易错点有两个：一是混淆因式分解和整式乘法，二是提取公因式时漏项。解题时只要紧扣因式分解的定义，认真核对变形前后是否相等就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

2. 将多项式$a^2 - 16a$进行因式分解的结果是 （）

A.$a(a + 4)(a - 4)$
B.$(a - 4)^2$
C.$a(a - 16)$
D.$(a + 4)(a - 4)$

2.C

【分析】
解决因式分解题目首先要遵循基本解题步骤：第一步观察多项式各项是否有公因式，有公因式优先提取公因式，之后再判断剩余的整式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止。本题中多项式为两项$a^2$和$-16a$，首先找两项的公共因式，再提取公因式后判断剩余部分能否分解，也可以通过展开选项和原式对比的方法排除错误答案。
【解析】
解：对多项式$a^2 - 16a$进行因式分解：
1. 确定两项的公因式：两项都含有因式$a$，因此公因式为$a$；
2. 提取公因式：$a^2 - 16a = a(a - 16)$；
3. 判断剩余因式能否继续分解：$a-16$是一次整式，不存在公因式也不符合公式法分解的条件，无法继续分解。
也可通过展开选项验证：
A选项展开为$a^3 - 16a$，和原式不符；B选项展开为$a^2 - 8a + 16$，和原式不符；D选项展开为$a^2 - 16$，和原式不符。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
这是因式分解的基础题型，考查因式分解的基础步骤，解题时要注意优先提取公因式，同时要区分提公因式法和公式法的适用场景，避免混淆平方差、完全平方公式的形式，保证分解结果彻底。
【难度系数】
0.85

3. 已知多项式$a^2 + b^2 + M$可以运用平方差公式进行因式分解，则单项式$M$可以是 （）

A.$2ab$
B.$-2ab$
C.$3b^2$
D.$-5b^2$

3.D

【分析】
首先明确平方差公式的结构特点：能运用平方差公式因式分解的多项式需满足“包含两个平方项，且两个平方项的符号相反”，即可表示为$x^2 - y^2$的形式。解题时只需将每个选项的单项式$M$代入原式，判断变形后的多项式是否符合平方差公式的结构特征即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，需满足两项为平方项、符号相反的特征，逐个验证选项：
1. 代入A选项$M=2ab$：原式$=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，属于完全平方公式因式分解的形式，不符合平方差公式要求，排除；
2. 代入B选项$M=-2ab$：原式$=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，也属于完全平方公式因式分解的形式，不符合平方差公式要求，排除；
3. 代入C选项$M=3b^2$：原式$=a^2+b^2+3b^2=a^2+4b^2$，两个平方项均为正号，符号相同，不符合平方差公式要求，排除；
4. 代入D选项$M=-5b^2$：原式$=a^2+b^2-5b^2=a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，完全符合平方差公式的结构特征，可分解为$(a+2b)(a-2b)$，满足题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；因式分解；完全平方公式
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，注意区分平方差公式和完全平方公式的差异，通过代入验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8

4. 把$(a-b)+m(b-a)$提取公因式$(a-b)$后，另一个因式是 （）

A.$m$
B.$-m$
C.$1-m$
D.$1+m$

4.C

【分析】
要解决这道题，首先明确提取公因式的要求，我们需要将原式中各项都转化为含有公因式$(a-b)$的形式。观察原式第二项的$(b-a)$，它和公因式$(a-b)$互为相反数，即$b-a=-(a-b)$，先对原式做符号变形，再提取公因式$(a-b)$，剩余的部分就是所求的另一个因式。
【解析】
首先对原式进行变形：
$\because b-a=-(a-b)$
$\therefore (a-b)+m(b-a)=(a-b)-m(a-b)$
接下来提取公因式$(a-b)$：
$(a-b)-m(a-b)=(a-b)(1-m)$
因此提取公因式$(a-b)$后，另一个因式为$1-m$。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法因式分解；代数式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题的核心是注意互为相反数的代数式之间的转换，提取公因式时不要忽略符号变化。
【难度系数】
0.75

5. 已知 $ x $ 和 $ y $ 满足方程组 $ \begin{cases} 3x + 2y = 4, \\ 6x - 4y = 3, \end{cases} $ 则代数式 $ 9x^2 - 4y^2 $ 的值为 ______。

5.6

【分析】
首先观察所求代数式$9x^2-4y^2$的结构，符合平方差公式的形式，因此优先考虑用因式分解对其变形，再结合已知方程组整体代入计算，无需单独求解$x$、$y$的值，能简化计算过程。第一步先根据平方差公式把$9x^2-4y^2$分解为$(3x+2y)(3x-2y)$，第二步从方程组中直接获取$3x+2y$的值，再通过对第二个方程变形得到$3x-2y$的值，最后把两个整体的值代入计算即可。
【解析】
1. 对代数式$9x^2-4y^2$因式分解，由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$9x^2-4y^2=(3x)^2-(2y)^2=(3x+2y)(3x-2y)$
2. 结合已知方程组推导所需整体值：
由第一个方程直接得$3x+2y=4$，
对第二个方程$6x-4y=3$左边提取公因数2，得$2(3x-2y)=3$，因此$3x-2y=\frac{3}{2}$。
3. 整体代入计算：
将$3x+2y=4$、$3x-2y=\frac{3}{2}$代入分解后的式子，得：
$9x^2-4y^2=4×\frac{3}{2}=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的简便求值，核心是识别代数式的平方差结构，结合整体代入思想简化计算，不需要解出每个未知数的值，能有效提升解题效率，要求熟练掌握常见因式分解公式的结构特征。
【难度系数】
0.7

6.若$a^2 - 6a + 9$与$\sqrt{b - 1}$互为相反数，则$a^3b^3 + 2a^2b^2 + ab=$______.

6.48

【分析】
首先根据互为相反数的两个数和为0列出等式；再观察等式左边的两项，$a^2-6a+9$是完全平方式，可转化为$(a-3)^2$，而平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加得0时，每一项都为0，据此可求出a、b的值；最后对所求多项式先因式分解再代入数值计算，能简化运算，提高正确率。
【解析】
解：由题意得：$a^2 - 6a + 9 + \sqrt{b - 1} = 0$
对左边的二次三项式因式分解可得：$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 1} = 0$
∵$(a - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{b - 1} ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每一项都等于0
∴$\begin{cases}a - 3 = 0 \\ b - 1 = 0\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=1$
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b^3 + 2a^2b^2 + ab&=ab(a^2b^2 + 2ab + 1) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）} \\&=ab(ab + 1)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式因式分解）}\end{aligned}$
将$a=3$，$b=1$代入上式：
原式$=3×1×(3×1 + 1)^2 = 3×16 = 48$
【答案】
48
【知识点】
非负数的性质、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，结合了非负性判断和因式分解的应用，先对所求式子因式分解再代入计算，可减少直接代入的运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

7. 把下列各式分解因式：
(1)$18axy - 3ax^2 - 27ay^2$；
(2)$4m(x^2 - y^2) + 4n(x^2 - y^2)$。

7.解:(1)原式$=-3a(x-3y)^2$.
(2)原式$=4(x+y)(x-y)(m+n)$.

【分析】
因式分解的通用思路是“一提二套三查”：第一步先找多项式各项的公因式并提取；第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式（完全平方公式、平方差公式）的特征，套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
第(1)题：先观察到各项都含公因式$-3a$，先提取公因式，再判断剩余部分是完全平方式，套用完全平方公式分解即可；
第(2)题：先观察到两项都含公因式$4(x^2-y^2)$，先提取公因式，再发现$x^2-y^2$符合平方差公式特征，继续套用平方差公式分解到不能分解为止。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$-3a$：
$\begin{aligned}18axy - 3ax^2 - 27ay^2&=-3a(x^2 - 6xy + 9y^2)\end{aligned}$
第二步，括号内的多项式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x$，$b=3y$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-3a(x - 3y)^2\end{aligned}$
(2) 第一步提取公因式$4(x^2 - y^2)$：
$\begin{aligned}4m(x^2 - y^2) + 4n(x^2 - y^2)&=4(x^2 - y^2)(m + n)\end{aligned}$
第二步，$x^2 - y^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4(x + y)(x - y)(m + n)\end{aligned}$
【答案】
(1)$-3a(x-3y)^2$；(2)$4(x+y)(x-y)(m+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这两道题是因式分解的常规基础题，解题时需严格遵循“先提公因式、再套用公式”的顺序，同时注意提取负公因式时括号内各项要变号，最终结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.85

8. 已知一个长、宽分别为 $ m,n $ 的长方形的周长为 16,面积为 8,求 $ m^2n+mn^2 $ 的值.

8.解:由题意,得$2(m+n)=16$,$mn=8$,所以$m+n=8$,$m^2n+mn^2=mn(m+n)=8×8=64$.

【分析】
解题时先从已知条件入手，根据长方形的周长和面积公式先求出$m+n$与$mn$的值；再观察待求代数式的结构，发现可以用提公因式法进行因式分解，分解后的式子刚好由$mn$和$m+n$两部分组成，最后将求出的两个值整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
解：由题意，根据长方形周长和面积公式可得：
$2(m+n)=16$，$mn=8$
化简得$m+n=8$
对待求式提取公因式$mn$进行因式分解：
$m^2n+mn^2=mn(m+n)$
将$m+n=8$，$mn=8$代入上式得：
原式$=8×8=64$
【答案】
$64$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，解题核心是利用整体代入的思想，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，避免了求解未知数具体值的复杂运算，是代数式求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.8