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4. 工人叔叔在粉刷长方体教室，教室的长是9 m，宽是8 m，高是3.6 m，门窗面积为21 $\mathrm{m}^{2}$。
要粉刷四周墙壁和顶棚，如果粉刷每平方米用环保漆300 g，粉刷完这一教室共用环保漆多
少千克？
要粉刷四周墙壁和顶棚，如果粉刷每平方米用环保漆300 g，粉刷完这一教室共用环保漆多
少千克？
答案
4. $52.02\ \mathrm{kg}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分步骤思考：首先明确粉刷区域是长方体教室的四周墙壁和顶棚，因此需要计算这几个面的总面积，再扣除门窗的面积得到实际粉刷面积；接着用实际粉刷面积乘以每平方米的用漆量，最后将单位从克换算为千克，即可得到总用漆量。具体来说，顶棚面积是长×宽，四周墙壁面积是（长×高+宽×高）×2，两者相加后减去门窗面积就是实际粉刷面积，再进行后续计算。
【解析】
1. 计算顶棚面积：
$9×8=72$（平方米）
2. 计算四周墙壁的面积：
$(9×3.6 + 8×3.6)×2$
$=(32.4 + 28.8)×2$
$=61.2×2$
$=122.4$（平方米）
3. 计算实际粉刷的总面积：
$72+122.4-21=173.4$（平方米）
4. 计算总用漆量：
$173.4×300=52020$（克）
因为$1$千克=$1000$克，所以$52020÷1000=52.02$（千克）
【答案】
$52.02\ \mathrm{kg}$
【知识点】
长方体表面积应用、单位换算
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的应用，解题关键是准确确定需要粉刷的区域，扣除不需要粉刷的底面和门窗面积，同时要注意质量单位的换算，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分步骤思考：首先明确粉刷区域是长方体教室的四周墙壁和顶棚，因此需要计算这几个面的总面积，再扣除门窗的面积得到实际粉刷面积；接着用实际粉刷面积乘以每平方米的用漆量，最后将单位从克换算为千克，即可得到总用漆量。具体来说，顶棚面积是长×宽，四周墙壁面积是（长×高+宽×高）×2，两者相加后减去门窗面积就是实际粉刷面积，再进行后续计算。
【解析】
1. 计算顶棚面积：
$9×8=72$（平方米）
2. 计算四周墙壁的面积：
$(9×3.6 + 8×3.6)×2$
$=(32.4 + 28.8)×2$
$=61.2×2$
$=122.4$（平方米）
3. 计算实际粉刷的总面积：
$72+122.4-21=173.4$（平方米）
4. 计算总用漆量：
$173.4×300=52020$（克）
因为$1$千克=$1000$克，所以$52020÷1000=52.02$（千克）
【答案】
$52.02\ \mathrm{kg}$
【知识点】
长方体表面积应用、单位换算
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的应用，解题关键是准确确定需要粉刷的区域，扣除不需要粉刷的底面和门窗面积，同时要注意质量单位的换算，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 一个正方体，它的棱长为4 cm，在它的上下、前后、左右的正中间位置各挖去一个棱长为
1 cm的小正方体（如图），现在这个图形的表面积是多少？
1 cm的小正方体（如图），现在这个图形的表面积是多少？
答案
5. $120\ \mathrm{cm}^{2}$
解析
【分析】
我们先理清解题思路：首先计算原正方体的表面积，再分析挖去小正方体后表面积的变化。在正方体每个面的正中间挖去小正方体时，原正方体的该面会减少1个小正方形的面积，但同时会在内部增加4个小正方形的面，所以每个挖去操作实际使表面积增加了4个小正方形的面积。最后将原正方体表面积与所有挖去位置增加的表面积相加，即可得到现在图形的表面积。
【解析】
1. 计算原正方体的表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），原正方体棱长为$4\mathrm{cm}$，则原表面积为：
$6×4×4=96\mathrm{cm}^2$
2. 计算单个挖去小正方体后增加的表面积：
每个挖去的小正方体棱长为$1\mathrm{cm}$，挖去后会增加4个边长为$1\mathrm{cm}$的正方形面，单个增加的面积为：
$4×1×1=4\mathrm{cm}^2$
3. 计算6个挖去位置总共增加的表面积：
一共在6个面各挖去1个小正方体，总增加面积为：
$6×4=24\mathrm{cm}^2$
4. 计算现在图形的表面积：
现在的表面积 = 原正方体表面积 + 增加的表面积，即：
$96+24=120\mathrm{cm}^2$
【答案】
$120\ \mathrm{cm}^{2}$
【知识点】
正方体表面积计算，立体图形表面积变化
【点评】
本题重点考查对立体图形表面积变化的理解，需要具备一定的空间想象能力，明确挖去小正方体后并非表面积减少，而是内部新增了面，从而正确计算出最终表面积。
【难度系数】
0.6
我们先理清解题思路：首先计算原正方体的表面积，再分析挖去小正方体后表面积的变化。在正方体每个面的正中间挖去小正方体时，原正方体的该面会减少1个小正方形的面积，但同时会在内部增加4个小正方形的面，所以每个挖去操作实际使表面积增加了4个小正方形的面积。最后将原正方体表面积与所有挖去位置增加的表面积相加，即可得到现在图形的表面积。
【解析】
1. 计算原正方体的表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），原正方体棱长为$4\mathrm{cm}$，则原表面积为：
$6×4×4=96\mathrm{cm}^2$
2. 计算单个挖去小正方体后增加的表面积：
每个挖去的小正方体棱长为$1\mathrm{cm}$，挖去后会增加4个边长为$1\mathrm{cm}$的正方形面，单个增加的面积为：
$4×1×1=4\mathrm{cm}^2$
3. 计算6个挖去位置总共增加的表面积：
一共在6个面各挖去1个小正方体，总增加面积为：
$6×4=24\mathrm{cm}^2$
4. 计算现在图形的表面积：
现在的表面积 = 原正方体表面积 + 增加的表面积，即：
$96+24=120\mathrm{cm}^2$
【答案】
$120\ \mathrm{cm}^{2}$
【知识点】
正方体表面积计算，立体图形表面积变化
【点评】
本题重点考查对立体图形表面积变化的理解，需要具备一定的空间想象能力，明确挖去小正方体后并非表面积减少，而是内部新增了面，从而正确计算出最终表面积。
【难度系数】
0.6
6. 用一根长为96 dm的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是$5:4:3$。在这个
长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方分米的纸？
长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方分米的纸？
答案
6. $376\ \mathrm{dm}^{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：
1. 首先，铁丝的长度是长方体框架的棱长总和，长方体有4组相同的长、宽、高，所以先将棱长总和除以4，得到长、宽、高的和；
2. 接着，根据长、宽、高的比例$5:4:3$，利用按比例分配的方法，分别计算出长、宽、高的具体长度；
3. 最后，求糊纸的面积就是求长方体的表面积，代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算长、宽、高的和：
长方体棱长总和 = $4×(长+宽+高)$，所以长+宽+高 = $96÷4 = 24(\mathrm{dm})$
2. 按比例分配计算长、宽、高：
总份数：$5+4+3=12$
长：$24×\frac{5}{12}=10(\mathrm{dm})$
宽：$24×\frac{4}{12}=8(\mathrm{dm})$
高：$24×\frac{3}{12}=6(\mathrm{dm})$
3. 计算长方体表面积（即糊纸面积）：
长方体表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高）
代入数值：
$S=2×(10×8 + 10×6 + 8×6)$
$=2×(80 + 60 + 48)$
$=2×188$
$=376$($\mathrm{dm}^{2}$)
【答案】
$376\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
长方体棱长总和、按比例分配、长方体表面积计算
【点评】
本题综合考查了长方体棱长总和与表面积的计算，以及按比例分配的实际应用，需要学生熟练掌握相关公式，理清各数量之间的关系，步骤清晰即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以分三步思考：
1. 首先，铁丝的长度是长方体框架的棱长总和，长方体有4组相同的长、宽、高，所以先将棱长总和除以4，得到长、宽、高的和；
2. 接着，根据长、宽、高的比例$5:4:3$，利用按比例分配的方法，分别计算出长、宽、高的具体长度；
3. 最后，求糊纸的面积就是求长方体的表面积，代入长方体表面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算长、宽、高的和：
长方体棱长总和 = $4×(长+宽+高)$，所以长+宽+高 = $96÷4 = 24(\mathrm{dm})$
2. 按比例分配计算长、宽、高：
总份数：$5+4+3=12$
长：$24×\frac{5}{12}=10(\mathrm{dm})$
宽：$24×\frac{4}{12}=8(\mathrm{dm})$
高：$24×\frac{3}{12}=6(\mathrm{dm})$
3. 计算长方体表面积（即糊纸面积）：
长方体表面积公式：$S=2(ab+ah+bh)$（其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高）
代入数值：
$S=2×(10×8 + 10×6 + 8×6)$
$=2×(80 + 60 + 48)$
$=2×188$
$=376$($\mathrm{dm}^{2}$)
【答案】
$376\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
长方体棱长总和、按比例分配、长方体表面积计算
【点评】
本题综合考查了长方体棱长总和与表面积的计算，以及按比例分配的实际应用，需要学生熟练掌握相关公式，理清各数量之间的关系，步骤清晰即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
