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1. 已知$∠ 1 = 35^{\circ}$，则$∠ 1$的余角的度数是(
A.$55^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
A
)。A.$55^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题是基础的角度计算类题目，解题的核心思路是先明确余角的定义：互为余角的两个角的度数之和为90°。因此要求∠1的余角，只需要用90°减去已知的∠1的度数即可得到结果，最后匹配对应选项选出正确答案，注意不要和补角的概念混淆，补角的两角和为180°，避免误选错误选项。
【解析】
解：根据余角的定义，若两个角互为余角，则两个角的度数之和等于90°。
已知∠1 = 35°，代入计算可得∠1的余角度数为：
$90° - ∠1 = 90° - 35° = 55°$
因此对应选项可知正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；角度减法运算
【点评】
本题是几何入门的基础题型，考点单一，主要考查学生对余角基础概念的识记和简单计算能力，解题时只要准确区分余角（和为90°）和补角（和为180°）的概念差异，就可以快速得到正确结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
这道题是基础的角度计算类题目，解题的核心思路是先明确余角的定义：互为余角的两个角的度数之和为90°。因此要求∠1的余角，只需要用90°减去已知的∠1的度数即可得到结果，最后匹配对应选项选出正确答案，注意不要和补角的概念混淆，补角的两角和为180°，避免误选错误选项。
【解析】
解：根据余角的定义，若两个角互为余角，则两个角的度数之和等于90°。
已知∠1 = 35°，代入计算可得∠1的余角度数为：
$90° - ∠1 = 90° - 35° = 55°$
因此对应选项可知正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；角度减法运算
【点评】
本题是几何入门的基础题型，考点单一，主要考查学生对余角基础概念的识记和简单计算能力，解题时只要准确区分余角（和为90°）和补角（和为180°）的概念差异，就可以快速得到正确结果，不容易出错。
【难度系数】
0.9
2. 如果一个角的余角是$50^{\circ}$，那么这个角的补角的度数是(
A.$130^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
D
)。A.$130^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$140^{\circ}$
答案
2. D
解析
设这个角的度数为$x$。
因为互为余角的两个角的和为$90^{\circ}$，已知这个角的余角是$50^{\circ}$，所以$x + 50^{\circ}=90^{\circ}$，解得$x=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
互为补角的两个角的和为$180^{\circ}$，所以这个角的补角的度数为$180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
D
因为互为余角的两个角的和为$90^{\circ}$，已知这个角的余角是$50^{\circ}$，所以$x + 50^{\circ}=90^{\circ}$，解得$x=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
互为补角的两个角的和为$180^{\circ}$，所以这个角的补角的度数为$180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$。
D
3. 如图，直线$AB$与直线$CD$相交于点$O$，其中$∠ AOC$的对顶角是(
A.$∠ AOD$
B.$∠ BOD$
C.$∠ BOC$
D.$∠ AOD$和$∠ BOC$
B
)。A.$∠ AOD$
B.$∠ BOD$
C.$∠ BOC$
D.$∠ AOD$和$∠ BOC$
答案
3. B
解析
【分析】
我们可以通过对顶角的定义来逐步推导解题：首先先定位目标角∠AOC，它的顶点是两条直线的交点O，两条边分别是OA和OC。接下来根据两条相交直线的性质，分别寻找这两条边的反向延长线：因为AB是直线，所以OA的反向延长线是OB；CD是直线，所以OC的反向延长线是OD。由这两条反向延长线OB、OD组成的角，就是∠AOC的对顶角，对照选项即可选出正确结果。
【解析】
根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且其中一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
已知直线AB、CD相交于点O：
1. ∠AOC的公共顶点为O，两条边为OA、OC；
2. 直线AB上，OA的反向延长线是OB；直线CD上，OC的反向延长线是OD；
3. 由边OB、OD构成的角是∠BOD，因此∠AOC的对顶角是∠BOD，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角定义
【点评】
本题是相交线章节的基础概念题，核心考察对顶角的识别，要注意区分对顶角和邻补角的差异，避免误选邻补角∠BOC，准确理解基础概念是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.9
我们可以通过对顶角的定义来逐步推导解题：首先先定位目标角∠AOC，它的顶点是两条直线的交点O，两条边分别是OA和OC。接下来根据两条相交直线的性质，分别寻找这两条边的反向延长线：因为AB是直线，所以OA的反向延长线是OB；CD是直线，所以OC的反向延长线是OD。由这两条反向延长线OB、OD组成的角，就是∠AOC的对顶角，对照选项即可选出正确结果。
【解析】
根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且其中一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
已知直线AB、CD相交于点O：
1. ∠AOC的公共顶点为O，两条边为OA、OC；
2. 直线AB上，OA的反向延长线是OB；直线CD上，OC的反向延长线是OD；
3. 由边OB、OD构成的角是∠BOD，因此∠AOC的对顶角是∠BOD，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角定义
【点评】
本题是相交线章节的基础概念题，核心考察对顶角的识别，要注意区分对顶角和邻补角的差异，避免误选邻补角∠BOC，准确理解基础概念是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 如图，直线$AC$和直线$BD$相交于点$O$，若$∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}$，则$∠ BOC$的度数是(
A.$100^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
C
)。A.$100^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
答案
4. C
解析
解：
∵直线$AC$和直线$BD$相交于点$O$，
$\therefore ∠1 = ∠2$（对顶角相等）。
$\because ∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，
$\therefore 2∠1 = 90^{\circ}$，$∠1 = 45^{\circ}$。
$\because ∠1 + ∠BOC = 180^{\circ}$（邻补角互补），
$\therefore ∠BOC = 180^{\circ}-∠1 = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
C
∵直线$AC$和直线$BD$相交于点$O$，
$\therefore ∠1 = ∠2$（对顶角相等）。
$\because ∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$，
$\therefore 2∠1 = 90^{\circ}$，$∠1 = 45^{\circ}$。
$\because ∠1 + ∠BOC = 180^{\circ}$（邻补角互补），
$\therefore ∠BOC = 180^{\circ}-∠1 = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
C
5. 如图，直线$AB$，$CD$交于点$O$，$OE$平分$∠ BOC$。若$∠ 1 = 36^{\circ}$，则$∠ DOE$的度数是(
A.$73^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$107^{\circ}$
D.$108^{\circ}$
D
)。A.$73^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$107^{\circ}$
D.$108^{\circ}$
答案
5. D
解析
解：
∵直线$AB$，$CD$交于点$O$，$∠ 1 = 36^{\circ}$，
$\therefore ∠ BOC = 180^{\circ}-∠ 1 = 180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$。
∵$OE$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×144^{\circ}=72^{\circ}$。
$\because ∠ 1 = 36^{\circ}$，即$∠ AOC = 36^{\circ}$，
$∠ AOC+∠ COD = 180^{\circ}$，$∠ COD = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE = 180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$。
答案：D
∵直线$AB$，$CD$交于点$O$，$∠ 1 = 36^{\circ}$，
$\therefore ∠ BOC = 180^{\circ}-∠ 1 = 180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$。
∵$OE$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×144^{\circ}=72^{\circ}$。
$\because ∠ 1 = 36^{\circ}$，即$∠ AOC = 36^{\circ}$，
$∠ AOC+∠ COD = 180^{\circ}$，$∠ COD = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD-∠ COE = 180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$。
答案：D
6. 如图，直线$a$，$b$相交，$∠ 1 : ∠ 2 = 2 : 7$，则$∠ 3$的度数是(
A.$20^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
D
)。A.$20^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案
6. D
解析
解：设$∠1 = 2x$，$∠2 = 7x$。
因为直线$a$，$b$相交，所以$∠1 + ∠2 = 180°$，
即$2x + 7x = 180°$，
解得$x = 20°$，
则$∠1 = 2x = 40°$。
又因为$∠1$与$∠3$是对顶角，所以$∠3 = ∠1 = 40°$。
D
因为直线$a$，$b$相交，所以$∠1 + ∠2 = 180°$，
即$2x + 7x = 180°$，
解得$x = 20°$，
则$∠1 = 2x = 40°$。
又因为$∠1$与$∠3$是对顶角，所以$∠3 = ∠1 = 40°$。
D
7. 若$∠ α = 45^{\circ} - n^{\circ}$，$∠ β = 45^{\circ} + n^{\circ}$，则$∠ α$与$∠ β$的关系是
互为余角
。答案
7. 互为余角
解析
∠α + ∠β = (45° - n°) + (45° + n°) = 90°，故∠α与∠β互为余角。
8. 如图，将一副三角板按不同的位置摆放，下列方式中$∠ α$与$∠ β$互余的是(
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
A
)。A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
答案
8. A
解析
【分析】
首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。接下来我们逐个对四幅图中∠α和∠β的和进行计算验证，结合平角、周角的角度性质，以及三角板自带的固定特殊角的特征，分别判断每一组∠α和∠β的和是否等于90°，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐一分析四幅图的角度关系：
1. 图①：三个角共顶点组成平角180°，中间的角是三角板的直角90°，因此可得：
$∠α + 90° + ∠β = 180°$，整理后得到$∠α + ∠β = 90°$，满足互余的条件。
2. 图②：$∠α$和$∠β$是同一个公共锐角的余角，根据同角的余角相等，可得$∠α=∠β$，无法推出二者和为90°，不互余。
3. 图③：$∠α$和$∠β$都是三角板60°角的补角，根据等角的补角相等，可得$∠α=∠β=120°$，二者和为240°，不互余。
4. 图④：$∠α$和$∠β$与公共直角相加组成周角360°，因此可得：
$∠α + ∠β + 90° = 360°$，整理后得到$∠α + ∠β = 180°$，二者是互补关系，不互余。
综上，只有图①中的∠α与∠β互余。
【答案】
A
【知识点】
余角定义，补角定义，三角板角度性质
【点评】
本题以三角板的不同摆放为载体考察余角补角的判断，解题核心是紧扣互余的定义，结合平角、周角的固有角度逐个验证即可，注意不要混淆互余（和为90°）和互补（和为180°）的概念，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。接下来我们逐个对四幅图中∠α和∠β的和进行计算验证，结合平角、周角的角度性质，以及三角板自带的固定特殊角的特征，分别判断每一组∠α和∠β的和是否等于90°，即可选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐一分析四幅图的角度关系：
1. 图①：三个角共顶点组成平角180°，中间的角是三角板的直角90°，因此可得：
$∠α + 90° + ∠β = 180°$，整理后得到$∠α + ∠β = 90°$，满足互余的条件。
2. 图②：$∠α$和$∠β$是同一个公共锐角的余角，根据同角的余角相等，可得$∠α=∠β$，无法推出二者和为90°，不互余。
3. 图③：$∠α$和$∠β$都是三角板60°角的补角，根据等角的补角相等，可得$∠α=∠β=120°$，二者和为240°，不互余。
4. 图④：$∠α$和$∠β$与公共直角相加组成周角360°，因此可得：
$∠α + ∠β + 90° = 360°$，整理后得到$∠α + ∠β = 180°$，二者是互补关系，不互余。
综上，只有图①中的∠α与∠β互余。
【答案】
A
【知识点】
余角定义，补角定义，三角板角度性质
【点评】
本题以三角板的不同摆放为载体考察余角补角的判断，解题核心是紧扣互余的定义，结合平角、周角的固有角度逐个验证即可，注意不要混淆互余（和为90°）和互补（和为180°）的概念，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
