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1. 三边分别为下列长度的三角形中不能组成直角三角形的是 （
A.5,13,12
B.3,4,5
C.4,7,5
D.6,8,10
C
）A.5,13,12
B.3,4,5
C.4,7,5
D.6,8,10
答案
1.C
解析
【分析】要判断给定三边长的三角形能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再计算另外两条边的平方和，与最长边的平方比较即可得出结论。
【解析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A. 三边长为5,12,13，最长边为13
$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，能组成直角三角形；
B. 三边长为3,4,5，最长边为5
$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，能组成直角三角形；
C. 三边长为4,5,7，最长边为7
$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不能组成直角三角形；
D. 三边长为6,8,10，最长边为10
$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，能组成直角三角形。
综上，不能组成直角三角形的是C选项。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时需注意优先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边长顺序混淆出现计算错误。
【难度系数】0.9
【解析】根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A. 三边长为5,12,13，最长边为13
$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，能组成直角三角形；
B. 三边长为3,4,5，最长边为5
$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，能组成直角三角形；
C. 三边长为4,5,7，最长边为7
$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不能组成直角三角形；
D. 三边长为6,8,10，最长边为10
$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，能组成直角三角形。
综上，不能组成直角三角形的是C选项。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时需注意优先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边长顺序混淆出现计算错误。
【难度系数】0.9
2. 在$△ ABC$中，$BC^2=AB^2+AC^2$，则（
A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$∠ A+∠ B=∠ C$
A
）A.$∠ A=90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ C=90°$
D.$∠ A+∠ B=∠ C$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则最长边所对的角为直角。第一步先从已知等式$BC^2=AB^2+AC^2$判断出最长边是BC；第二步明确三角形中边与对角的对应规则：边的两个端点除外的第三个顶点就是该边的对角，因此BC边对应的角是顶点A的内角∠A；第三步结合逆定理可得BC对应的∠A为直角，即可选出正确选项。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足某一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，且该边所对的内角为直角。
在$△ ABC$中，边BC对应的内角是$∠ A$，已知$BC^2=AB^2+AC^2$，说明BC是直角三角形的斜边，因此斜边BC所对的$∠ A=90°$，A选项符合结论，B、C、D均不符合。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与对角的对应关系
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是混淆三角形的边和其对应角的关系，做题时牢记“最长边所对的角为直角”即可快速求解，避免对应错误丢分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则最长边所对的角为直角。第一步先从已知等式$BC^2=AB^2+AC^2$判断出最长边是BC；第二步明确三角形中边与对角的对应规则：边的两个端点除外的第三个顶点就是该边的对角，因此BC边对应的角是顶点A的内角∠A；第三步结合逆定理可得BC对应的∠A为直角，即可选出正确选项。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足某一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，且该边所对的内角为直角。
在$△ ABC$中，边BC对应的内角是$∠ A$，已知$BC^2=AB^2+AC^2$，说明BC是直角三角形的斜边，因此斜边BC所对的$∠ A=90°$，A选项符合结论，B、C、D均不符合。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与对角的对应关系
【点评】
本题是基础概念应用题，易错点是混淆三角形的边和其对应角的关系，做题时牢记“最长边所对的角为直角”即可快速求解，避免对应错误丢分。
【难度系数】
0.9
3. 一棵大树被风吹断后树尖落在距树脚 15 m 远处，大树折断处离地面 8 m，则大树高
（
A.17 m
B.23 m
C.25 m
D.30 m
（
C
）A.17 m
B.23 m
C.25 m
D.30 m
答案
3.C
解析
【分析】
这道题是生活场景下的几何计算问题，可转化为直角三角形模型求解：大树未折断的部分（离地面8m）、树尖到树脚的地面距离（15m）是直角三角形的两条直角边，折断的树干部分是直角三角形的斜边，大树总高等于未折断部分长度加斜边长度。解题时先用勾股定理求出折断部分的长度，再求和即可得到大树总高。
【解析】
解：由题意可知，大树折断后形成直角三角形，两条直角边长分别为8m、15m。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得折断部分的长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17(m)$
大树总高度为未折断部分与折断部分的长度和：$8 + 17 = 25(m)$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题考查将实际问题抽象为几何模型的能力，解题关键是明确直角三角形各边对应的实际场景部分，再结合勾股定理计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
这道题是生活场景下的几何计算问题，可转化为直角三角形模型求解：大树未折断的部分（离地面8m）、树尖到树脚的地面距离（15m）是直角三角形的两条直角边，折断的树干部分是直角三角形的斜边，大树总高等于未折断部分长度加斜边长度。解题时先用勾股定理求出折断部分的长度，再求和即可得到大树总高。
【解析】
解：由题意可知，大树折断后形成直角三角形，两条直角边长分别为8m、15m。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得折断部分的长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17(m)$
大树总高度为未折断部分与折断部分的长度和：$8 + 17 = 25(m)$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的实际应用
【点评】
本题考查将实际问题抽象为几何模型的能力，解题关键是明确直角三角形各边对应的实际场景部分，再结合勾股定理计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
4.一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请帮他找出来，应该是 （
A.13,12,12
B.12,12,8
C.13,10,12
D.5,8,4
C
）A.13,12,12
B.12,12,8
C.13,10,12
D.5,8,4
答案
4.C
解析
【分析】要找出混在一起的腰、底边、底边上的高，需结合等腰三角形的性质和勾股定理思考：等腰三角形底边上的高会将三角形分为两个全等的直角三角形，其中腰是直角三角形的斜边，底边的一半和底边上的高是两条直角边，因此三个数据需要满足关系：$(底边÷2)^2 + 底边上的高^2 = 腰^2$，据此逐一验证选项即可。
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高、底边的一半、腰可构成直角三角形，满足勾股定理，即$腰^2 = (\frac{底边}{2})^2 + 高^2$，逐一验证选项：
A. 数据为13,12,12：若腰为13，底边为12，底边一半为6，$6^2+12^2=180≠13^2=169$；若腰为12，底边为13，底边一半为6.5，$6.5^2+12^2=186.25≠12^2=144$，不符合要求。
B. 数据为12,12,8：若腰为12，底边为8，底边一半为4，$4^2+12^2=160≠12^2=144$；若高为8，底边为12，底边一半为6，$6^2+8^2=100≠12^2=144$，不符合要求。
C. 数据为13,10,12：若腰为13，底边为10，底边一半为5，高为12，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股定理，符合要求。
D. 数据为5,8,4：若腰为5，底边为8，底边一半为4，$4^2+4^2=32≠5^2=25$；若底边为4，底边一半为2，高为8，$2^2+8^2=68≠5^2=25$，不符合要求。
【答案】C
【知识点】1.等腰三角形的性质 2.勾股定理
【点评】本题结合等腰三角形性质和勾股定理考查，解题核心是明确等腰三角形被底边上的高分割为两个直角三角形，通过勾股定理验证三个量的关系即可快速得出结果。
【难度系数】0.7
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高、底边的一半、腰可构成直角三角形，满足勾股定理，即$腰^2 = (\frac{底边}{2})^2 + 高^2$，逐一验证选项：
A. 数据为13,12,12：若腰为13，底边为12，底边一半为6，$6^2+12^2=180≠13^2=169$；若腰为12，底边为13，底边一半为6.5，$6.5^2+12^2=186.25≠12^2=144$，不符合要求。
B. 数据为12,12,8：若腰为12，底边为8，底边一半为4，$4^2+12^2=160≠12^2=144$；若高为8，底边为12，底边一半为6，$6^2+8^2=100≠12^2=144$，不符合要求。
C. 数据为13,10,12：若腰为13，底边为10，底边一半为5，高为12，$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股定理，符合要求。
D. 数据为5,8,4：若腰为5，底边为8，底边一半为4，$4^2+4^2=32≠5^2=25$；若底边为4，底边一半为2，高为8，$2^2+8^2=68≠5^2=25$，不符合要求。
【答案】C
【知识点】1.等腰三角形的性质 2.勾股定理
【点评】本题结合等腰三角形性质和勾股定理考查，解题核心是明确等腰三角形被底边上的高分割为两个直角三角形，通过勾股定理验证三个量的关系即可快速得出结果。
【难度系数】0.7
5.如图,已知$S_1,S_2,S_3$分别是以$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$及直角边$BC$和$AC$为直径的半圆的面积,则$S_1,S_2,S_3$满足的关系式为（
A.$S_1＜S_2+S_3$
B.$S_1=S_2+S_3$
C.$S_1＞S_2+S_3$
D.$S_1=S_2S_3$
B
）A.$S_1＜S_2+S_3$
B.$S_1=S_2+S_3$
C.$S_1＞S_2+S_3$
D.$S_1=S_2S_3$
答案
5.B
解析
【分析】
要推导三个半圆面积的关系，首先可以先分别用Rt△ABC的三边长度表示出三个半圆的面积，再结合直角三角形的勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），对面积表达式做等量代换，最终就能得到三者的关系。
【解析】
设Rt△ABC的三边长度为：$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据半圆的面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
以$BC$为直径的半圆面积$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
以$AC$为直径的半圆面积$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
以$AB$为直径的半圆面积$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
计算$S_2+S_3=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入，可得：
$S_2+S_3=\frac{π c^2}{8}=S_1$，即$S_1=S_2+S_3$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，等量代换
【点评】
本题是基础综合题，将几何中的勾股定理和圆的面积计算结合考察，解题的核心是正确用三角形的边长表示出各半圆的面积，再结合勾股定理完成推导，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要推导三个半圆面积的关系，首先可以先分别用Rt△ABC的三边长度表示出三个半圆的面积，再结合直角三角形的勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方），对面积表达式做等量代换，最终就能得到三者的关系。
【解析】
设Rt△ABC的三边长度为：$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
根据半圆的面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
以$BC$为直径的半圆面积$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$
以$AC$为直径的半圆面积$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
以$AB$为直径的半圆面积$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$
计算$S_2+S_3=\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π(a^2+b^2)}{8}$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入，可得：
$S_2+S_3=\frac{π c^2}{8}=S_1$，即$S_1=S_2+S_3$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，等量代换
【点评】
本题是基础综合题，将几何中的勾股定理和圆的面积计算结合考察，解题的核心是正确用三角形的边长表示出各半圆的面积，再结合勾股定理完成推导，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.现有两根木棒，长度分别为44 cm和55 cm.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是 （
A.22 cm
B.33 cm
C.44 cm
D.55 cm
B
）A.22 cm
B.33 cm
C.44 cm
D.55 cm
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合直角三角形的勾股定理分析，首先明确：要得到最短的第三根木棒，需要分两种情况讨论斜边的归属：①已知的55cm长木棒为斜边，44cm为直角边，第三根为另一条直角边；②已知的两根木棒均为直角边，第三根为斜边。分别计算两种情况的第三根长度后，比较大小即可得到最短长度。
【解析】
设第三根木棒的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当长度为55 cm的木棒为直角三角形的斜边时，44 cm的木棒为其中一条直角边，根据勾股定理，另一条直角边长度为：
$x = \sqrt{55^2 - 44^2} = \sqrt{(55-44)(55+44)} = \sqrt{11 × 99} = \sqrt{9 × 121} = 33\ \mathrm{cm}$
2. 当长度为44 cm和55 cm的木棒均为直角边时，第三根木棒为斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$x = \sqrt{44^2 + 55^2} = \sqrt{1936 + 3025} = \sqrt{4961} \approx 70.4\ \mathrm{cm}$
比较两种结果：$33\ \mathrm{cm} ＜ 44\ \mathrm{cm} ＜ 55\ \mathrm{cm} ＜ 70.4\ \mathrm{cm}$，因此所需最短的木棒长度为33 cm。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略分类讨论斜边的情况，直接默认两根已知木棒都是直角边计算斜边，导致选错。解题时要结合题目“最短木棒”的要求，先分析所有可能的情况再对比结果选择。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合直角三角形的勾股定理分析，首先明确：要得到最短的第三根木棒，需要分两种情况讨论斜边的归属：①已知的55cm长木棒为斜边，44cm为直角边，第三根为另一条直角边；②已知的两根木棒均为直角边，第三根为斜边。分别计算两种情况的第三根长度后，比较大小即可得到最短长度。
【解析】
设第三根木棒的长度为$x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当长度为55 cm的木棒为直角三角形的斜边时，44 cm的木棒为其中一条直角边，根据勾股定理，另一条直角边长度为：
$x = \sqrt{55^2 - 44^2} = \sqrt{(55-44)(55+44)} = \sqrt{11 × 99} = \sqrt{9 × 121} = 33\ \mathrm{cm}$
2. 当长度为44 cm和55 cm的木棒均为直角边时，第三根木棒为斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$x = \sqrt{44^2 + 55^2} = \sqrt{1936 + 3025} = \sqrt{4961} \approx 70.4\ \mathrm{cm}$
比较两种结果：$33\ \mathrm{cm} ＜ 44\ \mathrm{cm} ＜ 55\ \mathrm{cm} ＜ 70.4\ \mathrm{cm}$，因此所需最短的木棒长度为33 cm。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略分类讨论斜边的情况，直接默认两根已知木棒都是直角边计算斜边，导致选错。解题时要结合题目“最短木棒”的要求，先分析所有可能的情况再对比结果选择。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在高5 m、坡面长13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
A
）A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
答案
7.A
解析
【分析】
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，可利用平移的思路：将所有台阶的竖直高度平移后，总和恰好等于楼梯的总高度5m；将所有台阶的水平长度平移后，总和恰好等于楼梯的水平总长度。因此只需先通过勾股定理求出楼梯的水平总长度，再将水平总长度和竖直总高度相加，就能得到地毯的最小长度。
【解析】
首先根据勾股定理计算楼梯的水平长度：
已知楼梯所在直角三角形的斜边为13m，竖直直角边为5m，设水平直角边长度为$x$，由勾股定理可得：
$x=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
地毯的最小长度=水平总长度+竖直总高度=12+5=17m
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，平移的应用
【点评】
本题是生活实际与数学知识结合的典型题型，核心是通过平移将不规则的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的和，简化了计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，可利用平移的思路：将所有台阶的竖直高度平移后，总和恰好等于楼梯的总高度5m；将所有台阶的水平长度平移后，总和恰好等于楼梯的水平总长度。因此只需先通过勾股定理求出楼梯的水平总长度，再将水平总长度和竖直总高度相加，就能得到地毯的最小长度。
【解析】
首先根据勾股定理计算楼梯的水平长度：
已知楼梯所在直角三角形的斜边为13m，竖直直角边为5m，设水平直角边长度为$x$，由勾股定理可得：
$x=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
地毯的最小长度=水平总长度+竖直总高度=12+5=17m
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，平移的应用
【点评】
本题是生活实际与数学知识结合的典型题型，核心是通过平移将不规则的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的和，简化了计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
8. 已知在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高为12，则△ABC的面积为 （
A.84
B.24
C.24或84
D.48或168
C
）A.84
B.24
C.24或84
D.48或168
答案
8.C
解析
【分析】
看到三角形一边上的高，首先要明确高的位置有两种可能：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形），因此需要分类讨论求解。首先利用勾股定理分别求出高将BC边分成的两条线段的长度，再结合两种高的位置情况计算BC的总长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
设BC边上的高为AD，AD=12，且AD⊥BC，因此△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理可得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，因此$BD=9$。
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，由勾股定理可得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，因此$CD=5$。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，$BC=BD+CD=9+5=14$，此时三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$；
② 当高AD在△ABC外部（△ABC为钝角三角形）时，$BC=BD-CD=9-5=4$，此时三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×12=24$。
综上，△ABC的面积为24或84。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏高在三角形外部的情况，解题时要注意结合三角形的形状分类讨论，考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
看到三角形一边上的高，首先要明确高的位置有两种可能：在三角形内部（对应锐角三角形）、在三角形外部（对应钝角三角形），因此需要分类讨论求解。首先利用勾股定理分别求出高将BC边分成的两条线段的长度，再结合两种高的位置情况计算BC的总长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
设BC边上的高为AD，AD=12，且AD⊥BC，因此△ABD和△ACD均为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理可得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，因此$BD=9$。
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，由勾股定理可得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，因此$CD=5$。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，$BC=BD+CD=9+5=14$，此时三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×14×12=84$；
② 当高AD在△ABC外部（△ABC为钝角三角形）时，$BC=BD-CD=9-5=4$，此时三角形面积$S=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×12=24$。
综上，△ABC的面积为24或84。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏高在三角形外部的情况，解题时要注意结合三角形的形状分类讨论，考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
